- •1.Числовая последовательности и ее предел.
- •2.Способы задания функции.
- •1. Аналитический способ
- •2. Табличный способ
- •3. Графический способ
- •3.Предел функции. Односторонние пределы.
- •Левый и правый пределы функции
- •4.Первый замечательный предел.
- •7.Производная. Геометрический и механический смысл производной
- •8.Таблица производных и правила дифференцирования
- •9.Возрастание и убывание функции
- •Точки экстремума, экстремумы функции.
- •Достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума функции.
- •Первое достаточное условие экстремума.
- •Второй признак экстремума функции.
- •Третье достаточное условие экстремума функции.
- •10. Экстремумы функции Определение экстремума
- •Точки экстремума
- •Задачи на нахождения экстремума функции
- •11.Производные высших порядков. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора
- •Определённый интеграл
- •13. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.
- •15.Признак сходимости Даламбера и Коши
- •17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд Тейлора
- •Определение
- •Формула Тейлора для большого числа переменных
- •19.Частная производная
- •Обозначение
- •Геометрическая интерпретация
- •Примеры
- •21.Дифференциальное уравнение
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Порядок дифференциального уравнения
- •Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- •Примеры
11.Производные высших порядков. Формула Тейлора
Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом
Пример
Задание. Найти вторую производную функции
Решение. Для начала найдем первую производную:
Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:
Ответ.
Больше примеров решенийРешение производных онлайн
Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции:
Формула Тейлора
Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.
Формула Тейлора
, где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора.
Остаточный член формулы Тейлора
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
12.Неопределенный и определенный интегралы
Неопределённый интеграл.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной дляF(x), т.е. . Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим Свойства первообразной.
Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ).
Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.
Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Неопределённый интеграл и его свойства. Определение. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением. Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
.
(или ).
Таблица неопределённых интегралов.
1 |
. |
11 |
. |
2 |
. |
12 |
. |
3 |
(). |
13 |
. |
4 |
. |
14 |
. |
5 |
; . |
15 |
. |
6 |
. |
16 | |
7 |
. |
17 |
. |
8 |
. |
18 |
. |
9 |
. |
19 |
. |
10 |
. |
20 |
; . |
В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то ; если x < 0, то . Простейшие правила интегрирования.
()