Решение задач Задача 1.1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико – математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?
Решение:
Введем обозначения:
х1 — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции автомобильного концерна А.
х2 — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции строительного предприятия В.
1) Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
8%
=0,08, 10% = 0,1
Построим ОДР задачи:
I.
-
х1
х2
0
300
300
0
Прямая
проходит через точки (0;300) и (300;0).
О(0;0): 0 + 0
– верно, входит в ОДР;
II.
,
-
х1
х2
200
100
0
0
Прямая
проходит через точки (200; 100) и (0;0).
О(1;0): 1-2
0
–
верно, входит в ОДР;
III.
-
х1
х2
0
100
Прямая
проходит через точку (0; 100) и параллельна
оси ОХ.
О(0;0): 0
-
верно, входит в ОДР.
ОДР задачи это треугольник ОАВ.
Искомая область
может находиться только в 1 четверти
декартовой системы, т.к.
.
2) Определим
оптимальные точки задачи: т. max
и т. min.
Для этого используем линии уровня
целевой функции, это прямые заданные
уравнением
(рис.1).
Для определения направления движения к оптимуму, построим вектор-градиент С.
Координаты вектора являются частными производными целевой функции, т.е. (0,08;0,1). Чтобы построить вектор, нужно соединить эту точку с точкой начала координат. Для удобства строим вектор, пропорциональный вектору С. Он имеет координаты (80;100).
Рис.1
Перпендикулярно этому вектору С через начало координат проводим линию нулевого уровня целевой функции. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня в направлении вектора, а при минимизации – в противоположном направлении.
Предельными точками являются соответственно т. А(max) и т.О(min).
т.О(0;0), т.к. это точка начала координат.
Определим координаты т.А, являющейся точкой пересечения всех прямых. Для этого решим систему, состоящую из 3-х уравнений:
.
Отсюда:
А(200;100).
3) Определим оптимальное значение функции:
F max = 0,08*200+0,1*100=16+10=26 (тысяч ден. ед.) – максимальная прибыль, которую можно получить в 1 год по акциям.
Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту С. Минимум целевой функции достигается в точке О(0;0), следовательно, можно записать min (F) = 0 и достигается при x1 =0;x2 = 0.Значит, минимальная прибыль в 1 год составит 0 тыс. ден. ед.
Ответ: max (F) =26 и достигается при x1 =200;x2 =100;
Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.
Расчет в Excel:
