Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Материалы к зачету по ЛА-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2016

Размер:

187.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

18. Решите разностные уравнения:

а) xn+2 xn+1 20xn = 108e2n; б) xn+2 3xn+1 10xn = 9 2n; в) xn+2 xn+1 20xn = 8;

г) xn+2 10xn+1 + 25xn = 147e−2n; д) xn+2 + 2xn+1 + xn = 36 8n;

е) xn+2 8xn+1 + 16xn = 3.

19. Решите разностные уравнения:

а) xn+2 + 2xn+1 + 2xn = e−n; б) xn+2 + 9xn = 27e3n;

в) xn+2 + 25xn = 15 2n;

г) xn+2 2xn+1 + 26xn = 34 4n; д) xn+2 + 25xn = 4 4n;

е) xn+2 4xn+1 + 3xn = 6n2;

ж) xn+2 2xn+1 + xn = 12n2.

20.Найдите национальный доход в текущем периоде Xt и мультипликатор Кейнса, если фактор акселерации V = 0.25, а зависимость спроса Ct от национального дохода Xt−1 в предыдущий период задана условием Ct = aXt−1 + b, где a = 0.75, b = 4.

21.Найдите последовательность цен pt в паутинной модели рынка, если спрос dt = a bpt, предложение st = m + npt−1 и a = 10, b = 5, m = 1, n = 4.

22.Найдите текущую стоимость Xt купонной облигации, если ее номинальная стоимость F = 5, величина купона K = 0.8, число купонных периодов k = 3 и процентная ставка за один купонный период r = 0.2.

Образцы зачетных билетов

ВАРИАНТ 1

1. Докажите следующее утверждение. Пусть s и S — минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы A. Тогда число Фробениуса λA матрицы A удовлетворяет неравенству s 6 λA 6 S.

2.Составьте математическую модель следующей задачи. Стальные прутья длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45 и 35 см. Требуемое количество заготовок каждого вида составляет соответственно 40 и 30 штук. Определить, сколько прутьев по каждому из возможных способов следует разрезать, чтобы получить не менее необходимого количества заготовок при минимальных отходах.

3.Решите транспортную задачу:

	90	50	100	30
70	12	5	8	6

60	12	17	13	17

140	10	18	10	14

4.Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами xn+2 4xn+1 + 3xn = n2 + 2n + 3n. В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

5.Дана задача линейного программирования

f = 5y + 6y + 25 ! min,

1 2

y1 6y2 > 3,

y1 9y2 > 4,

y1 > 0, y2 > 0.

Решите задачу графическим методом.

6.Постройте для предыдущей задачи двойственную.

7.Преобразуйте полученную выше двойственную задачу к канонической форме и решите при помощи симплекс-метода.

8.С помощью теорем двойственности получите решение задачи 5 из решения двойственной задачи 7; сравните полученный результат с полученным ранее.

ВАРИАНТ 2

1. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год:

Отрасли	Произв. потребление		Конечное
производства			потребление
производства	отрасль I	отрасль II	потребление
I	3	7	4

II	6	5	4

1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска x для прошедшего года:

2. Найдите матрицу Леонтьева A.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 40%, а отрасли II — уменьшится на 50%. Найдите конечное потребление продукции каждой от-

расли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления ′ для следующего d

года.

5.Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска x ′ для следующего года.

6.На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году

по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска

%x.

7.В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен v = (4, 4)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p.

2.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x1, x2) = x1 + x2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

12
3.	Решите транспортную задачу:

			50	70	30	130

		30	4	14	11	18

		130	3	17	1	10

		120	9	16	11	18

4.	Решите разностное уравнение xn+2 4xn+1 + 3xn = 6n2.
5.	Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследу-

ется на максимум. Является ли симплекс-таблица

Б.П.	x1	x2	x3	x4	С.Ч.
x3	5	2	1	0	3
x4	1	3	0	1	4
f	0	3	0	0	10

окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указанием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразрешимости задачи.

6. Решите задачу линейного программирования графическим методом:

f = x1 x4 + 5 ! min(max),

x1 + 2x2 + x3 = 10,

x1 + x2 x4 = 2,

2x1 x2 + x5 = 5,

x > 0;

7.Задача линейного программирования

	f = 2x1 5x2 2 ! max,
	8x1	5x2	> 9,
	5x1	8x2
	5x1	8x2	6	9,
			6



3x1 + 3x2 6 57,

x1 > 0, x2 > 0,

имеет решение fmax = 23, Xmin = (3; 3). Составьте двойственную задачу и найдите ее решение, используя теоремы двойственности.

