- •Складывая почленно (2.55) и (2.56) и обозначив
- •8 Классическая электронная теория дисперсии.
- •11 Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков.
- •15 Распространение света в проводящих средах.
- •23 Некоторые приборы геометрической оптики.
- •28 Разрешающая способность интерферометра Фабри–Перо.
15 Распространение света в проводящих средах.
При рассмотрении вопроса применения электромагнитной теории Максвелла к данному случаю, задача сводится к учету проводимости металла, т.е. формально к введению в уравнения Максвелла членов, зависящих от коэффициента электропроводности s. Отражение света от поверхности металла, как и его распространение в нем, может быть рассмотрено на основе материальных уравнений, в которых диэлектрическая проницаемостьe(w) комплексна. Соответственно показатель преломления n – тоже комплексный:. (4.96)
В сильно поглощающих средах и металлах мнимая часть преобладает над вещественной. Частичное проникновение света в металл создает токи проводимости. С ними связано выделение джоулевой теплоты, т.е. поглощение света – необратимое превращение электромагнитной энергии в энергию хаотического теплового движения. Чем выше проводимость металла, тем меньшая доля падающего света проникает в металл и поглощается там. В идеальном проводнике, которому формально соответствует , потери на джоулеву теплоту вообще отсутствуют, так что падающий свет полностью отражается.
Пусть из вакуума на металл падает плоская монохроматическая волна с волновым вектором (рис.4.14);– волновой вектор отраженной волны. Во второй среде волна неоднородна и.(4.97)Тогда, как и при выводе формул Френеля:
.(4.98)
Видно, что составляющая вектора k2 , направленная вдоль границы вещественна. Поэтому мнимая часть вектора k2 перпендикулярна поверхности металла. Это значит, что плоскости равных амплитуд прошедшей волны параллельны границе раздела. Вектор перпендикулярен плоскостям постоянных фаз и характеризует направление прошедшей волны. Уголy называется вещественным углом преломления. Отношение зависит от угла падения (в отличие от диэлектриков).
Формулы Френеля остаются в силе, если в них рассматривать cosq2 как комплексную величину:(4.99)
Знак корня нужно взять так, чтобы неоднородная волна затухала вглубь металла. Тогда коэффициенты отражения тоже комплексны:
(4.100)
В общем случае . При линейной поляризации падающего света с произвольным азимутом в отраженной волне появляется сдвиг фаз, приводящий к эллиптической поляризации отраженного света. Отраженный свет остается линейно поляризованным, если
падающий свет s– или p–поляризован;
;
.
При нормальном падении:(4.101)
. (4.102)
У металлов c2 значительно больше другого слагаемого. Поэтому (см. таблицу для желтой части спектра).
Металл
|
 |
n |
c |
Na |
0,97 |
0,044 |
2,42 |
Ag |
0,94 |
0,20 |
3,44 |
Cd |
0,84 |
1,13 |
5,01 |
Al |
0,83 |
1,44 |
5,23 |
Au |
0,82 |
0,47 |
2,83 |
Hg |
0,77 |
1,60 |
4,80 |
Cu |
0,71 |
0,62 |
2,57 |
Pb |
0,54 |
3,46 |
3,25 |
Fe |
0,33 |
1,51 |
1,63 |
Волновой вектор прошедшей в металл волны при нормальном падении имеет только z – составляющую:
; (4.103)
—глубина проникновения.(4.104)
При достаточно высоких частотах роль «силы трения» в уравнениях колебаний электрона (см. раздел по дисперсии) становится несущественной. Случай g = 0 формально соответствует «идеальному» металлу с s®¥.При , а. (4.105)
В этом случае из (4.102) следует Â = 1, т.е. отражение от поверхности идеального проводника полное.Закон Бугера. Для затухающей волны, распространяющейся вдоль оси Z, интенсивность излучения:
. (4.106)
Отсюда получаем зависимость:, (4.107)
называемая законом Бугера, где a – линейный показатель поглощения. Другой вид закона Бугера (см. (4.104)):
, (4.108)
где l0 – длина волны света в вакууме.
