Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

аякобиан преобразования в этом случае J (ρ,ϕ) = ρ ab .

Вполярных координатах формулы (1) имеют вид:

Отметим, что система (2.4) осуществляет переход от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, ϕ при условии, что полюс помещен в начале координат, а полярная ось направлена вдоль оси Ox. В этом случае | J |= ρ, и формула (2.3) принимает вид

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρcos ϕ, ρsin ϕ)ρdϕdρ.

σ σ′

Если область σ ограничена лучами, образующими с полярной осью углы ϕ1 < ϕ2 , и кривыми ρ = ρ1(ϕ), ρ = ρ2 (ϕ), то соответствующие этой области полярные координаты изменяются в пределах {ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ; ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ)}, и

Если область σ охватывает начало координат, то

где ρ = ρ(ϕ) — полярное уравнение кривой, ограничивающей об-

ласть σ. Формулы (2.5), (2.6) удобно использовать при вычислении интеграла по области σ, являющейся кругом или сектором круга.

Пример 2.1. Вычислить двойной интеграл

∫∫ 1 − (x2 + y2 )dxdy,

σ

если область σ ограничена окружностью x2 + y2 = 1.

21

Решение. Область σ есть круг единичного радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах имеет место равенство x2 + y2 = ρ2 (см. формулу (2.4)), и уравнение окружности принимает вид ρ = 1. Тогда по формуле (2.6) получим

если область σ ограничена верхней половиной дуги окружности x2 + y2 = ax и отрезком оси Ox от точки с абсциссой 0 до точки с абсциссой a (рис. 2.1).

22

Пример 2.3. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y)dxdy

σ

расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если

Решение. Уравнение стороны AB (x = 1) в полярных координатах принимает вид ρcosϕ = 1, или ρ = 1 / cosϕ. Уравнение стороны

BC ( y = 1) принимает вид ρ = 1 / sin ϕ. Угол ϕ изменяется от 0 до

интегрирования не является простой и приходится разбивать ее на две части, поскольку верхнюю границу интегрирования нельзя задать одной формулой. Следовательно,

σ

23

Решение. Для решения этой задачи удобно ввести обобщенные полярные координаты, положив

x = aρcos ϕ;y = bρsin ϕ.

Найдем якобиан данного преобразования. Очевидно, что

= abρ(cos2ϕ + sin 2ϕ) = abρ и | J |= abρ.

Подынтегральная функция в обобщенных полярных координатах принимает вид

Так как начало полярной оси содержится внутри области σ′, то угол ϕ изменяется от 0 до 2π. Уравнение эллипса в обобщенных полярных координатах принимает вид ρ = 1. Поэтому ρ изменяется от 0 до 1. Тогда

24

Пример 2.5. Вычислить двойной интеграл

Рассмотрим область интегрирования σ. Уравнение ее границы в полярных координатах принимает вид ρ = 1. В пределах данной области полярный угол x = ρcos ϕ изменяется от 0 до π, а полярный радиус изменяется от 0 до 1 (при любом фиксированном ϕ луч, исходящий из полюса и пересекающий область σ, имеет на границе области две точки: при ρ = 0 и при ρ = 1 ). Следовательно,

Вычисляя интеграл методом внесения под знак дифференциала, получаем:

I= π (π − 2). 2

Пример 2.6. Вычислить двойной интеграл

dxdy

I = ∫∫ (x2 + y2 )2 ,

σ

25

апрямолинейные участки задаются уравнениями:

ρsin ϕ = ρcosϕ, или tg ϕ = 1, откуда ϕ = π / 4;

ρsin ϕ = 2ρcosϕ, или tg ϕ = 2, откуда ϕ = arctg 2.

Итак, угол ϕ изменяется в постоянных пределах от π / 4 до arctg 2. Чтобы найти пределы изменения ρ, пересечем область σ лучом, исходящим из полюса. Он пересечет границы ρ = 4cosϕ и ρ = 8cosϕ. Следовательно, 4 cos ϕ — нижняя граница интегрирования, 8cosϕ — верхняя граница.

Так как при рассмотренной замене координат в двойном интеграле якобиан равен J = ρ, то

Вычислив этот интеграл, получим I = 3 / 128. Пример 2.7. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y)dxdy,

σ

26

где σ — общая часть двух кругов x2 + y2 ≤ ax, x2 + y2 ≤ by, перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования.

Решение. В полярных координатах уравнения границ данных кругов принимают вид: ρ = acosϕ, ρ = bsin ϕ.

Пусть окружности ρ = a cosϕ, ρ = bsin ϕ пересекаются в точках

A, O. Хорда AO делит область интегрирования на две части: σ1 и

σ2. Тогда

I = I1 + I2 = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy.

σ1 σ2

Тангенс угла ϕ0 , образованного хордой AO и осью Ox, равен

Задача 2.1. В следующих двойных интегралах перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования:

а) I = ∫∫ f (x, y)dxdy, где σ — круг x2 + y2 ≤ ax;

σ

б) ∫∫ f ( x, y)dxdy, где σ — треугольник, ограниченный прямы-

σ

ми y = x, y = −x, y = 1;

в) ∫∫ f ( x, y)dxdy, где σ — кольцо, ограниченное окружностя-

σ

ми радиусов 1 и 2 с центром в начале координат;

г) ∫∫ f ( x, y)dxdy, где σ — область, ограниченная лемнискатой —

σ

кривой с уравнением (x2 + y2 )2 = 2a2 xy;

27

(x2 + y2 )2 = 2ax3 .

Задача 2.2. Преобразовать с помощью подстановки x = aρcosϕ,

где σ — область, лежащая в первом квадранте часть эллиптического кольца, ограниченного эллипсами

Задача 2.3. двойные интегралы преобразовать к полярным координатам:

28

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Площадь плоской области σ на плоскости xOy вычисляют по формуле

вычислить площадь ее правой половины. Она проектируется на отрезок [−1; 2] оси Oy, ее левой границей служит прямая x = 0, а

правой — парабола y = x2 −1, а точнее, правая ее ветвь, т. е. линия x = y +1 (рис. 3.2). Итак,

29

откуда S = 4 3.

ρ = 2cosϕ. Так как область σ заключена между прямыми y = x, y = 0, то угол ϕ изменяется от 0 до π / 4. При этом ρ меняется от

0 до 2 cos y = x (рис. 3.3). Поэтому получаем:

30