8. Решите задачу линейного программирования симплекс-методом:

f = 5x4 7x5 1 ! min,

x1 + x4 + x5 = 2,

x2 x4 + x5 = 7,
x + x	4	x	5	= 17,
x3> 0.	4		5

Ответы

1. а) λA = 6, xA = c(0, 12, 6)T ; б) λB = 15, xB = c(1, 1, 1)T ; в) λC = 15, xC = c(49, 64, 62)T .

0.214 0.467

); H = (

2.06

1.44

);

= (

5.6

); x ′

= (

14.4

);

x = ( 15 ); A =

( 0.429 0.333

1.32

2.43

d ′

2.0

12.3

%!x =

( 218.2 ); p = (

15.5 ).

.94

13.5

); A = (

0.273 0.357

);

H = (

2.09

0.948

= (

3.3

); x ′

= (

8.31

);

= ( 5

0.545

0.214

1.45

1.93

d ′

1.5

7.68

24.5

; p =

13.5

%x =

(

12.5 )

45.2

)

4. Если x (кг) — масса яблок, а y (кг) — масса апельсинов, то

f(x, y) = 25x + 45y

min,

2x + 23y > 2,

x > 0,

y > 0.

73x + 91y > 73,

5. Если x и y — количество изделий первого и второго вида соответственно, то

f = 30x + 20y

max,

2x + 4y 6 100,!

40,

y 20.

6. Введение балансовых переменных x3, x4, x5 приводит задачи к следующему виду:

f(x) = 5x1 + x2 + 4

max,

f(x) = 3x1

5x2 + 1

min,

x1 + x2 + x3 = 6,

3x1 + 5x2 + x3 = 15,

а)

2x2

x4 = 2,

2x1

3x2

+ x4 =

б)

2x2 x5 = 2,

2x1

x2 + x5 = 2,

5x1

xi > 0,

i = 1, . . . , 5;

xi > 0,

i = 1, . . . , 5.

7. В задаче а) базисные переменные x3 и x4; в задаче б) базисные переменные x1 и x2

выражаются при помощи алгоритма Гаусса:
		f(x) = 7x1 + 11x2 32 ! max,				f(x) = 2x3 3x4 + 8 ! min,
а)	x1 + x2 6 6,			б)	x3 + x4 6 3,
а)				б)
			2x2 > 2,			2x3 + 3x4 6 5,
	x1		2x2 > 2,			2x3 + 3x4 6 5,


	x1 > 0, x2 > 0;				x3 > 0, x4 > 0.

8. fmin = 2 = f(X1).

9. fmax = 18 = f(X2).

10. а) fmin = f(2; 4) = 8; fmax = 1; б) fmin = 1; fmax = f(7; 12) = 57; в) fmin = f(7; 5) =

19; fmax = f(12; 13) = 37.	4; fmax = f(0; 2; 6; 0; 7) = 5; б) fmin = f(X ) = 16, где
11. а) fmin = f(4; 3; 0; 5; 0) =	4; fmax = f(0; 2; 6; 0; 7) = 5; б) fmin = f(X ) = 16, где
X = (6 + 2t; t; 3 3t; 0), 0 6 t 6 1;	fmax = f(0; 9; 0; 12) = 40.
12. fmin = f(0; 5; 19; 0; 2) = 15.

13.

g = 8y

+ 3y

min,

g = 5y1 + 4y2 1 ! max,

y1 + y21

> 2, 2

+ 4y2 > 5,

а)

4y1 + y2 = 4,

б)

y1 + y2 6 5,

3y + 10y

2y26> 0;

> 0.

y1 16 0,

(

)

14. gmax = g

= 15.

;

; 0

15. gmin = g (

;

; 0) = 23.

16.

g = 3x1 + 4x2 + 25

max,

g = 3x1 + 4x2 + 25

max,

+ x2 6 5,

x1 + x2 + x3 = 5,

6x1

9x2 6 6,

6x1

9x2 + x4 = 6,

> 0, x2 > 0;

> 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0;

Б.П.

x2 x3 x4

С.Ч.

Б.П.

x1 x2 x3

С.Ч.

1 1 0

1 1 1 0

3 0 9 1

9 0 1

Ц.Ф.

1 0 4

gmax (0, 5, 0, 51) = fmin (4, 0) = 45.

17. X =

0 , F (X ) = 3450.

18.

100

а) xn =

108

e2n + C1( 4)n + C25n;

e4 e2 20

б) xn =

2 + C15 + C2( 2)

;

в) xn =

+ C1

5n + C2( 4)n;

г) xn =

147

e−2n + 5n(C1 + C2n);

e−4 10e−2

+ 25

д)

xn =

8 + ( 1)

(C1 + C2n);

е) xn =

+ 4n(C1 + C2n).

