Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

x2 + y2 = 2 и расположена ниже параболы.

Решение. Область D не является простой ни относительно оси Ox, ни относительно оси Oy, поэтому приходится разбивать ее на

три простые относительно оси Oy области: D1, D2 , D3 прямыми x = 1, x = −1, проходящими через точки пересечения параболы и окружности (рис. 1.7).

11

К каждой из этих областей приме-

б) ∫∫ cos(x + y)dxdy; x = 0, y = π, y = x;

D

в) ∫∫(x2 + y2 )dxdy; x2 + y2 = 8, y = x, y = −x, y > 0;

D

г) ∫∫(x + y)dxdy; y = x, y = 1, y = x2 / 9;

D

12

д) ∫∫xdxdy, где область D, лежащая в первой четверти, ограни-

D

чена прямой, проходящей через точки (2; 0), (0; 2), и дугой окруж-

г) область D задана неравенствами y − 2x ≤ 0, 2 y − x ≥ 0, xy ≤ 2.

1.3. Изменение порядка интегрирования

Если область σ является простой как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy, то применимы обе формулы — (1.2), (1.3). Следовательно,

Иными словами, в рассматриваемом случае повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования. Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении двойного интеграла, выбирая ту из двух формул, которая приводит к более простым выкладкам.

В качестве упражнения на расстановку пределов рассмотрим задачу об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле

b ϕ2 ( x)

∫dx ∫ f ( x, y)dy.

a ϕ1( x)

13

1. Прежде всего строим область интегрирования σ, которая находится в полосе между прямыми x = a, x = b и ограничена снизу линией y = ϕ1(x), а сверху линией y = ϕ2 (x).

2.Затем область σ проектируем на ось Oy: проекцией будет отрезок [c, d ].

3.Из пункта 2 делаем вывод: прямые y = c, y = d ограничивают снизу и сверху полосу, в которой расположена область σ.

4. Находим левую границу области σ x = ψ1( y) и правую

x= ψ2 ( y).

5.Теперь можем записать исходный повторный интеграл в виде

d ψ2 ( y)

∫dy ∫ f (x, y)dx.

c ψ1 ( y)

Аналогично, если требуется изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

d ψ2 ( y)

∫dy ∫ f ( x, y)dx,

c ψ1( y)

то, спроектировав область σ на ось Ox, находим уравнения прямых x = a, x = b, нижнюю и верхнюю границы области σ: y = ϕ1(x), y = ϕ2 (x).

Если область σ не является простой относительно некоторой оси, то можно разбить σ на части, а интеграл — на сумму интегралов по этим частям. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие эту ситуацию.

Пример 1.6. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y)dxdy

σ

расставить пределы интегрирования двумя способами, если область σ ограничена прямыми x = 0, x = 1, y = 1 и кривой

y = − 2x − x2 .

14

(1; 0) и радиусом r = 1.

Рассматривая область σ как простую относительно оси Oy и зная ее верхнюю и нижнюю границы, сведем двойной интеграл к повторному:

простой относительно Ox, так как ее левая граница состоит их двух частей: графика функции x = 0 и графика функции x = 1 − 1− y2 .

лаем вывод: область σ1 проектируется на отрезок [−1; 0] оси Oy,

Пример 1.7. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y)dxdy

σ

15

двумя способами расставить пределы интегрирования по области σ, которая является параллелограммом с вершинами в точках

A(1; 2), B(2; 4), C(2;7), D(1;5).

Пример 1.8. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

1 2−x2

∫dx ∫ f ( x, y)dy.

0 x

16

y = x ) в точке B(1;1). Область σ является простой относительно оси Oy, но относительно оси Ox она не является простой, так как ее правая граница состоит из дуги окружности и отрезка прямой.

Поэтому приходится разбивать область σ на две части прямой y = 1, а интеграл — на сумму интегралов:

y = 10 − x, x = 4, x = 7, y = x − 4 (рис. 1.11).

17

Задача 1.4. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

18

Задача 1.5. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

∫∫ f ( x, y)dxdy,

D

если область D ограничена указанными линиями: а) y = sin x, y = cos x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π / 2;

б) y = ex , y = e2x , x = 1;

2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Вычисление двойного интеграла нередко можно упростить с помощью замены переменных. Пусть функции

определены на всей плоскости xOy или в некоторой ее области σ

и имеют непрерывные частные производные в области σ. Допустим также, что выписанную систему уравнений можно однозначно разрешить относительно x и y :

19

тогда каждой точке M ( x, y) из области σ будет взаимнооднозначно соответствовать пара чисел (u, v), называемых криволинейными координатами этой точки. Если область σ расположена в той части плоскости xOy, в которой введены криволинейные координаты u, v, то справедлива следующая формула:

где σ′ — область изменения криволинейных координат u, v, отвечающая области σ; J (u,v) — якобиан преобразования (2.2), не равный нулю ни в одной точке области σ′ :

Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержит сумму x2 + y2 , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам. Это объясняется тем, что указанная сумма в полярных координатах имеет простой вид:

(ρcosϕ)2 + (ρsin ϕ)2 = ρ2 .

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области интегрирования входит сумма ax2 + by2 , a > 0, b > 0, то пользуются обобщенной полярной системой координат:

20