17 Уравнение эйконала. Запишем волновое уравнение для световой волны в среде с коэффициентом преломления n=c/v:
(5.1)
В общем случае для монохроматической волны справедливо:(5.2)
Подставляя (5.2) в (5.1) находим уравнение для амплитуды Y(r), зависящей только от координаты:
(5.3)
где k0=w/c – волновое число в вакууме. Волновое число в среде k=nk0. Воспользуемся соотношением (для других координат будет аналогично):
(5.4)
Тогда (5.3) после деления на Y преобразуется к виду:
(5.5)
Решение этого уравнения ищем в виде:
(5.6)
Вещественная скалярная функция S(r) называется эйконалом (от греческого eikon – изображение). Подставляя (5.6) в (5.5), получаем:
(5.7)
Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим два уравнения для определения А(r) и S(r):
(5.8)
Для оптического диапазона длина волны много меньше расстояния L, на которых амплитуда волны существенно меняется (порядка размера оптических элементов). Поэтому первыми двумя слагаемыми в первом уравнении (5.8) можно пренебречь (их сумма имеет порядок 1/L2). Тогда это уравнение в оптическом диапазоне принимает вид:
(5.9)
Это уравнение называется уравнением эйконала.
Градиент от функции S(r) направлен по нормали к поверхности S=const. Поэтому эйконал S описывает поверхности постоянной фазы волны, а ÑS приводит к понятию луча, т.е. к представлению о движении световой энергии в данной точке в определенном направлении. Лучом называется линия, касательная к которой совпадает в каждой точке с вектором ÑS. Распространение света рассматривается как движение световой энергии по лучам. Плоскость, перпендикулярная лучам света (где S = const), называется волновым фронтом.
Анализ распространения света в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики. Этот подход оправдан всегда, когда
. (5.10)
Физически этот член описывает искривление материальными объектами световых лучей, т.е. дифракцию света. Исходя из этого, можно сказать, что в геометрической оптике не учитываются дифракционные эффекты (см. гл.7).
Принцип Ферма. В однородной среде S=k×r (k=const) и лучи являются прямыми параллельными линиями, а фронт волны – плоскостью, перпендикулярной лучам.
Для неоднородной среды лучи имеют более сложную конфигурацию. Пусть точки P1 и P2 соединяются лучом L (рис.5.1). Вычислим изменение фазы вдоль луча. Для каждой его точки имеем:
(5.11)
где dr направлен по лучу и совпадает с ÑS, dl – элемент длины пути. Для изменения фазы находим:
(5.12)
Интегрирование идет вдоль луча. Интеграл в (5.12) называется оптической длиной пути. Из (5.12) следует, что оптические длины путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени одинаковы. Для любой другой кривой, соединяющей точки P1 и P2 , оптическая длина пути оказывается больше, чем для реального луча.
Принцип Ферма (Fermat Pierre, 1601 – 1675) утверждает, что интеграл в (5.12) вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация dS относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Или то же самое в другой формулировке: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.е. малое изменение траектории не приводит к изменению оптической длины.
К принципу Ферма можно подойти и с другой стороны. Учтем что dt=dl / v – время прохождения пути dl со скоростью v, а n(r) = c / v(r). Тогда
(5.13)
где интеграл здесь дает время, затрачиваемое на прохождение пути от P1 и P2. С этой точки зрения принцип Ферма звучит так: лучом, соединяющим две точки, является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое светом на его прохождение. Формулировка о стационарности времени прохождения пути между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстремальный характер этого времени, а с другой стороны, не исключает наличия нескольких путей с одинаковым временем прохождения.
Например, в геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по различным путям и встречаются в точке изображения. Но все они затрачивают одно и то же время на прохождение своего пути. Другими словами, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).
