Задача 2.1

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Обозначим через Х1, Х2, Х3, Х4 объемы производства соответствующего вида продукции (количество продукции А,Б,В,Г). Получим: Х1 – объем производства продукции А, Х2 – объем производства продукции Б, Х3 – объем производства продукции В,

Х4 – объем производства продукции Г.

1). Экономико – математическая модель задачи «максимум выручки от реализации готовой продукции» имеет вид:

F=

Далее решаем задачу с помощью надстройки Excel «поиск решений».

Создаем таблицу и вводим в нее исходные данные задачи. Затем вводим зависимость для целевой функции:

Рис. 2

Далее вводим зависимости для ограничений, копируя формулу из целевой ячейки F4 в ячейки F7. F8. F9.

В развернутом меню команда «поиск решения» устанавливаем целевую ячейку, вводим данные по направлению целевой функции, заполняем строку «изменяя ячейки» и вводим ограничения:

Рис. 3

Ввести параметры для решения ЗЛП:

рис. 4

Сохраняем найденное решение:

Рис. 5

Получили оптимальный план выпуска продукции:

Рис.6

Оптимальный план: Х₁=18, Х₂=0, Х₃=0, Х₄=11.

Решение задачи найдем в поиске решений.

Экономический смысл задачи: продукция Б и В не рентабельна (Х2=0, Х3=0). Продукцию видов А и Г выгодно производить в количествах соответственно равных 18 и 11. При таком плане производства продукции выручка от реализации готовой продукции будет максимальна и составит 326 ден.ед.

2). Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Составим двойственную задачу:

y₁ – цена за единицу сырья 1 типа,

y₂ – цена за единицу сырья 2 типа,

y₃ – цена за единицу сырья 3 типа.

Z=18y₁+30y₂+40y₃

Создадимотчет по устойчивости и по нему найдем решение двойственной задачи.

Рис. 7

В столбце «теневая цена» мы видим:

y₁=7 – цена на 1 единицу I типа сырья;

y₂=0 – цена на 1 единицу II типа сырья;

y₃=5 – цена на 1 единицу III типа сырья.

Z_min= 326 – минимальные общие затраты на ресурсы.

Fmax=Zmin.

Экономический смысл: предприятию безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану Х и продавать ее с максимальной прибылью Fmax или продавать ресурсы по оптимальным ценам У, возмещая от продажи общие минимальные затраты на них Zmin равные Fmax.

3) Нулевые значения переменных в оптимальном плане:

, , означает, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.

4) а) По отчету на основании теоремы 2 «Вторая теорема двойственности», т.к. y₂=0 (сравнивая значения в столбцах «результат значение» и «ограничение правая часть») делаем выводы, что ресурсIIнедефицитный, используется не полностью (29<30, поэтому имеет нулевую двойственную оценку). Этот ресурс в меньшей степени влияет на план выпуска продукции.

Ресурсы IиII– дефицитны, т.к.y₁= 7>0,y₃=5>0.

б) В отчете обратим внимание на столбец «допустимые увеличения». Заданные изменения запасов ресурсов допускаются интервалами устойчивости. Поэтому можно воспользоваться 3-й теоремой двойственности: «Численные значения двойственной задачи показывают, как изменится прибыль при изменении запаса соответственно у ресурса на 1 единицу»: ∆F = y_i *∆b_i.

Ограничение по I виду сырья будет 18+4=22

Ограничение по II виду сырья будет 30+3=33

Ограничение по III виду сырья будет 40-3=37

∆ Fmax =∆ F_I+∆ F_II+∆ F_III= y₁*∆b₁+y₂*∆b₂+y₃*∆b₃=7*4+0*3-5*3=28-15=13

В нашей задаче значение целевой функции увеличивается на 13 ден.ед, план выпуска: x₁=22; x₂=0; x₃=0; x₄=7,5. ∆ Fmax=339.

Получаем новый план выпуска продукции:

Рис. 8

Новый отчет по устойчивости:

Рис. 9

Мы видим, что теневая цена не изменилась. Ресурсы I и III по-прежнему остаются дефицитными, причем ресурс I является более дефицитным, чем ресурс III, т.к. .y₁>y₃. Прибыль от выпуска готовой продукции изменится (выручка от реализации готовой продукции А увеличится на 48 ден. ед., а по продукции Г уменьшится на 35 ден. ед.). А ресурс II все также остается недефицитным, т.к. ∆ F=0*∆b₂=0, то при изменении запасов этого ресурса прибыль не меняется.

в) Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

α_j - нормированные затраты ресурсов на производство единицы новой продукции Д;

с – ожидаемая прибыль.

∆_j=∑α_ij * y_i - c_j = α_1j* y₁ + α_2j * y₂ + α_3j * y₃- c_j

∆_д=2*7+2*0+2*5-10=14+10-10=14>0

Затраты на производство готовой продукции Д превышают ее стоимость, значит производство этой продукции не выгодно.

Вывод: Предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную прибыль, либо продать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.