Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Материалы к зачету по ЛА-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2016

Размер:

187.83 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра «Прикладная математика»

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (II семестр)

2012-2013 учебный год

Составители: В. М. Гончаренко, А. В. Овчинников

Для студентов, обучающихся по основной образовательной программе подготовки бакалавров по направлению «Экономика» Профили «Финансы и кредит», «Мировая экономика»,

«Налоги и налогообложение»

Москва

2012

Структура зачета

Зачетный билет состоит из восьми заданий (два теоретических вопроса и шесть вычислительных задач) по всем разделам курса, прочитанным во втором семестре:

1.Число Фробениуса и вектор Фробениуса неотрицательной матрицы.

2.Модель межотраслевого баланса Леонтьева и модель равновесных цен.

3.Примеры постановки задач линейного программирования; стандартная и каноническая формы задач линейного программирования.

4.Геометрия задач линейного программирования и графический метод решения задач линейного программирования.

5.Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

6.Двойственность в линейном программировании.

7.Транспортная задача.

8.Разностные уравнения и их приложения.

Максимальная оценка за каждое задание — 10 баллов; таким образом, максимально возможная сумма баллов за письменную эказменационную работу равна 80. На выполнение всех заданий отводится 2 часа.

Методика расчета итоговой оценки. Выставляются две итоговых оценки: по стобалльной (0–100) и по четырехбалльной («неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично») шкалам.

Оценка по стобалльной шкале получается суммированием оценки за письменную зачетную работу (максимум 80 баллов) и оценки за работу в семестре (максимум 20 баллов). Последняя, в свою очередь, складывается из двух оценок за каждую половину семестра (10 баллов каждая). Оценка за половину семестра получается преобразованием стобалльной оценки (аттестации) по следующей схеме:

Оценка	Оценка	Оценка	Оценка
по 100-балл.	по 10-балл.	по 100-балл.	по 10-балл.
шкале	шкале	шкале	шкале

51–55	1	76–80	6
56–60	2	81–85	7
61–65	3	86–90	8
66–70	4	91–95	9
71–75	5	96–100	10

При выставлении оценки за половину семестра преподаватель учитывает следующие факторы:

1.оценки за контрольные работы,

2.активность студента на аудиторных занятиях (лекциях, семинарах, консультациях),

3.самостоятельную работу студента и выполнение домашних заданий.

Стобалльная итоговая оценка переводится в четырехбалльную по следующему правилу:

Оценка	Оценка
по 100-балл.	по 4-балл.
шкале	шкале

50 и менее	неудовлетворительно
51–69	удовлетворительно
70–85	хорошо
86–100	отлично

Теоретические вопросы и задания

Теоретические задания могут касаться формулировки основных определений и теорем курса, доказательство некоторых утверждений, иллюстрации основных положений теории примерами.

1.Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса—Перрона.

2.Докажите следующее утверждение: если x > 0 — собственный вектор неотрицательной матрицы, то он является ее вектором Фробениуса.

3.Докажите следующее утверждение. Пусть s и S — минимальная и максимальная суммы

элементов столбцов матрицы A. Тогда число Фробениуса λA матрицы A удовлетворяет неравенству s 6 λA 6 S.

4.Запишите структурную таблицу и уравнение межотраслевого баланса Леонтьева для трехотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

5.Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности, т.е. теорему о том, что матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E A)−1 существует и неотрицательна.

6.Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1.

7.Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

8.Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

9.Приведите примеры задач линейного программирования на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.

10.Приведите общую постановку ЗЛП. Дайте определения следующим терминам: целевая функция, допустимое множество задачи, оптимальное решение, оптимальное множество.

11.Что такое стандартная форма задачи линейного программирования? Что такое каноническая форма задачи линейного программирования? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической форме. Приведите эту задачу к стандартной форме.

12.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой — бесконечное множество точек минимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств. 1

13.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного програм-

мирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых

1В этом и следующих вопросах целевые функции в зачетных билетах отличаются от приведенной в данном пособии.

существует единственная точка минимума, а в другой — бесконечное множество точек максимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

14.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

15.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 +x2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

16.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует бесконечное множество точек минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

17.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует бесконечное множество точек максимума, а в другой целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

18.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	2	3	0	0	10

окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указанием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразрешимости задачи.

