1.Оптикой (от греч. opto’s – видимый, зримый) наз. учение о физ. явл., связ. с распр. и взаимод. с веществом коротких ЭМ волн, длина кот. лежит в интервале 10^-4 ¸ 10^-9 м. Основа этого единства – их волновой характер.

ЭМ теории предшествовала волновая теория, в которой свет рассм. как упругое возмущение, распр. в гипотетической среде – эфире. Неудовлетв, что для объяснения наблюдаемых оптич. явл. эфир приход. наделять весьма экзотич. и против-ми св-и, несовмест. с зак. механики.В сер. прошлого столетия Максвелл сформ. сист. уравн. электродинамики. Наиболее важным следств. уравн. Максвелла оказалась возм. сущ. ЭМ волн, распр. в вакууме со скоростью, значение кот. равно электродинамической пост. с , входящей в эти уравнения. скорость ЭМ волн совпала со скоростью света в вакууме. Максвел решил, что свет представляет собой ЭМ волны. Т.о ЭМ волн разных диапазонов имеют единую природу и законы их распространения описываются одними и теми же дифф. уравн. – уравн. Максвелла.

Феноменологическую ЭМ теорию углубляет классич. электронная теории, рассм. движение дискретных электрических зарядов в веществе и их взаимод. с ЭМ полем. Хотя классическая ЭМ теория правильно описывает широкий спектр оптических явлений, но она является ограниченной. Трудности, а порой и невозм. прим. классич. теории к целому ряду явлений (фотоэффект, фотохимические процессы) привели к созданию квантовой теории, в которой ЭМ поле рассм. как совокупность частиц, наз. фотонами или световыми квантами. Классич. волновое опис. является предельным случаем квантового описания (число квантов в одном состоянии очень велико). В общем курсе оптики мы будем использовать классический волновой подход и лишь для описания некот. оптических явлений будем прибегать к квантовому описанию.

Большое значение оптической области спектра ЭМ волн для практ. деят. человека обусловлено прежде всего тем, что внутри нее в узком интервале длин волн от 0,4 до 0,7 мкм лежит участок видимого света, непосредственно восприн. человеч. глазом. Данный диапазон определяется как спектральными характ. солнечного излучения, достигающего поверхности Земли, так и особен. эволюц. развития человека. Коротковолновое (менее 0,3 мкм) излучение Солнца практически полностью поглощается озоном в верхних слоях земной атмосферы. Наиболее подходящим для зрения является диапазон вблизи максимума солнечного излучения (~ 0,5 мкм). Микроволновый же диапазон непригоден для «качественного» зрения из-за присутствия здесь больших тепловых «шумов».

Понятие оптического диапазона включают обычно еще инфракрасное и ультраф. излучение. Но и для них принятые границы спектра в значительной степени условны. По существу, они определяются используемыми способами получения и регистрации ЭМ волн.

Опред. место видимого диап. на шкале ЭМ волн. Частота ЭМВ связана с ее длиной в вакууме соотнош.:

n = с/l , (1.1) где с – скорость распространения ЭМВ в вакууме.Энергия квантов света, как показано в квантовой теории, равна:

Е_к = hn = žw , (1.2)

где w = 2pn – круговая частота, h = 2pž – постоянная Планка. Фундаментальной основой оптики является ЭМ волновая теория света. Особенно возрастает значение этой теории в связи с революцией, которая в настоящее время происходит в оптике под влиянием успехов квантовой электроники – науки о генерации когерентного (лазерного) излучения, его взаимодействии с веществом и применении лазеров в различных областях человеческой деятельности. С появлением лазеров, мощных источников когерентного монохроматического излучения в оптическом диапазоне ЭМ волн, вес волновой теории в оптике резко возрос. В оптику широко проникли методы соседнего диапазона ЭМ волн – радиодиапазона.

2. Представление плоской волны в комплексной форме. Принимая во внимание формулу Эйлера

(2.31)

представим (2.29) и аналогичное синусоидальное решение формулами(2.32)

Общее решение для плоской волны в комплексной форме можно записать в виде

(2.33)

где – в общем случае комплексная величина, называемаякомплексной амплитудой. Тогда учитывая, что

(2.34)

запишем (2.33) в виде

(2.35)

т.е. всегда есть возможность любую гармоническую волну представить в виде (2.35) с действительной амплитудой.

