Материалы_МА_ПМ-1семестр

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Математика»

Е.С. Волкова

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1

Учебно-методический материал для подготовки к экзамену

по дисциплине «Математический анализ» 1 семестр

Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика»

Москва 2015

V.ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ………………..…...31

Вариант 1…………………………………………………………………...31

Вариант 2…………………………………………………………………...31

Вариант 3…………………………………………………………………...32

Вариант 4…………………………………………………………………...32

VI. ОТВЕТЫ.…………………………………………………………………33

VII. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.……………………………….38

1

I. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

«Математический анализ», 1 семестр

Раздел I. Введение в анализ

1.Действительные числа и их свойства. Числовые множества. Ограничен-

ные числовые множества. Границы числовых множеств. Теорема о су-

ществовании точных граней ограниченного числового множества. Чис-

ловые функции. Область определения и множество значений функции.

Ограниченные функции. Обратная функция. Сложная функция. Эле-

ментарные функции. Свойства функций.

2.Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные по-

следовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Признаки сходимости. Число e . Теорема Кантора о вложенных отрезках. Подпоследовательности сходящихся последова-

тельностей. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходя-

щейся подпоследовательности ограниченной последовательности.

3.Предел функции. Определение сходимости по Гейне и по Коши. Теоре-

ма об эквивалентности определений сходимости по Гейне и по Коши.

Односторонние пределы функции. Теорема о связи между односторон-

ними пределами функции и пределом функции. Предел функции в бес-

конечности, бесконечные пределы. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Предельный переход в неравенствах.

Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые. Свойства бесконечно малых функций. Символ o( f ) . Эквивалентные бесконечно малые. Бесконечно большие функции.

4.Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непре-

рывными функциями. Определение и классификация точек разрыва.

5.Свойства непрерывных функций: теорема об устойчивости знака непре-

рывной функции; теорема о промежуточных значениях; теорема об

2

ограниченности непрерывной функции на отрезке; наибольшее и

наименьшее значения непрерывной функции.

6.Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.

Непрерывность элементарных функций. Равномерная непрерывность.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции.

Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

7.Производная. Геометрический смысл производной. Уравнение каса-

тельной. Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференциал.

8.Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного.

Производные основных элементарных функций. Теорема о производ-

ной обратной функции. Теорема о производной сложной функции. Ло-

гарифмическая производная. Эластичность. Свойства эластичности.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

9.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма,

теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопиталя.

10.Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Ма-

клорена. Приближенные формулы. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов.

11.Исследование функций. Признак монотонности функции. Экстремумы.

Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие ло-

кального экстремума. Выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты.

Наибольшие и наименьшие значения.

Раздел III. Интегральное исчисление функции одной переменной

12. Первообразная функции. Теорема об общем виде первообразной. Не-

определенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица

3

основных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное инте-

грирование; метод замены переменной, метод интегрирования по ча-

стям в неопределенном интеграле.

13.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций.

14.Определенный интеграл Римана. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточное условие интегрируемости функции.

15.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свой-

ства. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

16.Геометрические приложения определенного интеграла: длина дуги,

площадь плоской фигуры, объемы тел и площади поверхностей.

17. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки схо-

димости несобственных интегралов.

II. СТРУКТУРА ЭКЗАМЕНА

Экзамен проводится в письменной форме по окончании первого се-

местра. На выполнение всех заданий отводится два академических часа.

Итоговая оценка выставляется в 100-балльной шкале и в традиционной номинативной шкале («отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «не-

удовлетворительно»).

4

Методика расчета итоговой оценки

Итоговая оценка по 100-балльной шкале формируется путем сумми-

рования оценки за письменную работу и оценки за работу в течение се-

местра. Максимальная оценка за письменную экзаменационную работу со-

ставляет 60 баллов. Максимальная оценка за работу в семестре — 40.

60-балльная оценка за письменный экзамен получается суммирова-

нием оценок, полученных за каждое задание из экзаменационного билета. 40-балльная оценка за работу в семестре складывается из 20-

балльной оценки за первую половину семестра и 20-балльной оценки за вторую половину семестра. 20-балльная оценка за половину семестра по-

лучается суммированием баллов, набранных за выполнение аудиторных самостоятельных работ, домашней контрольной работы, баллов за колло-

квиум, выполнение домашних работ, активность на практических заняти-

ях.