18 Вывод закона преломления из принципа Ферма. Пусть требуется соединить лучом две точки P1 и P2 , находящиеся в однородных средах с коэффициентами преломления n1 и n2, разделенных плоской границей (рис. 5.2). В каждой однородной среде луч – прямая линия. Из геометрии рисунка получаем для полного времени распространения света между точками P1 и P2:
(5.14)
Условие стационарности принимает вид:
(5.15)
Учитывая, что получаем соотношение , полностью совпадающее с законом Снеллиуса:(5.16)
Распространение луча в среде с переменным коэффициентом преломления. Пусть свет распространяется в среде с аксиально-симметричным изменением коэффициента преломления. Луч распространяется вдоль положительного направления этой оси Z в параксиальном приближении. Расстояние от оси – r. Из закона Снеллиуса для бесконечно тонкого слоя Dr имеем:
(5.17)
Разложим n(r + Dr) в ряд Тейлора и ограничимся линейным по Dr членом:
(5.18)
В параксиальном приближении sinDa » Da; cosDa » 1. Тогда с учетом линейного приближения получаем:
(5.19)
Т.к. tga1 = Dr / Dz , то в параксиальном приближении:
(5.20)
С учетом (5.20) из (5.19) находим уравнение распространения луча:
(5.21)
Например для диэлектрического волоконного световода n(r)=n0(1– ar2/2) и ar2/2 « 1 (a>0). Тогда уравнение (5.21) принимает вид: d2r/dz2 = – ar. Общее решение этого уравнения гармонических колебаний в пространстве хорошо известно. Это значит, что луч внутри такого световода имеет синусоидальную траекторию.
19Прохождение лучей в центрированных оптических системах. Рассмотрим прохождение лучей через сферическую линзу, не накладывая ограничений на ее толщину (рис.5.3). Обозначения видны из рисунка.
Ось Z совпадает с осью линзы. Главной оптической осью линзы называется прямая, проходящая через центры кривизны ее поверхности (в данном построении это ось Z). Свет распространяется вдоль положительного направления оси Z. Луч света лежит в плоскости XZ. r1 и r2 – радиусы кривизны 1-й и 2-й сферических поверхностей линзы (r2 на рис.5.3 не показан, чтобы не загромождать рисунок). Весь расчет проводится в параксиальном приближении:
(5.22)
Преломление на первой сферической поверхности. В точке P1 закон Снеллиуса в параксиальном приближении имеет вид:
(5.23)
Используя геометрические соотношения между углами:(5.24)
а в параксиальном приближении
(5.25)
из (5.23) получаем:
(5.26)
Кроме этого учтем соотношение(5.27)
Система уравнений (5.26) и (5.27) позволяют, задав координаты падающего на первую поверхность линзы луча (n1a1 ; x1), найти координаты (n1/a1/ ; x1/) преломленного в линзе луча. Полученную систему удобно записать в матричном виде:
(5.28)
где величина k1=(n1/–n1)/r1 называется преломляющей силой первой поверхности, а матрица
(5.29)
называется преломляющей матрицей первой поверхности.
Распространение луча внутри линзы. Преломленный луч в параксиальном приближении, пройдя внутри линзы, падает на её вторую поверхность на расстоянии x2 от оси:
(5.30)
Отметим, что величина D в параксиальном приближении практически равна толщине линзы А1А2 . С учетом, что получаем в матричном виде:
(5.31)
Матрица (5.32)
описывает распространение луча от первой поверхности линзы ко второй и называется передаточной матрицей.
Преломление луча на второй сферической поверхности рассматривается точно так же, как и на первой поверхности. Величина k2=(n2/ –n2)/r2 называется преломляющей силой второй поверхности, а матрица R2 – преломляющей матрицей второй поверхности:
(5.33)
Знаки всех величин в приведенных выражениях необходимо брать с учётом правила знаков: если встречаемая лучом преломляющая поверхность выпуклая, то её радиус кривизны надо брать с положительным знаком, а если вогнутая – с отрицательным; углы a, отсчитываемые от оси Z против часовой стрелки, положительны, а по часовой стрелке – отрицательны; расстояния, отсчитываемые по Z (по рис. 5.3 – слева направо), положительны, а против Z (справа налево) – отрицательны; расстояния от оси Z, отсчитываемые вверх, положительны, вниз – отрицательны.
