Материалы_МА_ПМ-1семестр

19.Вычисление производных основных элементарных функций.

20.

Теорема Ферма.

21.

Теорема Ролля.

22.

Теорема Лагранжа.

23.

Теорема Коши.

24.

Теорема Лопиталя для случая, когда отношение двух функций

f (x)

g(x)

0

при x a является неопределенностью вида

.

0

2. Найдите предел функции: lim

15sin x sin15 x

.

x 7

(x 7)3

3. Функция спроса имеет вид

D( p) 29 2 p , функция предложения –

весия.

4.

Найти промежутки выпуклости и

точки

перегиба функции

f (x) 9x e

x2

18

.

5.

Найти неопределенный интеграл e2 x sin 3xdx .

dx

6.

Найти несобственный интеграл

.

x2

6x 45

Вариант 2

1.

Дайте определение первообразной для функции

f (x) на интервале X .

Сформулируйте и докажите теорему об общем виде первообразной.

10 sin x

5

x

2.

Найдите предел функции: lim

.

x 0 10 2sin x

3.

Найдите производную функции f (x) (3x 3)cos(2 x 4) .

4.

Исследовать функцию на экстремум y

x

.

x2 4

3

Вариант 3

1.

Сформулируйте теорему Ролля. Пусть функция

f (x) удовлетворяет

условиям:

1) f (x)

имеет непрерывную производную на [a;b] ;

2) f (x)

имеет вторую производную в (a;b) ; 3)

f (a) f (a) 0, f (b) 0 . Доказать,

что существует точка c (a;b) такая, что f

(c) 0 .

2.

Найти асимптоты графика функции f (x) 9x2

12x 16 4x .

3.

Найти

производные y и

y

для

функции,

заданной

неявно:

x2 2xy y2 4 .

4.

Найти

сумму

наибольшего

и

наименьшего

значений

функции

y 64x 120 25 x2 .

5.

Найти неопределенный интеграл

(x2 9x 2)dx

.

2x

2

x

3

n2 5n 9 3n

2. Найти предел последовательности lim

.

6n2 5n

n

1

Найти неопределенный интеграл

(6x 2)dx

5.

.

x2

10x 41

4

8

4

x

6.

Найти несобственный интеграл

dx .

0

4 x

13.

405

; 14. 0,5; 15. 1; 16. 0,25 ; 17. 1,2 ; 18. 24; 19. e ; 20. e2 3 ; 21. 16 ;

8

10

2

1

ln 4

22. 0; 23.

; 24. 6 ; 25.

2 ; 26.

3

; 27.

; 28.

; 29.

; 30. 1;

9

3

a

7

31. 4 3 ; 32.

ln 5

; 33. 0; 34. e9

; 35. 1; 36. 3; 37. 1,5 ; 38. e0,5 ; 39. 1; 40. e ; 41.

3

4 2

; 42.

2 ; 43.

510

; 44.

1

; 45.

1

ln x

1

;

325

2

2

3 2

1 x 2 arcsin x

x

x 1

ln 2

x

46.

3 x

;47.

2

; 48.

3

2arcsin 3 x

ln 2 2(1 arccos3x) ;

3 x

x 2

4

1 9x 2

(x 2)8 (x2

7x 1)

sin x sin x

49.

; 50.

x

cos x ln x ;

(x 1)(x

3)

(x 1)5 (x 3)11

x

14 7x 3 ln 7 x 3

ln(7x 3)

4ln(ln 2)

1

51.

;

52. (ln 2) 6

; 53.

;

7x 3

3

4ln 2

x y 1

y

y

x y

dx

dx

dx

dx

54.

e x ;55.