Плоская электромагнитная волна. Вернемся к электромагнитным волнам, являющимся решением уравнения (2.8) и (2.10). Для анализа структуры плоской ЭМВ воспользуемся записью уравнений Максвелла с помощью определения и свойств оператора Гамильтона (набла-оператора):

(2.36)

Тогда уравнения Максвелла (2.1) ¸ (2.6) примут вид:

(2.37) ¸ (2.40)

Решение этих уравнений ищем в виде:

(2.41)

(2.42)

где E₀ и B₀ – постоянные векторы, не зависящие от координат и времени (в общем случае компоненты этих векторов могут быть комплексными). Учитывая, что

(2.43)

и подставляя решения (2.41) и (2.42) в уравнения Максвелла (2.37) ¸ (2.40), получаем следующие важные соотношения, описывающие структуру плоской ЭМВ:(2.44)¸ (2.47)

Из этих соотношений можно сделать следующие выводы:

1. Векторы Е и В плоской волны перпендикулярны вектору k, т.е. направлению распространения. Это означает, что плоская ЭМВ является поперечной. E, B и k составляют тройку взаимно перпендикулярных векторов. Поперечность световых колебаний была открыта в 1817 г. Юнгом (Joung Thomas, 1773–1829).

2. Из (2.45) можно получить соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской ЭМВ в вакууме:

E =cB . (2.48)

3. Т.к. k, w, m₀, e₀ – вещественные величины, то это значит, что E и B в плоской ЭМВ колеблются в одинаковой фазе.

3 Сферические волны. Рассмотрим изотропную волну от точечного источника. Тогда решение уравнения (2.10) будем искать в виде Ф(r,t), где r – расстояние от точечного источника. В сферической системе координат (r, q, j) :

(2.21)

а искомое решение из соображений симметрии не зависит от угловых координат. Тогда волновое уравнение примет вид:

(2.22)

т.е. имеет вид (2.11), если произвести замену z® r, Ф® rФ. Тогда общее решение уравнения (2.22) имеет вид:

(2.23)

Выясним физический смысл полученного решения. Второе слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т.е. от центра (точечного источника). Такая волна называется расходящейся. Первое слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения r, т.е. к центру. Такая волна называется сходящейся. Общее решение является суперпозицией сходящейся и расходящейся волн. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным. Такие волны называются сферическими.

4. Плотность потока энергии электромагнитных волн определяется вектором Пойнтинга (Poynting Henry, 1852–1914):(2.49)

В случае плоской волны модуль вектора Пойнтинга может быть представлен в виде:

(2.50)

При характерных для оптического диапазона высоких частотах w (» 10¹⁵ с^-1) колебания потока энергии волны в каждой точке, происходящие в соответствии с (2.50) на частоте 2w, ненаблюдаемы и физический интерес представляет лишь среднее по времени значение S, называемое обычно интенсивностью света. Учитывая, что E=E₀ cos wt, где E₀ – амплитуда напряженности электрического поля, находим для интенсивности световой волны:

(2.51)

Плотность импульса электромагнитной волны. ЭМВ обладает не только энергией, но и импульсом. В курсе «Электричество» было показано, что плотность импульса G ЭМВ связана с плотностью потока энергии S в ней соотношением:

(2.52)

Давление света. Идея о давлении света была высказана еще Кеплером (Kepler Johannes, 1571–1630) для объяснения отклонения хвостов комет от Солнца во время их прохождения вблизи его. Действительно, если при отражении света меняется его импульс, то на тело воздействует соответствующая сила, т.е. возникает световое давление. Первый достоверный опыт по обнаружению светового давления провел выдающийся отечественный физик-экспериментатор П.Н. Лебедев (1866–1912) в 1900 г.

Подробно задача о световом давлении будет решена на семинарских занятиях. Поэтому здесь отметим лишь некоторые принципиальные соотношения. Если ЭМВ падает нормально на плоскую поверхность и полностью поглощается, то световое давление

, (2.53)

т.к. за 1 с на 1 м² передается импульс G. Если поглощение частичное, а остальное отражается и a – коэффициент поглощения, то S_погл = aS и по закону сохранения энергии S_отр = (1– a)S , тогда , откуда

. (2.54)

Видно, что если поверхность, на которую направляется ЭМВ полностью отражающая, то давление света на нее в два раза больше, чем на полностью поглощающую поверхность.

5. Суперпозиция ЭМВ. Напряженность электрического поля и магнитная индукция равны соответственно сумме напряженностей и магнитных индукций всех полей в данной точке независимо от их происхождения, частоты и направления распространения. Однако полученная в результате сложения полей совокупность электромагнитных полей, вообще говоря, не составляет бегущую электромагнитную волну. Суперпозиция бегущих плоских монохроматичных ЭМВ.Пусть заданы две волны, для которых k₁= k₂= k, w₁ = w₂ = w и

(2.55)

(2.56)

Складывая почленно (2.55) и (2.56) и обозначив

(2.57) получаем:

(2.58)

Две плоские монохром. бегущие ЭМВ с одинаковой частотой, распростр. в одном и том же напр., в результате сложения дают плоскую монохроматическую ЭМВ той же частоты, распр. в том же направлении.

Биения. Рассмотрим случай, когда w₁ ¹ w₂ , E₁ || E₂ :

(2.59)

В соответствии с принципом суперпозиции имеем: (2.60)

Мы получили незатухающую бегущую в сторону +Z немонохроматическую волну. Т.к. в оптическом диапазоне обычно | w₁ – w₂ | << w₁ + w₂ , то сомножитель в (2.60) является медленно меняющейся амплитудой ЭМВ с частотой (w₁ + w₂) / 2 (см. рис.2.3). Гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой называются биениями. Понятие «медленно изменяющаяся амплитуда» определяется относительно основного гармонического колебания: амплитуда мало меняется в течение многих периодов основного гармонического колебания. Частота W = |w₁ – w₂| называется частотой биений. Стоячие волны. Рассм. суперпозицию двух монохроматических волн с w₁ = w₂ = w , E₁₀ = E₂₀ = E₀ , E₁ || E₂ и распространяющихся навстречу друг другу:

(2.61)

где d – разность фаз. Тогда

(2.62)

Сомножитель с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряженности поля в заданной точкеz . Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. Напряженность во всех точках изменяется с одинаковой частотой в одной фазе. Такая волна называется стоячей. В точках оси Z, где полеE = 0 (такие точки называются узлами). В точках оси Z, где полеE – максимально (такие точки называются пучностями). Расстояние между узлами (или пучностями) равняется половине длины бегущей волны – l/2. Кроме того, колебания напряженности во всех точках стоячей волны в некоторый момент времени находятся в одной и той же фазе (например, E = 0 во всех z при ), тогда как колебания напряженности электрического поля в различных точках бегущей волны не совпадают по фазе.

Магнитная индукция в данном случае получается из суперпозиции магнитных индукций волн:

(2.63)

Суммарное поле отыщется в виде: (2.64)

Видно, что вектор B также образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны E (рис.2.4). По времени колебаний электрического и магнитного полей стоячей ЭМВ отличаются по фазе на четверть периода колебаний. Это означает, что если E достигает максимума, то B = 0, если же E растет, то B уменьшается.

Преобразование энергии в стоячей волне. Т.к. , то поток энергии отсутствует в точках, гдеE = 0 или B = 0 (H = 0). Поток энергии через узлы и пучности в такой волне отсутствует. Поэтому с течением времени энергия движется между соседними узлами и пучностями, превращаясь из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот, а пользуясь формулой для объемной плотности энергии электромагнитного поля

(2.65)

можно сказать, что энергия стоячей волны, заключенная между соседними узлами и пучностями, остается постоянной с течением времени.

6 Поляризация электромагнитных волн. Если для продольных волн (например, звуковых) все направления, перпендикулярные направлению распространения волн, равноправны, то для электромагнитных, т.е. поперечных волн они не равноправны. Поляризация света – это физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т.е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Представление о поляризации света как его особом физическом свойстве впервые ввел И. Ньютон (Newton Isaak, 1643–1727) в 1704 г. Сам термин «поляризация» принадлежит французскому инженеру и физику Э. Малюсу (Malus Etienne, 1775–1812). Световые волны, у которых направления колебаний векторов электрического E и магнитного H полей сохраняются неизменными в пространстве или изменяются по определенному закону, называются поляризованными.

Если вектор E световой волны колеблется лишь в одной неизменной в пространстве плоскости, то такая волна называется линейно или плоско поляризованной. При линейной поляризации плоскость, содержащая волновой вектор k и вектор E, называется плоскостью поляризации волны.

Если же колебания вектора E совершаются так, что его конец описывает окружность в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны k, то такая волна называется поляризованной по кругу, если эллипс, то эллиптически поляризованной.

