Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Материалы к зачету 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

202.16 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Прикладная математика»

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (II триместр)

2011-2012 учебный год

Составители: В. М. Гончаренко, А. В. Овчинников

Для студентов, обучающихся по основной образовательной программе подготовки бакалавров по направлению «Экономика» Профили «Финансы и кредит», «Мировая экономика»,

«Налоги и налогообложение»

Москва

2012

Структура зачета

Зачетный билет состоит из шести заданий (в числе которых имеются как теоретические вопросы, так и вычислительные задачи) по всем разделам курса, прочитанным во втором триместре:

1.Число Фробениуса и вектор Фробениуса неотрицательной матрицы.

2.Модель межотраслевого баланса Леонтьева и модель равновесных цен.

3.Примеры постановки задач линейного программирования; стандартная и каноническая формы задач линейного программирования.

4.Геометрия задач линейного программирования и графический метод решения задач линейного программирования.

5.Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

6.Двойственность в линейном программировании.

7.Транспортная задача.

Максимальная оценка за одно из шести заданий — 30 баллов, за остальные пять заданий из указанных шести — 10 баллов за каждое; таким образом, максимально возможная сумма баллов за письменную работу равна 80. На выполнение всех заданий отводится 2 часа.

Методика расчета итоговой оценки. Выставляется итоговая оценка по стобалльной (0–100) шкале.

Оценка по стобалльной шкале получается суммированием оценки за письменную зачетную работу (максимум 80 баллов) и оценки за работу в триместре (максимум 20 баллов). Последняя, в свою очередь, складывается из двух оценок за каждую половину триместра (10 баллов каждая). Оценка за половину триместра получается преобразованием стобалльной оценки (аттестации) по следующей схеме:

Оценка	Оценка	Оценка	Оценка
по 100-балл.	по 10-балл.	по 100-балл.	по 10-балл.
шкале	шкале	шкале	шкале

51–55	1	76–80	6
56–60	2	81–85	7
61–65	3	86–90	8
66–70	4	91–95	9
71–75	5	96–100	10

При выставлении оценки за половину триместра преподаватель учитывает следующие факторы:

1.оценки за контрольные работы,

2.активность студента на аудиторных занятиях (лекциях, семинарах, консультациях),

3.самостоятельную работу студента и выполнение домашних заданий.

Студент получает зачет, если полученная им оценка по стобалльной шкале выше или равна 51.

Теоретические вопросы и задания

Теоретические задания могут касаться формулировки основных определений и теорем курса, доказательство некоторых утверждений, иллюстрации основных положений теории примерами.

1.Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса—Перрона.

2.Сформулируйте первый критерий продуктивности.

3.Сформулируйте второй критерий продуктивности.

4.Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Запишите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

5.Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

6.Приведите примеры задач линейного программирования на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.

7.Приведите общую постановку ЗЛП. Дайте определения следующим терминам: целевая функция, допустимое множество задачи, оптимальное решение, оптимальное множество.

8.Что такое стандартная форма задачи линейного программирования? Что такое каноническая форма задачи линейного программирования? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической форме. Приведите эту задачу к стандартной форме.

9.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой — бесконечное множество точек минимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств. 1

10.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка минимума, а в другой — бесконечное множество точек максимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

11.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

12.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 +x2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

13.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует бесконечное множество точек минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

14.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует бесконечное множество точек максимума, а в другой целевая функция не

1В этом и следующих вопросах целевые функции в экзаменационных билетах отличаются от приведенной в данном пособии.

ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте систе-

	мой неравенств.
15.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

		x3	5	−2	1	0	3
		x4	−1	3	0	1	4
		f	−2	−3	0	0	10

	окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица
	окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указа-
	нием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразре-
	шимости задачи.
16.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
		x3	5	−2	1	0	3
		x4	−1	3	0	1	4

		f	−2	3	0	0	10

	окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица
	окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указа-
	нием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразре-
	шимости задачи.
17.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

		x3	−5	−2	1	0	3
		x4	−1	3	0	1	4
		f	2	−3	0	0	10

	окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица
	окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указа-
	нием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразре-
	шимости задачи.
18.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

		x3	5	−2	1	0	3
		x4	−1	3	0	1	4

		f	0	−3	0	0	10

окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указанием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразрешимости задачи.

19. Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

x3	5	−2	1	0	3
x4	−1	3	0	1	4

f	2	3	0	0	10

20. Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

x3	5	−2	1	0	3
x4	−1	3	0	1	4
f	−2	3	0	0	10

21. Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.

x3	5	−2	1	0	3
x4	−1	−3	0	1	4

f	2	−3	0	0	10

22. Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	−2	1	0	3
x4	−1	3	0	1	4

f	0	3	0	0	10

23. Приведите пример двух взаимно двойственных задач линейного программирования. Сформулируйте правило построения двойственной задачи.