Распространение луча через оптическую систему. Используя (5.29), (5.31), (5.33), получаем связь между характеристиками на выходе линзы и входе в неё:
(5.34)
(5.35)
(5.36)
где a, b, c, d называются постоянными Гаусса. Независимыми являются только три из четырех постоянных Гаусса. Матрица S21 полностью описывает рассмотренную оптическую систему.
Преобразование луча от плоскости предмета к плоскости изображения. Пусть из точки некоторой плоскости (плоскости предмета), расположенной на расстоянии l слева от точки А1 выходит луч с координатами (n1a1, x) и падает на рассматриваемую линзу. В некоторой плоскости, расположенной справа от точки А2 на расстоянии l/ луч характеризуется координатами (n2/a2/, x/). Между этими парами координат по приведенным выше правилам получаем соотношение:
(5.37)
(Знак l уже учтён)Перемножая матрицы в (5.37), имеем:
(5.38)
Матрица Q21 называется матрицей преобразования предмета к изображению:
(5.39)
Обозначим (5.40)
– увеличение оптической системы. Введем понятие изображения. Под изображением понимается такое отображение плоскости предмета на плоскость, называемую плоскостью изображения, когда все лучи, исходящие от точки предмета, сходятся после преломления в оптической системе в одной точке плоскости изображения и все точки отображаются с одинаковым увеличением.
Исходя из этого определения в точке изображения увеличение М не должно зависеть от угла a1. Поэтому соответствующий член в матрице Q21 обращается в нуль:
(5.41)
Из определения увеличения и выражения (5.40) имеем:
(5.42)
Тогда матрица преобразования от предмета к изображению принимает вид:
(5.43)
20 Кардинальные элементы оптической системы. Плоскости H и H/, увеличение для точек которых М = 1, называются главными плоскостями, а их пересечения с осью системы (ось Z) – главными точками системы. Найдём из (5.42) их положение:
(5.44)
где lH – отсчёт положения плоскости H относительно точки А1; lH/ – отсчёт положения плоскости H относительно точки А2 . Точка на оси системы, в которой сходятся лучи, падающие на оптическую систему параллельно оптической оси (т.е. точка с увеличением M = 0) и точка, выйдя из которой лучи после прохождения оптической системы становятся параллельными оптической оси (т.е. с увеличением M = ¥), называются фокусами оптической системы. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно оптической оси, называются фокальными. Найдём из (5.42) их положение:
(5.45)
где lF – отсчёт положения переднего фокуса относительно точки А1 , lF/ – отсчёт положения заднего фокуса относительно точки А2 Расстояние f между передним фокусом и передней главной точкой называется передним фокусным расстоянием; расстояние f / между задним фокусом и задней главной точкой называется задним фокусным расстоянием:
(5.46)
Главные и фокальные плоскости называютсякардинальными элементами оптической системы. Их положение позволяет полностью описать преломление лучей в оптической системе и построить изображение заданного предмета (рис). Физический смысл постоянных Гаусса. Пусть линза располагается в воздухе: n1 = n2/ = 1. Тогда из (5.46) следует:
(5.47)
т.е. a является величиной, обратной фокусному расстоянию. Из (5.45) и (5.47) имеем:
(5.48)
Коэффициенты b и c характеризуют взаимное расположение главных и фокальных плоскостей.
Уравнение линзы. Из подобия треугольников CDF, ABC, FPA (рис.5.4) следует:
(5.49)
а из подобия треугольников A/D/F/, F/H/C/, A/B/C/ следует:
(5.50)
Из этих соотношений имеем:
(5.51)
а отсюда получаем уравнение линзы в форме Ньютона:
(5.52)
Из этих же уравнений можно получить уравнение линзы в форме Гаусса:
(5.53)
Увеличение линзы определяется из формулы:
(5.54)
21 Тонкие линзы. Пусть – относительный коэффициент преломления и. Тогда из (5.36) и (5.47) следует выражение для фокусного расстояния линзы через относительный коэффициент преломления и её геометрические параметры:
(5.55)
Тонкой линзой называется линза, для которых можно пренебречь третьим слагаемым в скобках (5.55), что соответствует малости толщины линзы по сравнению с каждым радиусом кривизны:
(5.56)
Тонкая линза представляется не имеющей толщины и с ней совпадают обе главные плоскости. Фокусное расстояние становится равным отсчёту от линзы до фокуса. При этом условии матрица с коэффициентами Гаусса для тонкой линзы принимает вид:
(5.57)
Величина (5.58)
называется оптической силой линзы. Оптическая сила измеряется в диоптриях ( 1 дптр соответствует фокусному расстоянию в 1 м). Оптическая сила положительна для собирающих линз и отрицательна для рассеивающих.
