7. Что такое точечная статистическая оценка? Какие оценки называются несмещенными, эффективными, состоятельными? Приведите пример эффективной оценки.

Пусть - выборка объема n из распределения L.

Статистикой называется сл. вел. вида , где - какая-либо функция от выборочных значений. Точечная статистическая оценка – статистика, предназначенная для оценки параметров распределения.

Статистическая оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание для всех .

Статистическая оценка называется эффективной в некотором классе оценок, если в этом классе при фиксированном объеме выборки она имеет наименьшую среднюю квадратичную ошибку (то есть оценка является эффективной в классе , если для любой оценки выполняется неравенство: ).

Статистическая оценка называется состоятельной, если при .

Пример:

Пример: относительная частота успехов в серии из испытаний по схеме Бернулли есть эффективная оценка вероятности успеха

8. Запишите формулу для несмещенной оценки начального момента произвольного порядка. Докажите несмещенность.

Статистическая оценка называется несмещенной, если для любых допустимых генеральных распределений .

Пусть - генеральный начальный момент. - выборочный момент порядка .

Утверждение: Выборочный начальный момент является несмещенной оценкой генерального момента.

Док-во: , ч.т.д.

9. Сформулируйте теорему Слуцкого и на ее основе докажите теорему о состоятельных оценках центральных моментов.

Теорема Слуцкого. Если для К последовательностей случайных величин

существуют пределы по вероятности , то для , непрерывной в точке выполняется соотношение

Теорема. Если для генерального распределения существует начальный момент порядка 2m , то выборочный момент порядка к - состоятельная оценка для для любого к=1…m.

Доказательство.

- состоятельная оценка для

10. Сформулируйте и докажите теорему о состоятельности оценок метода моментов.

Теорема: Если распределение зависит от параметров и при любом допустимом наборе их значений существует начальный момент порядка 2k, тогда оценка методом моментов является состоятельной.

Док-во:

11. Сформулируйте определения распределений χ², Стьюдента и Фишера. Какие из этих распределений являются симметричными?

Опр.: Распределение суммы с k степенями свободы, называется распределением квадратов независимых случайных величин, распределённых по закону N(0,1), и обозначается

Опр.: Распределение отношения с k степенями свободы, где Х и Y- независим., называется распределением Стюдента и обозначается t(k)

Опр.: Распределением Фишера (F- распределение) с и степенями свободы называется распределение отношения:

.

Распределение Стюдента является симметричным

12. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии распределения χ² с заданным числом степеней свободы n. Докажите соотношение D(x)=2n.

т.к. z не зависимы

13. Что называется интервальной оценкой параметра распределения? Какие оценки называются симметричными по вероятности? Определите понятия: доверительная вероятность и точность оценки.

Интервальная оценка представляет собой случайный промежуток, накрывающий оцениваемый параметр с вероятностью, близкой к 1.

Пусть -случайная выборка из некоторого распределения, зависящего от параметра , -определяемый по выборке случайный интервал. Конечные интервалы задаются при помощи двух статистик .

Опр.: Интервальной оценкой параметра называется соотношение , в завис-ти от вида интервала может запис-ся:

1. -двусторонняя оценка

2. -оц сверху

3. -оц снизу

Опр.: Двухсторонняя интервальная оценка называется симметричной по вероятности, если

Опр.: Промежуток называется интервалом для параметра , если при любом допустимом значении вероятность . Число при этом называется доверит вероятностью.

Имеется конечный γ-доверительный интервал - точечная оценка параметра θ. С вероятностью γ абсолютная ошибка в меньше . Величина -точность доверительной оценки. Для односторонних интервалов оценки точности не существует.

14. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал для математического ожидания при известной (неизвестной) дисперсии. В каких случаях применима данная формула?

1)Выберем положительные и

2)

Получаем:

и

Получаем:

-ген среднее, -ген дисперсия, АЛЬФА, n