24.Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно двойственных задач линейного программирования. Сформулируйте достаточный признак оптимальности.

25.Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности. Докажите вторую теорему двойственности (теорему равновесия).

26.Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план перевозок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий разрешимости транспортной задачи.

27.Опишите метод минимального тарифа построения начального опорного плана транспортной задачи.

28.Опишите метод потенциалов. Сформулируйте определения следующих понятий: свободная клетка, занятая клетка, оценка свободной клетки, цикл, перестановка по циклу. В чем состоит условие оптимальности опорного плана?

Вычислительные задачи

1. Найти число и вектор Фробениуса неотрицательной матрицы:

а) A =	4	6	, б) B =	0	10	5	, в) C =	4	10	2 .
	3	0		3	4	8		1	2	9
	6	3		7	3	5		10 3		4

2. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Конечное

производства	отрасль I	отрасль II	потребление

I	3	7	4

II	6	5	4

1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска ~x для прошедшего года:

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 40%, а отрасли II — уменьшится на 50%. Найдите конечное потребление продукции каждой от-

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ~0 для следующего d

года.

5.Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска ~x 0 для следующего года.

6.На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году

по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска

−→

%x.

7.В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен ~v = (4, 4)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p~.

3.Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Валовой

производства	отрасль I	отрасль II	выпуск

I	3	5	11

II	6	3	14

1. Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в прошедшем году; запишите

вектор конечного потребления ~ для прошедшего года. d

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 10%, а отрасли II — уменьшится на 70%. Найдите конечное потребление продукции каждой от-

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ~0 для следующего d

года.

6.На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году

по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска

−→

%x.

7.В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен ~v = (3, 5)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p~.

4.Составьте математическую модель следующей задачи линейного программирования. Содержание витаминов А и С в яблоках и апельсинах, цены фруктов и суточные потребности человека в витаминах указаны в таблице:

	A (мг/кг)	C (мг/кг)	цена (р)

Яблоки	2	73	25
Апельсины	23	91	45

Потребность	> 2	> 73

Сколько килограммов яблок и апельсинов должен потреблять человек в сутки при минимальных затратах на яблоки и апельсины?

5.Составьте математическую модель следующей задачи. Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг сырья. На изготовление одного изделия первого вида расходуется 2 кг сырья, а изделия второго вида — 4 кг. Определить план производства, обеспечивающий получение наибольшей выручки от продажи продукции, если отпускная стоимость одного изделия первого вида составляет 30 р, а одного изделия второго вида — 20 р, причем изделий первого вида требуется изготовить не более 40, а второго вида — не более 20.

6.Приведите к канонической форме следующие задачи линейного программирования:

f(~x) = 5x1 + x2 + 4 → max,

f(~x) = 3x1 − 5x2 + 1 → min,

+ x

+ 5x

2 6

15,

а)

−

2x2 >

−

б)

2x1

−

3x2

−

2x1 − x2 6 2,

5x1 − 2x2 > 2,

0, x

2 >

1 >

0, x

7. Приведите к стандартной форме следующие задачи линейного программирования:

f(~x) = 3x1 + 4x2 − 5x3 − x4 → max,

f(~x) = x1 + x2 + x3 + x4 → min,

а)

x1 + x2

+ x3

= 6,

б)

2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 = 11,

1 −

2 −

−

+ 2x

+ 5x

+ 7x

= 13,

xi > 0,

i = 1, . . . , 4;

xi > 0,

i = 1, . . . , 4.

8.Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (1; 0; 1), X2 = (1; 5; 0), X3 = (0; 5; 1). Найдите для этой задачи минимальное значение целевой функции f = 2x + y − 2z + 2.

9.Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (5; 0; 2), X2 = (5; 1; 0), X3 = (0; 1; 2). Найдите для этой задачи максимальное значение целевой функции f = 3x + y − 2z + 2.

10.Решите задачу линейного программирования графическим методом:

f = 3y − 2x → min(max),

f = −3x − 3y → min(max),

= 2

x + y → min(max),

3x + 3y

18,

5x + y

35,

45,

5x + 2y

а)

−

y 6 24,

б)

−

y > 37,

в)

−

5y 6

31,

2x + 4y 6 −12,

2x − 2y 6 −10,

3x − 7y 6 −55,

0, y

11. Решите задачу линейного программирования графическим методом:

+ 5

min(max),

f = x1 + x2 + x3 + 2x4 + 7 → min(max),

−

→

x + 2x

+ x

= 10,

2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 15,

а)

−

= 2,

б)

x1 + x2

−

2 −

2x1 − x2 + x5 = 5,

+ 4x

= 3,

~x > 0.