19.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	2	3	0	0	10

20.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	2	3	0	0	10

21.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на минимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	0	3	0	0	10

22.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	2	3	0	0	10

23.Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	2	3	0	0	10

							5
24.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
		x3	5	2	1	0	3
		x4	1	3	0	1	4
		f	2	3	0	0	10
	окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица
	окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указа-
	нием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразре-
	шимости задачи.
25.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция ис-
	следуется на максимум. Является ли симплекс-таблица

		Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
		x3	5	2	1	0	3
		x4	1	3	0	1	4
		f	0	3	0	0	10

	окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица
	окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указа-
	нием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразре-
	шимости задачи.
26.	Приведите пример двух взаимно двойственных задач линейного программирования. Сфор-
	мулируйте правило построения двойственной задачи.
27.	Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно двойственных задач ли-
	нейного программирования. Сформулируйте достаточный признак оптимальности.
28.	Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности. Докажите вторую теорему
	двойственности (теорему равновесия).
29.	Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план пере-
	возок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий
	разрешимости транспортной задачи.
30.	Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи (метод
	северо-западного угла, метод минимального тарифа).
31.	Опишите метод потенциалов. Сформулируйте определения следующих понятий: свобод-
	ная клетка, занятая клетка, оценка свободной клетки, цикл, перестановка по циклу. В
	чем состоит условие оптимальности опорного плана?
32.	Сформулируйте определение разностного уравнения порядка k и его общего решения.
	Сформулируйте определение линейного разностного уравнение порядка k с постоянными
	коэффициентами. Сформулируйте теоремы об общем решении однородного и неоднород-
	ного линейного разностного уравнения (без доказательства).
33.	Опишите алгоритм решения однородного линейного разностного уравнения с постоянны-
	ми коэффициентами. Сформулируйте определения следующих понятий: фундаменталь-
	ный набор решений линейного разностного уравнения, характеристическое уравнение,
	определитель Казорати.
34.	Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

xn+2 4xn+1 + 3xn = n2 2n + n3 3n.

В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

35.Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

xn+2 4xn+1 + 3xn = n2 + 2n + 3n.

В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

36.Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

xn+2 + 2xn+1 + 4xn = cos 2πn5 + 3n + n2.

В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

37.Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

xn+2 + 2xn+1 + 4xn = cos 2πn3 + 3n + n2.

В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

38.Опишите модель Самуэльсона—Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Запишите уравнение Хикса. В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?

39.Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.

40.Сформулируйте задачу об определении текущей стоимости купонной облигации. Что такое задача Коши для разностного уравнения? Найдите равновесное решение задачи Коши об определении текущей стоимости купонной облигации. Проверьте, что найденное значение совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать купонную сумму в каждом купонном периоде при заданной величине процентной ставки за один купонный период.

Вычислительные задачи

1. Найти число и вектор Фробениуса неотрицательной матрицы:
	3	0	0			3	4	8			1	2	9
а) A =	4	6	0	,	б) B =	0	10	5	, в) C =		4	10	2 .
	6	3	0			7	3	5		10		3	4

2. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Конечное
производства	отрасль I	отрасль II	потребление

I	3	7	4

II	6	5	4

1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска x для прошедшего года:

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 40%, а отрасли II — уменьшится на 50%. Найдите конечное потребление продукции каждой от-

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ′ для следующего d

года.

5. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска x ′ для следующего года.

6. На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году

по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска

%x.

7. В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен v = (4, 4)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p.

3. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Валовой
производства			выпуск
производства	отрасль I	отрасль II	выпуск

I	3	5	11

II	6	3	14

1. Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в прошедшем году; запишите

вектор конечного потребления для прошедшего года. d

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 10%, а отрасли II — уменьшится на 70%. Найдите конечное потребление продукции каждой от-

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ′ для следующего d

года.

5.Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска x ′ для следующего года.

6.На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году

по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска

%x.

7.В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен v = (3, 5)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p.

4.Составьте математическую модель следующей задачи линейного программирования (решать полученную задачу линейного программирования не требуется!). Содержание витаминов А и С в яблоках и апельсинах, цены фруктов и суточные потребности человека в витаминах указаны в таблице:

	A (мг/кг)	C (мг/кг)	цена (р)

Яблоки	2	73	25
Апельсины	23	91	45

Потребность	> 2	> 73

Сколько килограммов яблок и апельсинов должен потреблять человек в сутки при минимальных затратах на яблоки и апельсины?

5. Составьте математическую модель следующей задачи (решать полученную задачу линейного программирования не требуется!). Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг сырья. На изготовление одного изделия первого вида расходуется 2 кг сырья, а изделия второго вида — 4 кг. Определить план производства, обеспечивающий получение наибольшей выручки

от продажи продукции, если отпускная стоимость одного изделия первого вида составляет 30 р, а одного изделия второго вида — 20 р, причем изделий первого вида требуется изготовить не более 40, а второго вида — не более 20.