; 56. а)

; б)

; в)

; г)

;

x y

x2

x

2 x

x2 1

1

a2 x2

57. 0,04 ; 58. 1,1; 59. 0,5151; 60. 5; 61. 1,1; 62. (6;12) ; 63. (4;9) ;

64. а) y x ; б) x 0; в) y

x

1

; 65.

y

x

1

,

y

x

1; 66. ( ; 2) ,

2

4

2

2

2

4

( 2,8)и (8, )

– убывает; 67. [0;1]– убывает, [1; ) – возрастает; 68. ( ; ) –

возрастает; 69. (0; 1

e

] – убывает, [ 1

e

; ) – возрастает; 70. ( ; 1] и [1; ) –

возрастает, [ 1;1]

– убывает; 71. x 2– точка максимума, x 3– точка ми-

нимума; 72. x 2 ,

x 1 – точки максимума,

x 1, x 2 – точки мини-

мума; 73. x 2 – точка максимума,

x 2 ,

x 4 – точки минимума;

промежутке x ( ; 5)

и x (5; ) ; 80. x 2 , x 6 – точки перегиба,

функция выпукла на

промежутке x ( 2;6) , вогнута на промежутке

x ( ; 2) и x (6; ) ; 81. выпукла на промежутке x ( 3; ) , вогнута

асимптота при

x ; 83. x 2 ,

x 2 –

вертикальные

асимптоты,

y 2x – наклонная асимптота при

x ;

84. y x 2

– наклонная

асимптота при

x , y x – наклонная асимптота при

x ; 85.

2

на [ 3, ) ; x 3 –

точка минимума. Функция выпукла при

x ( 6, ) и

вогнута на промежутке ( ; 6);

x 6 – точка перегиба;

86. Функция

возрастает на

промежутках

( ; 4] и [0; ) , убывает на промежут-

ке[ 4;0) ; x 4 – точка максимума,

x 0 – точка минимума. Выпукла на

промежутках

( ; 2 2 4)

и

(2

2 4; ) , вогнута

на

промежутке

y x 60 –

( 2 2 4;2 2 4) ;

x 2

2 4

–

точки перегиба;

87.

ках [ 5 3; 5) , ( 5;5) и (5;5 3] ; x 5 3 – точка максимума, x 5

3 –

точка минимума. Функция выпукла на промежутках ( 5;0) и (5; )

и во-

гнута на промежутках ( ;5) и (0;5) , x 0– точка перегиба; 89. Асимпто-

ты: y 1, x 1. Возрастает на промежутках ( ; 5]и ( 1; ) , убывает

91.

M 3700 , m 0; 92. 360 ; 93. 5 ; 94. а) меньше

1

0,125

; б) не превос-

8

ходит

1

0,0026

, в) не превосходит

1

0,0625

;

384

16

7

1

2

3

ln(5x 2)

ln(5x 2) C ; 96.

95.

ln

(5x2 4x 3) 2

C ;

5

5

3

x2

1

C ; 98. 2arctg

C ; 99. arcsin

1

C ;

97.

arctg

x

4

2

x

1

C ; 102.

1

ex2

100.

ln

x

x(x 1)

C ; 101. 2

ln x

C ;

2

2

3

x

C ; 105.

3

5

3

C ; 104. ln

tg

ln(x

arctg

x

C ;

103.

1 sin 2x

2 4)

2

2

2

2

2

106.

4ln

x 4

3ln

x 5

C ; 107. 3ln(x2

8x 17) 3arctg(x 4) C ;

9ln

x 2

28ln

x 3

108. ln

x 1

3ln

x

1

C ; 109.

x

ln

x

C ;

x

6

2

3

x2

110.

arctgx

5

ln

1

C ; 111.

1

sin 3

(3x 4)

1

sin(3x 4) C ;

6

x2

4

9

3

112.

1

cos 2x

1

cos8x C ; 113.

x

sin 6x

sin 4x

sin 2x

C ;

4

16

4

24

16

8

128.

1

; 129.

; 130. 1; 131.

32

; 132.

11

30 ln

6

;133.

25

25

;

36

4

3

2

5

2

3

134.

7

; 135.

9

; 136. 8 .

6

2

Образцы экзаменационных билетов

Вариант 1:

2. 560

3 ; 3. E

10

;

4. x 3 ,

x 3 – точки перегиба,

D