1.Числовая последовательности и ее предел.
Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
(1)
следующих одно
за другим в определенном порядке и
построенных по определенному закону,
с помощью которого 
задается
как функция целочисленного
аргумента, 
т.е. 
.
Число А называется
пределом последовательности (1), если
для любого 
существует
число 
,
такое, что при 
выполняется
неравенство 
. Если
число А есть предел последовательности
(1), то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:
если 
.
Пример 1.
Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …
Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что
и
т.д.
Следовательно 
Пример 2.
Найти
общий член последовательности 
Р е ш е н и е : не трудно видеть, что
, 
, 
и
т.д.
Следовательно:
Пример 3.
Доказать,
что последовательность с общим
членом 
имеет
предел, равный нулю.
Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности
и
положим 
.
Для всех членов данной последовательности,
начиная с четвертого, выполняется
равенство
Действительно
и т.д.
В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство
.
Положим
теперь 
.
Ясно, что для
всех членов последовательности начиная
с седьмого,
.
Теперь
за N можно
принять шесть (или любое число, большее
шести). Если 
,
то 
и
т.д.
В
данном случае можно найти общее выражение
для числа N в
зависимости от 
. Общий член
данной последовательности 
.
Задавшись произвольным положительным
числом 
,
мы должны в соответствии с определением
предела, потребовать, чтобы
при n > N выполнялось
неравенство 
,
если 
.
Решая
неравенство относительно n,
получаем 
.
Итак, за N можно
принять число 
(или
любое большее число). Таким образом, мы
показали, что для любого 
существует
такое 
,
чтопри 
,
выполняется неравенство 
,
а это и доказывает, что пределом
последовательности является нуль.
Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.
2.Способы задания функции.
1. Аналитический способ
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.