~x > 0;

12.Решите задачу линейного программирования симплекс-методом:

f = −5x4 − 7x5 − 1 → min,

x1 + x4 + x5 = 2,

	−	x4	+ x5	= 7,
x2		x4	+ x5	= 7,

x + x − x = 17,

3 4 5

~x > 0.

13.Составьте двойственную задачу для заданной задачи линейного программирования:

	f = 2x1 − 4x2 + x3 − 3 → max,						f = 5x1 + 5x2 − 1 → min,
а)	x1 − 4x2 + 3x3				> 8,		x1 + x2 > 5,
а)						б)
					6
	1	2		3	6			1		2
	x	+ x	+ 10x			3,		4x	+ x		= 4,
	x1 > 0, x3 6 0;						x1 6 0, x2 > 0.

14.Задача линейного программирования

f = 5x1 + 4x2 + 2 → min,

6x − 5x > −4,

1 2

3x1 − 8x2 6 −13,

	3x1 + 3x2 6 42,
		1	>	0,	x	2	>	0,
x

имеет решение fmin = 15, Xmin = (1; 2). Составьте двойственную задачу и найдите ее решение, используя теоремы двойственности.

15.Задача линейного программирования

f = −2x1 − 5x2 − 2 → max,

8x − 5x > 9,

1 2

5x1 − 8x2 6 −9,

	3x1 + 3x2 6 57,
		1	>	0,	x	2	>	0,
x				0,	x			0,

имеет решение fmax = −23, Xmin = (3; 3). Составьте двойственную задачу и найдите ее решение, используя теоремы двойственности.

16.Дана задача линейного программирования.

1.Решите задачу графическим методом;

2.постройте двойственную задачу;

3.преобразуйте двойственную задачу к канонической форме;

4.решите двойственную задачу в канонической форме симплекс-методом;

5.с помощью теорем двойственности получите решение исходной задачи из решения двойственной задачи; сравните полученный результат с полученным ранее (в п. 1).

f = 5y1 + 6y2 + 25 → min,

y − 6y > 3,

1 2

y1 − 9y2 > 4,

y1 > 0, y2 > 0.

17.Решите транспортную задачу

	140	90	50	140

150	12	9	12	2

40	15	21	25	19

230	10	21	12	4

В ответе укажите оптимальный план и стоимость перевозок.

Образцы билетов для зачета

ВАРИАНТ 1

1. [30 баллов] Составьте математическую модель следующей задачи. Стальные прутья длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45 и 35 см. Требуемое количество заготовок каждого вида составляет соответственно 40 и 30 штук. Определить, сколько прутьев по каждому из возможных способов следует разрезать, чтобы получить не менее необходимого количества заготовок при минимальных отходах.

2. Решите транспортную задачу:

	90	50	100	30

70	12	5	8	6

60	12	17	13	17

140	10	18	10	14

3. Дана задача линейного программирования

f = 5y1 + 6y2 + 25 → min,

y − 6y > 3,

1 2

y1 − 9y2 > 4,

y1 > 0, y2 > 0.

Решите задачу графическим методом.

4.Постройте для предыдущей задачи двойственную.

5.Преобразуйте полученную выше двойственную задачу к канонической форме и решите при помощи симплекс-метода.

6.С помощью теорем двойственности получите решение задачи 3 из решения двойственной задачи 5; сравните полученный результат с полученным ранее.

ВАРИАНТ 2

1. [30 баллов] Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Конечное

производства	отрасль I	отрасль II	потребление

I	3	7	4

II	6	5	4

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ~0 для следующего d

года.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015427.52 Кб8Материал к семинару 2.doc
#
24.03.2016672.26 Кб3Материал к техническому анализу.doc
#
01.05.2019237.06 Кб4материал по ГАКу(ДКБ).doc
#
13.03.2015744.45 Кб17материал.doc
#
13.03.2015473.19 Кб173Материалы к зачёту.pdf
#
13.03.2015202.16 Кб8Материалы к зачету 2012.pdf
#
24.03.2016187.83 Кб8Материалы к зачету по ЛА-2013.pdf
#
19.07.201998.82 Кб3Материалы по PR&GR - копия.doc
#
26.05.20151.46 Mб11материалы.doc
#
24.03.2016894.6 Кб5Материалы_МА_ПМ-1семестр.pdf
#
13.03.201572.06 Кб23Матрица Ансоффа.docx