19.

а)

xn = e−2 + 21e−1 + 2e−n + (p2)n (C1 cos

4 + C2 sin

)

;

πn

б)

xn =

e3n + 3n (C1 cos

πn

+ C2 sin

πn

);

e6 + 9

в)

πn

n =

+ 5

1 cos

2 +

2 sin

2 );

г)

xn = 4n +

)

(C1 cos nϕ + C2 sin nϕ) ,

ϕ = arctg 5;

д)

n C

πn

+ C sin

πn

;

40124

е)

n =

+ 5

(

1 cos

;

)

xn = n(n + 2) + C1 + C2 3

ж)

xn = n2(n2 4n + 5) + C1 + C2n.

20. Xt = 16 + (1/2)t(C1 + tC2); (1 a)−1 = 4. 21. pt = C( 0.8)t + 1.

22. Xt = (1.2)t−3 + 4.

ВАРИАНТ 1

2. Для каждого возможного варианта разреза прутьев укажем количество получающихся заготовок и отходов:

						f = 20x1 + 30x2 + 5x3	!	min,
1	2	0	20	x1		f = 20x1 + 30x2 + 5x3		min,
1	2	0	20	x1		2x1 + x2 > 40,
Вариант	45 см	35 см	Отходы	Кол-во


2	1	1	30	x2
				x2	x2 + 3x3 > 30,


3	0	3	5
3	0	3	5	x3
					xi > 0, i = 1, 2, 3.

3. X =		0	50	0		20
3. X =	60		0	0			0 , F (X ) = 2530.
	30 2		0	100		10			n			3	n	.
4. xn = n(An			+ Bn + C) + D 2 + En									3		.
Ответ к задачам 5.–8.:
			g = 3x1 + 4x2 + 25							!	max,
		x1 + x2 6 5,								!



				6x1		9x2		6 6,
				6x1		9x2		6 6,


				> 0, x2 > 0;
		x1		> 0, x2 > 0;
		Б.П.		x1		x2		x3	x4	С.Ч.
				x1		x2		x3	x4	С.Ч.		,
		x3		1		1		1	0		5	,

		x4		6	9 0 1						6
		Ц.Ф.		3			4	0	0		25

g = 3x + 4x + 25 ! max,

1 2

x1 + x2 + x3 = 5,

6x1 9x2 + x4 = 6,

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0;

Б.П.	x	x	x	x	С.Ч.
x2	11	12	13	04	5	,
x4	3	0	9	1	51
x4	3	0	9	1	51
Ц.Ф.	1	0	4	0	45

gmax (0, 5, 0, 51) = fmin (4, 0) = 45.

16
							ВАРИАНТ 2
	14		); A =		0.214	0.467	); H = (	2.06	1.44	); d ′ = (	5.6	); x ′ = (	14.4	);
1. x = ( 15			); A =		( 0.429	0.333	); H = (	1.32	2.43	); d ′ = (	2.0	); x ′ = (	12.3	);
%!x = (	2.94				13.5
%!x = (	18.2 ); p = (				15.5 ).
3. X =		30	0	0	0
3. X =		0	0	30	100 , F (X ) = 2990.
		20	70	0	30
		2				n

4. xn = n(n + 2) + C1 + C2 3 .

5. Данная таблица — окончательная, потому что в строке оценок задачи на максимум отсутствуют отрицательные оценки. Решение рассматриваемой задачи линейного программирования имеет вид fmax = f(0; 0; 3; 4) = 10. Поскольку нулевая оценка присутствует в небазисном столбце (столбец x1), решение задачи не единственно.

6. fmin = f(4; 3; 0; 5; 0) = 4; fmax = f(0; 2; 6; 0; 7) = 5.

7. Решение двойственной задачи gmin = g (	41	;	50	; 0) = 23.
	39		39

8. fmin = f(0; 5; 19; 0; 2) = 15.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2016672.26 Кб3Материал к техническому анализу.doc
#
01.05.2019237.06 Кб4материал по ГАКу(ДКБ).doc
#
13.03.2015744.45 Кб17материал.doc
#
13.03.2015473.19 Кб175Материалы к зачёту.pdf
#
13.03.2015202.16 Кб8Материалы к зачету 2012.pdf
#
24.03.2016187.83 Кб8Материалы к зачету по ЛА-2013.pdf
#
19.07.201998.82 Кб4Материалы по PR&GR - копия.doc
#
26.05.20151.46 Mб11материалы.doc
#
24.03.2016894.6 Кб6Материалы_МА_ПМ-1семестр.pdf
#
13.03.201572.06 Кб24Матрица Ансоффа.docx
#
27.09.2019605.7 Кб7матста.doc