Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при известном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
При известном мат. Ожидании существует эффективная точечная оценка дисперсии:
Центральная статистика:
-
распределена по закону N(0,1),
распределением статистики является хи
квадрат.
Зависимость T0 от сигма квадрат является убывающей.
Теорема: Если
и независимо, то
.
Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?
При неизвестном мат. ожидании: используется исправленная выборочная дисперсия.
Распределено по закону хи квадрат с n-1 степенями свободы.
Запишите приближенный (1–α)-доверительный интервал для генеральной доли признака в случае выборки большого объема n (n→∞). Поясните все используемые символы.
В
некоторых случаях при заданном объеме
выборки не удается точно найти вероятность,
с которой интервал
накрывает
параметр
распределения
однако предел вероятности при n стрем.
к бесконечности существует и может быть
найден по имеющимся данным. Так как при
больших n
выполняется приближенное равенство:
Интервал называется приближенным (асимптотическим) гамма-интервалом.
Предположим, что признак X распределен по закону Бернулли
-
Х
0
1
-P0
q
p
Р0- вероятностная мера(относительная частота) . Доля элементов для которых X=1 равна р.
-выборка
объема n.
-
Х
0
1
Отн. частота
-соответствующее выборочное распределение признака p и q с крышками – случайные числа.
Поскольку для
распределения Бернулли
из
оценок для мю получаем следующие 1-альфа
доверительные оценки.
Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал предсказания. Для каких генеральных распределений применима данная формула?
Х1,…,Xn+1
– выборка из нормального распределения
в генеральной совокупности
Будем считать, что Xi-результат наблюдения Х в испытании, проводимом в момент времени i=1,…,n+1. Тогда имеет смысл следующая задача: построить по данным X1,..,Xn интервал предсказания (L,H), накрывающий Xn+1с доверительной вероятностью гамма.
Используя стандартные
статистики
Построим статистику:
T=
s
– исправленная дисперсия
Статистика распределена по закону Стьюдента, является центральной статистикой. Построим двусторонний интервал предсказания для Xn+1, т.е. такой интервал (L,H), что L=l(X1,…,Xn), H=h(X1,…,Xn) и
Выбираем
Имеем:
Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для математического ожидания нормального распределения с известной (неизвестной) дисперсией по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?
Пусть σ2 известна
1)Выберем положительные и
2)
Получаем:
и
Получаем:
-ген среднее, -ген дисперсия, АЛЬФА, n
Пусть σ2 неизвестна
.
Заменим σ на s. Новая
статистика: T=
,
=> Получается опять центральная
статистика.
(1-α)-доверительная оценка µ симметричная по вероятности имеет след. вид:
Теорема: Если Х1,…,Хn независимы и распределены по нормальному закону, то отношение T распределено по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Построение интервала аналогично выше приведенному, но кроме вместо процентных точек стандартного нормального распределения используются процентные точки распределения Стьюдента.
.
Опр.: Двухсторонняя интервальная оценка называется симметричной по вероятности, если
-
(1 – α)-доверительная оценка сверху при
изв-й дисперсии;
- (1 – α)-доверительная
оценка сверху при неизв-й дисперсии;
В
данном случае
,
то есть данная оценка сверху выполняется
с вероятностью (1-
).
Запишите (1–α)-доверительную оценку сверху для дисперсии нормального распределения с известным (неизвестным) математическим ожиданием a по выборке объема n. Почему данная оценка (неравенство) выполняется с вероятностью (1–α)?
При известном мат. Ожидании существует эффективная точечная оценка дисперсии:
Центральная статистика:
- распределена по закону N(0,1), распределением статистики является хи квадрат.
Зависимость T0 от сигма квадрат является убывающей.
Теорема: Если и независимо, то .
При неизвестном мат. ожидании: используется исправленная выборочная дисперсия.
Распределено по закону хи квадрат с n-1 степенями свободы.
- (1–α)-доверительная
оценка сверху для дисп при известном
мат ожидании
- (1–α)-доверительная
оценка сверху для дисп при неизвестном
мат ожидании;
В данном случае , то есть данная оценка сверху выполняется с вероятностью (1- ).