Формы текущего контроля и критерии балльной оценки:

5

III. СОДЕРЖАНИЕ ЭКЗАМЕНА

Теоретические вопросы (А)

(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)

1.Определение ограниченного числового множества.

2.Определение точной верхней, точной нижней грани. Свойство точ-

ной верхней (нижней) грани.

3.Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у непусто-

го ограниченного сверху (снизу) множества.

4.Определение числовой функции. Способы задания функций.

5.Обратная функция (определение, условия существования).

6.Сложная функция.

7.Числовые последовательности.

8.Определение предела последовательности. Геометрическая интер-

претация определения.

9.Свойства пределов числовых последовательностей.

10.Определение ограниченной и неограниченной последовательности.

Геометрическая интерпретация определений.

11.Определение бесконечно малой последовательности. Геометрическая интерпретация определения.

12.Свойства бесконечно малых последовательностей.

13.Определение бесконечно большой последовательности. Геометриче-

ская интерпретация определения.

14.Свойства бесконечно больших последовательностей.

15.Определение монотонных последовательностей.

16.Критерий Коши сходимости последовательности

17.Теорема Кантора о вложенных отрезках.

18.Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся под-

последовательности ограниченной последовательности.

6

19.Определение предела функции в точке по Гейне.

20.Определение предела функции в точке по Коши.

21.Свойства пределов функций.

22.Определение бесконечно малой функции.

23.Определение бесконечно большой функции.

24.Первый замечательный предел.

25.Второй замечательный предел.

26.Определения односторонних пределов функции в точке.

27.Определение функции, непрерывной в точке.

28.Теорема о непрерывности сложной функции.

29.Теорема о непрерывности обратной функции.

30.Теорема о непрерывности элементарных функций.

31.Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

32.Определение асимптот графика функции.

33.Определение и примеры бесконечно малой функции (x) : а) одного

порядка с функцией (x) при x x0 ; б) эквивалентной функции (x) при x x0 ; в) более высокого порядка при x x0 , чем (x) . Что означает символическая запись o( ) при x x0 ?

34.Свойства символа « o малое».

35.Асимптотические формулы:

I.sin x x (x) при x 0 ;

II. cos x 1 x2 (x2 ) при x 0 ; 2

III. ln(1 x) x (x) при x 0 ;

IV. ex 1 x (x) , a x 1 x ln a (x) при x 0 ;

V. (1 x) 1 x (x) при x 0 ;

VI. tgx x (x)при x 0 .

36.Определение равномерной непрерывности функции.

7

37.Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции.

38.Определение производной функции в точке.

39.Определение дифференцируемой функции в точке x0 .

40.Определение дифференциала функции f (x) в точке x0 . Геометриче-

ский смысл дифференциала.

41.Правила дифференцирования.

42.Теорема о производной сложной функции.

43.Теорема о производной обратной функции.

44.Геометрический смысл производной и дифференциала.

45.Вычисление производной функции, заданной неявно.

46.Уравнение касательной.

47.Определение эластичности функции.

48.Теорема Ролля.

49.Теорема Лагранжа.

50.Теорема Коши.

51.Теорема Лопиталя. Правило Лопиталя.

52.Производные и дифференциалы высших порядков.

53.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

54.Признак монотонности дифференцируемой функции.

55.Определение локального экстремума функции одной переменной.

56.Необходимое условие локального экстремума функции одной пере-

менной.

57.Точка перегиба функции.

58.Необходимое условие точки перегиба.

59.Определение первообразной для функции f (x) на промежутке X .

60.Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

61.Таблица основных интегралов.

62.Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

8

63.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

64.С помощью методов замены переменной и интегрирования по частям получить следующие формулы:

65.Определение определенного интеграла Римана.

66.Достаточное условие интегрируемости.

67.Геометрический смысл определенного интеграла.

68.Свойства определенного интеграла.

69.Формула Ньютона - Лейбница.

70.Формула замены переменной в определенном интеграле.

71.Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

72.Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пре-

делом, с бесконечным нижним пределом.

73. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции

на ограниченном промежутке.

9