6. Приведите к канонической форме следующие задачи линейного программирования:

f(x) = 5x

+ x

+ 4

max,

f(x) = 3x

+ 1

min,

x1 + x2 6

16,

3x1 + 5x2

16 15, 2

а)

2x2

б)

2x1

3x2

x2 6 2,

> 2,

2x1

5x1

2x2

x1 > 0, x2 > 0;

стандартной форме следующие задачи линейного программирования:

Приведите к

f(x) = 3x1 + 4x2

5x3

max,

f(x) = x1 + x2 + x3 + x4

min,

а)

x1 + x2 + x3 = 6,

б)

2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 = 11!,

2x2

x4 =

x1 + 2x2 + 5x3 + 7x4 = 13,

> 0, i = 1, . . . , 4;

> 0,

i = 1, . . . , 4.

8.Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (1; 0; 1), X2 = (1; 5; 0), X3 = (0; 5; 1). Найдите для этой задачи минимальное значение целевой функции f = 2x + y 2z + 2.

9.Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (5; 0; 2), X2 = (5; 1; 0), X3 = (0; 1; 2). Найдите для этой задачи максимальное значение целевой функции f = 3x + y 2z + 2.

10.Решите задачу линейного программирования графическим методом:

f = 3y

min(max),

f = 3x 3y ! min(max),

f = 2x + y ! min(max),

3x + 3y > 18!,

5x + y > 35,

5x + 2y > 45,

а)

5x y

24,

б)

7x y

37,

в)

8x 5y

31,

2x + 4y

12,

2x 2y

10,

3x 7y

55,

x > 0, y > 0;

x > 0, y > 0.

11. Решите задачу линейного программирования графическим методом:

f = x1 x4 + 5 ! min(max),

f = x1 + x2 + x3 + 2x4 + 7 ! min(max),

x1 + 2x2 + x3 = 10,

+ 2x4 = 15,

а)

x1 + x2

x4 = 2,

б)

2x1

+ x3

5x2

+ 4x4 = 3,

=5,

x > 0; x > 0.

12.Решите задачу линейного программирования симплекс-методом:2x x + x1 2 5

	f = 5x4 7x5 1 ! min,
x1 + x4 + x5 = 2,
			x4 + x5 = 7,
x2			x4 + x5 = 7,




x		+ x		x	5	= 17,
	x3> 0.4				5

13. Составьте двойственную задачу для заданной задачи линейного программирования:

f = 2x1 4x2 + x3 3 ! max,

f = 5x1 + 5x2 1 ! min,

4x2 + 3x3 > 8,

+ x2 > 5,

б)

а)

x1 + x2 + 10x3 6 3,

4x1 + x2 = 4,

> 0, x3 6 0;

6 0, x2 > 0.

14.

Задача

линейного программирования

f = 5x + 4x

+ 2

min,

6x1

51x2 >

3x1

8x2

13,

3x1 + 3x2 6 42,

> 0, x2 > 0,

имеет решение f

min

= 15, X

min

(1; 2). Составьте двойственную задачу и найдите ее решение,

используя теоремы двойственности.

15. Задача линейного программирования

f =

2x1 5x2 2 ! max,

8x1

5x2 > 9,

5x1

8x2

+ 3x2 6 57,

3x1

x1 > 0, x2 > 0,

имеет решение f

max = 23

, X

= (3; 3). Составьте двойственную задачу и найдите ее реше-

min

ние, используя теоремы двойственности.

16.Дана задача линейного программирования.

1.Решите задачу графическим методом;

2.постройте двойственную задачу;

3.преобразуйте двойственную задачу к канонической форме;

4.решите двойственную задачу в канонической форме симплекс-методом;

5.с помощью теорем двойственности получите решение исходной задачи из решения двой-

ственной задачи; сравните полученный результат с полученным ранее (в п. 1).

	f		5y + 6y	+ 25	!	min,
y1		=	6y12 > 3,2		!



			9y2 > 4,

y1

y1 > 0, y2 > 0.

17.Решите транспортную задачу

	140	90	50	140
150	12	9	12	2

40	15	21	25	19

230	10	21	12	4

В ответе укажите оптимальный план и стоимость перевозок.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2016672.26 Кб3Материал к техническому анализу.doc
#
01.05.2019237.06 Кб4материал по ГАКу(ДКБ).doc
#
13.03.2015744.45 Кб17материал.doc
#
13.03.2015473.19 Кб173Материалы к зачёту.pdf
#
13.03.2015202.16 Кб8Материалы к зачету 2012.pdf
#
24.03.2016187.83 Кб8Материалы к зачету по ЛА-2013.pdf
#
19.07.201998.82 Кб3Материалы по PR&GR - копия.doc
#
26.05.20151.46 Mб11материалы.doc
#
24.03.2016894.6 Кб5Материалы_МА_ПМ-1семестр.pdf
#
13.03.201572.06 Кб23Матрица Ансоффа.docx
#
27.09.2019605.7 Кб6матста.doc