Задача 3.1

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки α_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (α_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij			Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,1	0,2	0,1	200
2	0,2	0,1	0,0	150
3	0,0	0,2	0,1	250

Решение:

1. Проверим продуктивность технологической матрицы А=(a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

А = ,Y =

Для проверки продуктивности матрицы А, найдем обратную матрицу (Е-А):

Е =

(Е-А) = ,

Для определения обратной матрицы можно воспользоваться встроенной функцией Excel «Мобр»:

рис.10

рис.11

обр = ,

Т.к. все элементы этой матрицы не отрицательны, значит, матрица А продуктивная.

2. Построим баланс.

Для построения межотраслевого баланса построим линейную балансовую модель:

обр =

Определим вектор валовой продукции по формуле:

Х=(Е-А)^об * y

рис.12

рис.13

Определим межотраслевые поставки:

Х_ij=а_ij * х_j

Х₁₁=А₁₁*Х₁=0,1*311,3=31,13

Х₁₂=А₁₂*Х₂=0,2*235,8=47,16

Х₁₃=А₁₃*Х₃=0,1*330,2=33,02

Х₂₁=А₂₁*Х₁=0,2*311,3=62,26

Х₂₂=А₂₂*Х₂=0,1*235,8=23,58

Х₂₃=А₂₃*Х₃=0,0*330,2=0,0

Х₃₁=А₃₁*Х₁=0,0*311,3=0,0

Х₃₂=А₃₂*Х₂=0,2*235,8=47,16

Х₃₃=А₃₃*Х₃=0,1*330,2=33,02

Находим условно чистый продукт:

V_i=X_i-∑x_ij

V₁=311,3-93,39=217,91

V₂=235,8-117,9=117,90

V₃=330,2-66,04=264,16

Таблица межотраслевого баланса:

рис.14

рис.15

Задача 4.1

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2 ..... 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10	14	21	24	33	41	44	47	49

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Ỹ(t)= α₀ + α ₁ t, параметры которой оценить МНК (Ỹ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариям

Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для проверки наличия аномальных явлений строим в программе Excel, по исходным данным, диаграмму рассеяния изучаемых признаков:

рис.16

рис.17

Визуальный анализ диаграммы рассеяния (рис.17) показывает, что точек удаленных от первичных данных нет. Значит, аномальные наблюдения отсутствуют.

2. Построим линейную модель Ỹ(t)= α₀ + α ₁ t, параметры которой оценить МНК (Ỹ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда). МНК – метод наименьших квадратов.

Ỹ(t)= α₀ + α ₁ t,

где α₀ начальное значение спроса;

α ₁ скорость или интенсивность показателя у (спроса);

,

отсюда

Для удобства вычислений строим таблицу в Excel:

Таблица оценки параметров

рис.18

рис.19

t_ср =45/9=5,

y_ср =283/9=31,4,

α ₁ = 318/60=5,3,

α ₀ = 31,4-5,3*5=4,9.

Таким образом линейная модель примет вид: Ỹ(t)=4,9+5,3t

y_1p =4,9+5,3*1=10,24

y_2p =4,9+5,3*2=15,54

y_3p =4,9+5,3*3=20,84

y_4p =4,9+5,3*4=26,14

y_5p =4,9+5,3*5=31,44

y_6p =4,9+5,3*6=36,74

y_7p =4,9+5,3*7=42,04

y_8p =4,9+5,3*8=47,34

y_9p =4,9+5,3*9=52,64

E_t – это ряд остатков фактических данных от рассчитанных от модели.

E_t = y_{t ф} - y_{t p}

E₁ = 10-10,24=0,24 и т. д.

Полученные данные в таблице на рис.20:

рис.20

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

Проверка адекватности:

Для проверки свойства случайных уровней в ряде остатков используем критерий поворотных точек (пиков). Получилось 4 точки поворота (рис.21).

