26. Для проверки каких гипотез применяется критерий Колмогорова? Каким образом находится значение статистики данного критерия?

Его применяют для проверки гипотезы о совпадении истинной функции распределения с некоторой гипотетической функцией распределения. Критерий Колмогорова применяется при n≥20

Для любого число компонент вектора , которые меньше , обозначим . Для случайного вектора обозначение имеет тот же смысл, но при этом является дискретной случайной величиной с возможными значениями 0,1,…,n. Пусть -реализация случайной выборки объема n из некоторого распределения с функцией . Эмпирическую функцию распределения, соответствующую выборке , можно записать в виде

Оценка функции по случайной выборке записывается аналогично:

Расстояние между функциями (эмпирическая функция) и (теоретическая функция) определяется формулой

Для функции расстояние - это простое число, тогда как для расстояние является случайной величиной, принимающей значения на отрезке [0,1].

Теорема:В случае непрерывной функции F(x) при любом неотрицательном существует предел:

где

Вследствие этого критерий согласия с критической областью

где - корень уравнения , имеет при уровень значимости, стремящийся к . То есть - асимптотический уровень значимости. Именно этот критерий и называется критерием Колмогорова.

На практике при вычислении максимального абсолютного отклонения теоретической функции от эмпирической функции применяется следующая формула:

где -i-ый член вариационного ряда

Итак, схема применения критерия А. Н. Колмогорова следующая: строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения , определяется - максимум модуля разности между ними. Далее определяется величина и по табличным значениям находится вероятность того, что, если случайная величина действительно распределена по закону , за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между и будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших значениях вероятности ее можно считать совместимой и опытными данными.

27. Сформулируйте критерий по проверке с заданным уровнем значимости α гипотезы о равенстве нескольких генеральных средних методом дисперсионного анализа. Каким образом находится значение статистики данного критерия?

Пусть -выборка объема ni из нормального распределения с параметрами мю и сигма, где i=1,…,k. Предположим, что n=n1+…+nk случайных величин

Независимы в совокупности. Таким образом, выборки независимы и получены из нормальных распределений с одинаковой дисперсией сигма квадрат и, возможно, различными средними мю1,…,мюк. Гипотеза о равенстве всех средних одновременно записывается как Н0: мю1=…=мюк

А альтернативная гипотеза – как

Н1: (

Заметим, что при верной Н0 выборки являются предположениях может рассматриваться как параметрический аналог рассмотренных ранее непараметрический гипотез однородности.

Рассмотрим объединенную выборку объема n=n1+…+nk:

Интерпретируя выборки как группы, на которые разбита совокупность , введем обозначения:

-выборочное среднее в i-ой совокупности

-выборочная дисперсия в той же выборке

-выборочное среднее в объединенной выборке

-средняя групповая дисперсия

-межгрупповая дисперсия

-выборочная дисперсия признака в объединенной выборке

, где первое слагаемое характеризует среднюю изменчивость признака в каждой выборке, а второе характеризует разброс выборочных средних.

Критерий Н0 против Н1 основан на следующей теореме, которую приводим без доказательства

Теорема: Пусть верна гипотеза H0, тогда

Определим F-отношение

Статистику можно представить также в виде:

Вывод: для проверки H0 при уровне значимости α можно использовать критерий с критической областью: