1. Запишите общую формулу разложения в ряд по центральным эмпирическим моментам среднего арифметического функции от признака. Рассмотрите функцию f(x) = По какой формуле находится приближенно среднее значение функции если известно среднее и дисперсия σ²?

2. Какие статистические данные называются группированными? Каким образом по интервальному распределению частот вычисляются эмпирическое среднее и эмпирическая дисперсия? В чем состоит поправка Шеппарда?

3. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной доли в случае повторной (бесповторной) выборки. Поясните все используемые обозначения.

4. Сформулируйте определение выборки из распределения. Как в этом случае определяются: выборочное среднее, выборочные начальные и центральные моменты, выборочная функция распределения?

5. Докажите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочного среднего в случае повторной выборки.

6. Выведите формулу для дисперсии выборочного среднего бесповторной выборки.

7. Что такое точечная статистическая оценка? Какие оценки называются несмещенными, эффективными, состоятельными? Приведите пример эффективной оценки.

8. Запишите формулу для несмещенной оценки начального момента произвольного порядка. Докажите несмещенность.

9. Сформулируйте теорему Слуцкого и на ее основе докажите теорему о состоятельных оценках центральных моментов.

10. Сформулируйте и докажите теорему о состоятельности оценок метода моментов.

11. Сформулируйте определения распределений χ², Стьюдента и Фишера. Какие из этих распределений являются симметричными?

12. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии распределения χ² с заданным числом степеней свободы n. Докажите одно из соотношений.

13. Что называется интервальной оценкой параметра распределения? Какие оценки называются симметричными по вероятности? Определите понятия: доверительная вероятность и точность оценки.

14. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал для математического ожидания при известной дисперсии. В каких случаях применима данная формула?

15. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при известном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?

16. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?

17. Запишите приближенный (1–α)-доверительный интервал для генеральной доли признака в случае выборки большого объема n (n→∞). Поясните все используемые символы.

18. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал предсказания. Для каких генеральных распределений применима данная формула?

19. Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для математического ожидания нормального распределения с известной (неизвестной) дисперсией по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?

20. Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для дисперсии нормального распределения с известным (неизвестным) математическим ожиданием a по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?

21. Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми (сложными)?

22. Определите отношение правдоподобия для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Сформулируйте теорему (лемму) Неймана – Пирсона и приведите пример наиболее мощного критерия.

23. Какие статистические критерии называются критериями согласия? Сформулируйте общую схему по проверке гипотезы о вероятностях событий, образующих полную группу, по критерию Пирсона без оценки неизвестных параметров.

24. Сформулируйте общую схему статистической проверки гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона с оценкой неизвестных параметров. Как частный случай опишите проверку гипотезы о нормальном распределении.

25. Сформулируйте общую схему статистической проверки гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона с оценкой неизвестных параметров. Как частный случай опишите проверку гипотезы о распределении Пуассона.

26. Для проверки каких гипотез применяется критерий Колмогорова? Каким образом находится значение статистики данного критерия?

27. Сформулируйте критерий по проверке с заданным уровнем значимости α гипотезы о равенстве нескольких генеральных средних методом дисперсионного анализа. Каким образом находится значение статистики данного критерия?

28. Определите P-значение статистического критерия. Каким образом находится P-значение, если известно распределение статистики критерия ? Рассмотрите случай критической области вида

29. В чем состоит метод наименьших квадратов (МНК)? Используя матричную запись, укажите явный вид (приближенного) решения системы линейных уравнений по МНК. В каком случае МНК-решение не существует?

30. Используя метод наименьших квадратов, найдите коэффициенты α и β, удовлетворяющие соотношениям: α+βx₁ ≈ y₁, α+βx₂ ≈ y₂, ...,α+βx_n ≈ y_n.

1. Запишите общую формулу разложения в ряд по центральным эмпирическим моментам среднего арифметического функции от признака. Рассмотрите функцию f(x) = По какой формуле находится приближенно среднее значение функции если известно среднее и дисперсия σ²?

f(x) – ф-ция, ряд Тейлора кот сходится в каждой точке. . .Для f(x)= = ; .

2. Какие статистические данные называются группированными? Каким образом по интервальному распределению частот вычисляются эмпирическое среднее и эмпирическая дисперсия? В чем состоит поправка Шеппарда?

Статистические данные, представленные в виде таблиц интервальных частот, наз-ся группированными.

Эмпирич интервальн среднее: , где - середина интервала (a_i;b_i).

Эмпирич интервальн дисп-я:

Зачастую все интервалы имеют одинак длину: h=b₁-a₁=b₂-a₂=…Тогда применяют формулу: , где -поправка Шеппарда.

Поправка чаще всего применяется в тех случаях, когда эмпирическая функция распределения хорошо приближается функцией распределения нормального закона.

3. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной доли в случае повторной (бесповторной) выборки. Поясните все используемые обозначения.

-генеральное статистическое распределение Х

-выборочное статистическое распределение Х

Опр.: Отношение называют генеральным (выборочным) значением признака Х

Теорема: Пусть р – генеральная ( - выборочная) доля значения признака Х, . Тогда:

1)

2)

3) .

4. Сформулируйте определение выборки из распределения. Как в этом случае определяются: выборочное среднее, выборочные начальные и центральные моменты, выборочная функция распределения?

Выборкой или выборочной совокупностью называется совокупность случайно отобранных объектов

Выборочными характеристиками признака X называют эмпирические характеристики признака X в выборочной совокупности.

Выборочное среднее- это среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности

Если все значения x_1, x_2, …, x_n признака выборки n различны, то выборочная средняя равна:

Если же значения признака x_1, x_2, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причём n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

Или

Начальным выборочным моментом порядка k называется среднее арифметическое k-x степеней наблюдаемых значений случайной величины

где

Из определения следует, что начальный выборочный момент нулевого порядка:

а начальный выборочный момент первого порядка:

Центральным выборочным моментом порядка k называется среднее арифметическое k-x степеней отклонений наблюдаемых значений случайной величины от их среднего арифметического.

= .

Из определения следует, что центральный выборочный момент нулевого порядка:

,

центральный выборочный момент первого порядка:

Выборочная функция распределения

Это функция F*(x), определяющая для каждого значения x относительную частоту события X < x.

По определению: , где n_x – число вариант, меньших x, n – объём выборки

5. Докажите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочного среднего в случае повторной выборки.

X₁…X_s – распределение X в основной совокупности

N₁…N_s:

Xi	X1	…	Xs
P		…

M(X_i) =

D(X_i)=D(X)

X₁…X_s – независимы для любых X_i ~ X_j

6. Выведите формулу для дисперсии выборочного среднего бесповторной выборки.

Будем считать, что - значения признака в бесповторной выборке. Так как зависимы, то нельзя утверждать, что . Заметим, что данная ковариация одинакова для всех пар , для которых . Это следует из того, что бесповторную выборку можно представить как результат одновременного извлечения всех выборочных элементов и, следовательно, совместное распределение сл. величин совпадает с совместным распределением . Предположим, что объемы выборочной и генеральной совокупностей равны. Тогда выборочное среднее является неслучайной величиной, так как .

Следовательно,

.

Отсюда найдем ковариацию : .

Для любого :

, ч.т.д.I