рис.21(а)

рис.21(б)

Свойство случайности выполняется, так как количество поворотных точек р удовлетворяет неравенству:

_,

_,

р=4>2 – неравенство верно.Следовательно, ряд остатков случайные значения.

Для проверки независимости уровней в ряде E_t или отсутствия автокорреляции в нем, применяется d – критерий (Дарбина Уотсона). Определим величину d по формуле:

_,

(d₁ < d < d₂ – область неопределенности).

Для n=9, d₁=1,08, d₂=1,36, r_табл=0,36;

Рассчитаем первый коэффициент корреляции:

_,

<r_табл.=0,36, расчетное значение меньше табличного, следовательно, ряд остатков не присутствует автокорреляция. Уровни ряда остатков зависимы.

Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используют RS – критерий.

RS= (Е_max-E_min)/S, где Е_max и E_min – соответственно наибольшие и наименьшие значения в ряде остатков. S – среднее квадратическое отклонение или стандартная ошибка.

_,

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,3) попадает в заданный интервал (2,7<3,3<3,7).

Для проверки равенства О математического ожидания остатков можно воспользоваться условием: стремится к О.

_,

следовательно свойство выполняется.

Вывод: т.к. не все статистические критерии оказались выполненными, то построенная модель кривой роста Ỹ(t)=4,9+5,3t, является не адекватной статистическим свойствам.

4. Оценим точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

_{На рис.22 мы видим полученные значения: Е2 (отн) = 11,0; Е3 (отн) = 0,7; Е4 (отн) = 8,9; Е5 (отн) = 4,7; Е6 (отн) = 10,4; Е7(отн) = 4,4; Е8 (отн) = 0,7; Е9 (отн) = 7,4.}

_рис.22

_{т.к. 5,7% > 5%, значит уровень точности модели не достаточный.}

_{Фактические уровни отличаются от расчетных в среднем на 5,7%.}

_{Вывод о качестве: качественные характеристики модели не достаточны для целесообразности ее использования при прогнозе.}

5. По двум построенным моделям осуществим прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитаем при доверительной вероятности р = 70%).

а) Точечный прогноз рассчитаем по формуле:

_{При к=1: Y9+1=Y10=4,9+5,3*(9+1)=57,9}

_{при к=2: Y9+2=Y11=4,9+5,3*(9+2)=63,2.}

_{б) Построение доверительного интервала прогноза:}

_{Сначала определим ошибку прогнозирования по формуле:}

_{нижняя граница интервала = Yn+k-Uk=}

_{верхняя граница интервала = Yn+k+Uk}

_{tтабл=(0,3;8)=1,11 (вычисляем с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР в Excel).}

_{При k=1,}

_{при k=2,}

_{нижняя граница интервала = Yn+k-Uk=Y10-U1=57,9-3,3=54,6}

_{верхняя граница интервала = Yn+k+Uk=Y10+U1=57,9+3,3=61,2;}

_{нижняя граница интервала = Y11-U2=63,2-3,5=59,7}

_{верхняя граница интервала = Y11+U2=63,2+3,5=66,7.}

_{При хорошем качестве модели оборот фирмы на 10 и 11 месяце с вероятностью 70% попадает в интервалы образованные верхними и нижними границами.}

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически:

_{По результатам вычисления строим в Excel график:}

t	y(ф)	y(p)	Интервальный прогноз
			Нижняя граница	Верхняя граница
1	10	10,2
2	14	15,5
3	21	20,8
4	24	26,1
5	33	31,4
6	41	36,7
7	44	42,0
8	47	47,3
9	49	52,6
10		57,9	54,6	61,2
11		63,2	59,7	66,7

рис.23

Результаты работы с программой «СтатЭксперт»:

Cтатистики временного ряда - Показатель-A
Проверка однородности данных
Аномальные наблюдения не обнаружены

Характеристики базы моделей
Модель	Адекват ность	Точность	Качество
Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t)	73,658	76,790	76,007
Лучшая модель Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t)

рис.24

19 ноября 2009 г