Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

Н. В. Безверхний

Кратные интегралы

Методические указания к решению задач по дисциплине «Кратные интегралы и теория функций комплексного переменного»

Москва

2014

УДК 517.37 ББК 22.161.1 Б39

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book200.html

М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 64, [4] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3990-4

В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных интегралов к задачам механики.

Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специальностей.

УДК 517.37 ББК 22.161.1

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов младших курсов всех специальностей, изучающих математический анализ и его раздел «Кратные интегралы». Цель пособия — помочь студентам в освоении практической составляющей раздела «Кратные интегралы», поэтому его основу составляют примеры и задачи. При этом рассмотрены не только примеры решения задач теоретического характера на вычисление объемов тел, площадей и т. п., но и приложение теории кратных интегралов к задачам механики.

Теоретический материал изложен в объеме, необходимом для понимания рассматриваемых методов решения. Весь материал разбит на подразделы, соответствующие различным типам задач, таким как вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах или замена переменных в двойном интеграле.

Каждый раздел содержит основы теории, примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельной работы, которые можно использовать как на практических занятиях, так и в качестве вариантов домашних заданий.

Прилагаемый в конце пособия список литературы рассчитан на углубленное изучение теоретического материала и рекомендуется для подготовки к экзамену. Кроме того, он поможет освежить знания, полученные в предыдущих семестрах и необходимые для решения задач текущего раздела.

Автор выражает свою благодарность доценту кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана О.В. Пугачеву, давшему ряд полезных советов.

3

1.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

ВПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

1.1.Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть в области σ плоскости xOy определена функция

z = f (x, y) = f (P),

где P — точка плоскости xOy с координатами ( x, y). Выполним следующие действия.

1. Разобьем область σ на n малых областей Δσ1 , …, Δσn так, чтобы сумма их площадей была равна площади всей области σ:

S(σ) = ∑in=1S(Δσ1 ) и σ = in=1 Δσi . Совокупность таких областей назовем разбиением области σ и обозначим T = {Δσ1, …, Δσn }.

2. В каждой малой области Δσi выберем произвольную точку

Pi ( xi , yi ). Множество {P1, …, Pn } таких точек назовем разметкой разбиения T области σ и обозначим ξ. Разбиение T вместе с разметкой ξ назовем размеченным разбиением области σ и обозначим Tξ .

3. Составим сумму

4

4. Предположим, что существует предел интегральных сумм S f (Tξ ) при неограниченном увеличении числа n малых областей

и стягивании каждой из них в точку и что этот предел не зависит от способа разбиения области σ на малые области Δσi и от выбора в каждой из них точек Pi ( xi , yi ). Этот предел называют двойным интегралом от функции z = f (P) = f (x, y) по области σ и обозначают

∫∫ f (P)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy,

σσ

афункцию f ( x, y) называют интегрируемой в области σ.

Итак,

n

∫∫ f (x, y)dxdy = lim ∑f (xi , yi )Δσi .

σ n→∞ i=1

Область σ называют областью интегрирования, функцию f ( x, y) — подынтегральной функцией, f ( x, y)dxdy — подынтегральным выражением.

Любая непрерывная в ограниченной области σ функция интегрируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только непрерывных функций.

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1) для любой действительной константы C и интегрируемой функции f (P) функция f1(P) = Cf (P) тоже интегрируема, и верно равенство

∫∫ f (P)dxdy = C∫∫ f (P)dxdy;

σσ

2)если для интегрируемых функций f1(P), f2 (P) определить новую функцию f (P) = f1(P) ± f2 (P), то она тоже будет интегрируема, и

∫∫f (P)dxdy = ∫∫ f1(P)dxdy ± ∫∫ f2 (P)dxdy;

5

3) если область σ состоит из двух областей σ1 и σ2 , то

∫∫ f (P)dxdy = ∫∫ f (P)dxdy + ∫∫ f (P)dxdy.

Свойства 1 и 2 называют свойствами линейности интеграла, а свойство 3 — свойством аддитивности.

1.2.Вычисление двойного интеграла

впрямоугольных координатах

Область σ на плоскости xOy назовем простой областью:

1) относительно оси Ox, если она ограничена справа графиком непрерывной функции x = ψ2 ( y), слева — графиком непрерывной функции x = ψ1( y), а сверху и снизу отрезками прямых y = c, y = d, каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.1);

2) относительно оси Oy, если она ограничена сверху графиком непрерывной функции y = ϕ2 (x), снизу — графиком непрерывной функции y = ϕ1 (x), а с боков отрезками прямых x = a, x = b, каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Следует заметить, что если область σ не является простой, то ее разбивают на конечное число простых областей σ1 , …, σn и при

6

вычислении двойного интеграла по области σ используют третье свойство двойного интеграла.

Если область σ является простой относительно оси Ox , то двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

границы области σ до правой. В результате получается некоторая функция от y, которую интегрируют затем по отрезку [c, d ].

7

Замечани е. Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не выполняют, а все выкладки записывают в виде цепочки равенств следующим образом:

8

верхняя граница может быть задана

уравнением y = x, так как область

σ находится в первом квадранте, где y > 0. Заметим, что параболы пере-

графиком x = 2 + sin y. При любом фиксированном значении y из

9

отрезка [0; 2π] x меняется от x = 0 до x = 2 + sin y (рис. 1.5). По-

10