Световая волна, в которой различные направления вектора E в поперечной к направлению распространения волны плоскости равновероятны, называется естественной (естественно поляризованной или неполяризованной).

Суперпозиция двух линейно поляризованных волн. Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных волн с одинаковыми частотами w, амплитудами электрических полей E₁ и E₂, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z декартовой системы координат) со сдвигом фаз d. Пусть вектор E₁ колеблется в плоскости XZ, а вектор E₂ – в плоскости YZ:(2.66)

Найдем состояние поляризации суммарной волны, определяемой суперпозицией полей E ={E_x; E_y; E_z}= E₁+E₂, складывая покоординатно поля (2.66). Второе уравнение в (2.66) перепишем в виде:

(2.67)

Исключая в (2.67) с помощью (2.66) и, получаем:

(2.68)

После перегруппировки получаем окончательно уравнение, описывающее состояние поляризации суммарного поля в общем виде:(2.69)

7. Волна с круговой и элептической поляриз.Рассмотрим основные случаи состояния поляризации. Если , то уравнение (2.69) принимает вид:(2.70)

Приэто выражение является уравнением эллипса с центром в начале системы координат и осями, направленными вдоль осей X и Y (рис.2.5). Поляризация при этом называетсяэллиптической. Если при наблюдении навстречу волне вращение вектора E в фиксированной плоскости (перпендикулярной волновому вектору) происходит по часовой стрелке, то такая волна называется правой эллиптически поляризованной волной, если против часовой стрелки – левой эллиптически поляризованной волной.

Если , то эллипс вырождается в окружность. Такая поляризация называетсякруговой или циркулярной. Понятия правой и левой круговой поляризации применимы здесь аналогично определенным выше для эллиптической поляризации.

При (общий случай выражения (2.69)) поляризация является также эллиптической, главные оси эллипса не совпадают с осями координат (рис.2.6). Ориентация эллипса зависит от сдвига фазd. При этом эллиптичность поляризации остается и при .

При уравнение (2.69) описывает прямые:

(2.71)

Конец суммарного вектора электрического поля движется вдоль соответствующего отрезка прямой (2.71) (рис.2.7). Получаемаялинейно поляризованная волна является предельным случаем эллиптически поляризованной волны.

Видно, что световая волна с любой поляризацией может быть представлена в виде суперпозиции двух линейно поляризованных во взаимно-перпендикулярных плоскостях волн. Поэтому можно сказать, что электромагнитные волны обладают двумя независимыми состояниями поляризации.

Рассмотрим противоположный случай – суперпозицию волн с левой и правой круговыми поляризациями. Пусть при некоторой фиксированной координате z заданы компоненты их полей E₁ (левая) и E₂ (правая):

(2.72)

В результате их суперпозиции получается линейно поляризованная волна с

(2.72)

Если между двумя круговыми волнами в (2.71) есть сдвиг фаз, то результирующий вектор линейно поляризованной волны будет колебаться в плоскости, расположенной под некоторым углом к оси X.

Усреднения. Если в физических теориях обычно пользуются мгновенными значениями величин, то в физическом эксперименте измеряют средние значения величин по некоторому объему и промежутку времени:

(2.73)

где DV и Dt – соответственно объем и интервал времени усреднения.

Результат усреднения зависит от размеров области усреднения. Масштабы изменения f, меньшие области усреднения, не фиксируются в усредненных величинах. Если в области усреднения DV в любой момент промежутка времени Dt усреднения величина f изменяется незначительно и этим изменением можно пренебречь, то все операции усреднения в этом случае сводятся к усреднению по времени:

(2.74)

Отметим, что из определения операции усреднения следует, что эта операция является линейной.

Усреднение гармонических функций. Воспользуемся известными формулами для определенных интегралов. Так как

(2.75)

и , то

(2.76)

Результатом усреднения гармонической функции является гармоническая функция с той же частотой, но с амплитудой, умноженной на .Амплитуда усредненной гармонической функции быстро убывает с увеличениемDt. В оптике при w ~ 10¹⁵ с^-1 нет приборов, измеряющих напряженности полей за время ~ 1/w , а регистрируются лишь усредненные по многим периодам колебаний значения. Усреднение квадратов гармонических функций. Получим аналогичные выражения для квадратов гармонических функций:

(2.77)

При увеличении интервала времени среднения Dt среднее значение квадрата гармонической функции, колеблясь, стремится к постоянному значению 1/2.