Рассмотрим в качестве примера простейшую систему из двух тонких линз (рис. 5.5). Тогда матрица S (5.34), описывающая данную систему будет получаться из результата перемножения матриц:
(5.59)
Далее находятся постоянные Гаусса, а из них кардинальные элементы данной оптической системы. Отсчет для передних главной точки и фокуса идет от передней динзы, а для задних кардинальных точек – от последней линзы по приведенному выше правилу знаков.
Отражение от сферических поверхностей рассматривается как преломление в среду с отрицательным показателем преломления –n, если n – показатель преломления среды, из которой луч падает на отражающую поверхность. В остальном матрица, описывающая отражение, полностью аналогична матрице, описывающей преломление. Правило знаков остается тем же.
22 Аберрации оптических систем. В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения, при этом увеличение для всех точек предмета остается постоянным. Отклонения фактически получаемого изображения от идеального, описываемого всеми предыдущими формулами, называются аберрациями. Для параксиальных лучей аберрации малы и ими пренебрегают. Если же лучи не параксиальны, то аберрации становятся значительными и сильно искажают изображение.
Первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют лучи не совсем так, как это принимается в параксиальном приближении (например, фокусы для лучей, падающих на разных расстояниях от оси линзы, различны.). Такие аберрации называются геометрическими. Например, параксиальное приближение основывается на линейном разложении синуса в ряд. Неучтенные в таком приближении члены ~a3, ~a5 и т.д. приводят к аберрациям третьего, пятого и т.д. порядков.К геометрическим аберрациям относятся:
Сферическая аберрация.
Кома.
Астигматизм.
Искривление поверхности изображения (кривизна поля).
Дисторсия.
При сферической аберрации лучи, параллельные оптической оси, не пересекаются после линзы в одной точке. Пучок параллельных оси лучей после преломления образует совокупность конусов, вершины которых расположены на оси. Огибающая эту совокупность конусов поверхность называется каустической, а сечение этой поверхности любой плоскостью, проходящей через луч – каустической кривой (рис.).
Если светящаяся точка расположена не на оптической оси, то её изображение не является светящимся кружком, как в предыдущем случае, а представляется в виде довольно сложной асимметричной фигуры, напоминающей комету с хвостом. Такая аберрация называется комой.
Если на линзу падает цилиндрический пучок лучей под достаточно большим углом к оптической оси, то в результате сечение пучка лучей изменяется с расстоянием от линзы после преломления (рис.5.7). На некотором расстоянии от линзы сечение является отрезком линии, перпендикулярным плоскости падения пучка (такая плоскость падения, образованная осью падения пучка и оптической осью, называется меридианальной плоскостью, а перпендикулярная ей – сагиттальной). Затем эта линия переходит в эллипс, на некотором расстоянии дальше сечение опять становится круговым, а затем эллиптическим и дальше превращается в отрезок линии, лежащей в меридианальной плоскости. Такой вид аберрации называется астигматизмом.
Поверхности, на которых лежат фокусы (где образуются отрезки линий при астигматизме), создаваемые меридианальной и сагиттальной фокусировками, не совпадают между собой и не являются плоскостями. Эти поверхности касаются лишь в точке F/ оптической оси. Этот вид аберрации называется искривлением поверхности изображения.
Увеличение системы, вообще говоря, зависит от угла наклона падающих лучей. В результате, например, сетка из прямых линий превращается в сетку из кривых линий. Такая аберрация называетсядисторсией (рис.5.8).
Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Т.к. показатель преломления зависит от частоты, то и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке изображения даже в идеальном случае. Такие аберрации называются хроматическими.