Определения и понятия матриц.

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, содержащая  чисел, состоящая из строк и  столбцов.

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Пример

Если матрица содержит  строк и  столбцов, то матрица называется матрицей размера  или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Пример

Элементы матрицы

Элементы матрицы  обозначаются , где  - номер строки, в которой находится элемент, а  - номер столбца.

Пример

Задание. Чему равен элемент  матрицы  ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, .

Ответ. 

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Пример

В матрице  первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент .

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Пример

 : 1 и 6 - элементы главной диагонали.

 : 3 и 4 - элементы побочной диагонали.

Для матрицы  элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 - побочную.

Виды матриц.

Матрица размера  называется квадратной, число  называется порядком матрицы.

Пример

 - квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Матрица  называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Пример

 - вектор-строка;  - вектор-столбец.

Квадратная матрица  называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Единичной матрицей  называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

 - единичная матрица второго порядка.

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

Пример

 - верхнетреугольная матрица.

Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

2. если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .

Ступенчатой называется матрица, которая содержит  строк и у которой первые  диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних строк равны нулю, то есть это матрица вида:

Главным элементом некоторой строки матрицы  называется ее первый ненулевой элемент.

Пример

Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы 

Решение. Главный элемент первой строки - это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому  - главный элемент строки под номером 1; аналогично  - главный элемент второй строки.

Матрица  называется ступенчатой, если:

1. все ее нулевые строки стоят после ненулевых;

2. в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.

По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу , а также матрицу, которая содержит одну строку.

Пример

Примеры ступенчатых матриц:

, , , ,

Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:

, ,