16.Основные правила дифференцирования
Теорема. Производная суммы равна сумме производных, полученных от слагаемых: (а+с)'=а'+с'. Аналогичным образом это правило будет действовать и для нахождения производной разности. Следствием даного правила дифференцирования является утверждение о том, что производная от некоторого числа слагаемых равна сумме производных, полученных от данных слагаемых. Например, если необходимо найти производную от выражения (а+с-к)', тогда результатом будет выражение а'+с'-к'.-
Теорема. Производная произведения математических функций, дифференцируемых в точке, равна сумме, состоящей из произведения первого множителя на производную второго и произведения второго множителя на производную первого. Математически теорема будет записана следующим образом: (a*c)'=а*с'+а'*с. Следствием теоремы является вывод о том, что постоянный множитель в производной произведения можно выносить за производную функции. В виде алгебраического выражение данное правило будет записано следующим образом: (а*с)'=а*с', где а=const. Например, если необходимо найти производную выражения (2а3)', то результатом будет ответ: 2*(а3)'=2*3*а2=6*а2.
Теорема. Производная отношения функций равна отношению между разностью производной числителя, умноженной на знаменатель, и числителя, умноженного на производную знаменателя и квадрата знаменателя. Математически теорема будет записана следующим образом: (a/c)'=(а'*с-а*с')/с2. В заключение необходимо рассмотреть правила дифференцирования сложных функций.
Теорема. Пусть задана фукция у=ф(х), где х=с(т), тогда функция у, по отношению к переменной т, называется сложной. Таким образом, в математическом анализе производная сложной функции трактуется, как производная самой функции, умноженная на производную ее подфункции. Для удобства правила дифференцирования сложных функций представляют в виде таблицы.
|
f(x) |
f'(x) |
|
(1/с)' |
-(1/с2)*с' |
|
(ас)' |
ас*(ln а)*с' |
|
(ес)' |
ес*с' |
|
(ln с)' |
(1/с)*с' |
|
(log ac)' |
1/(с*lg a)*c' |
|
(sin c)' |
cos с*с' |
|
(cos с)' |
-sin с*с' |
При регулярном использовании данной таблицы производные легко запоминаются. Остальные производные сложных функций можно найти, если применить правила дифференцирования функций, которые были изложены в теоремах и следствиях к ним
17.Производные сложных функций.Производные высших порядков
Если
функция 
имеет
производную в каждой точке 
своей
области определения, то ее производная 
есть
функция от 
.
Функция 
,
в свою очередь, может иметь производную,
которую называют производной
второго порядка функции 
(или второй
производной)
и обозначают символом 
.
Таким образом
Пример
Задание. Найти
вторую производную функции 
Решение. Для начала найдем первую производную:
Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:
Ответ. 
Производные
более высоких порядков определяются
аналогично. То есть производная 
-го
порядка функции 
есть
первая производная от производной 
-го
порядка этой функции:
Замечание
Число 
,
указывающее порядок производной,
заключается в скобки.
18. Таблица основных формул дифференцирования (с примерами)
№1
|
Задание. |
Найти
производную функции |
|
Решение. |
Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то
постоянный множитель можно вынести за знак производной
Воспользуемся формулой для производной степенной функции:
|
|
Ответ. |
|
№2
|
Задание. |
Найти
производную функции |
|
Решение. |
Производная суммы равна сумме производных
Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций:
|
|
Ответ. |
|
|
20.Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.Правило Лопиталя Теорема 7 (правило
Лопиталя). Пусть
множество limx af(x) = limx ag(x) = 0. Тогда если существует limx af'(x)/g'(x), то существует и предел limxaf(x)/g(x), причем справедливо соотношение limx af(x)/g(x) = limx af'(x)/g'(x). Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида /. Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует. Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x. Попробуем применить правило Лопиталя limx(x+sin x)/(x-sin x) = / = =limx(x+sin x)'/(x-sin x)' = limx (1+cos x)/(1-cos x), но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела: limx(x+sin x)/(x-sin x) = limx (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1 Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д. Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и / часто встречаются неопределенности видов: 0· , 1, 0, 0. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и / путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1, 0, 0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид
где limx af(x) = 1;0;, limx ag(x) = ;0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)>0 ) ln y = g(x)ln f(x). Последнее выражение представляет собой при x a неопределенность вида 0·. Покажем, как свести неопределенность вида 0· к неопределенности вида 0/0 или /. Пусть y = f(x)g(x), где limx af(x) = 0, а limx ag(x) = . Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x a неопределенность вида 0/0. Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя. Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:
limx +0ln y = lim limx +0sin xln (1/x). limx +0ln y = limx +0(-ln x)/(1/sin x) = limx +0(-1/x)/(-cos x/sin2x) = limx +0 sin2x/(xcos x) = 0. Следовательно, limx 0 y = e0 = 1. |
(a)
- проколотая -
окрестность точки a, функции f(x),g(x)
определены и дифференцируемы на
,
g'(x) 0,