Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

8. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

8.1. Переход к цилиндрическим координатам

При вычислении тройных интегралов иногда бывает полезно выполнить замену переменных. В этом пункте рассмотрим переход к цилиндрическим координатам, а в следующем — к сфериче-

где 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ < +∞, −∞ < z < +∞.

Переход в тройном интеграле от прямоугольных координат ( x, y, z) к цилиндрическим (ρ, ϕ, z) осуществляется по формуле

51

52

ограниченную отрезком [0; 2] оси Ox и полуокружностью

x2 + y2 = 2x.

Перейдем к цилиндрическим координатам:

дующим образом: T = {(x, y, z) : (x, y) σ,0 ≤ z ≤ 1 − x2 + y2 }, где

53

σ — круг радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z) : x = ρcosϕ, y = ρsin ϕ, z = z. Тогда прообраз круга σ есть прямоугольник {(ρ,ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}, прообраз конической поверхности — плоская поверхность z = 1 − ρ, а прообраз области

σ — область τ в пространстве с координатными осями Oρ, Oϕ, Oz, представляющая собой треугольную призму с основаниями, параллельными плоскости ρOz.

Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен ρ, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна

ρ2 (1 + sin 2ϕ) − z. Сводя тройной интеграл по области τ к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим

2π 1 1−ρ

I = ∫∫∫[ρ2 (1 + sin 2ϕ) − z]ρdρdϕdz = ∫ dϕ∫dρ ∫ [ρ2 (1 + sin 2ϕ) − z]ρdz =

Расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно провести, ограничившись рассмотрением изменения цилиндрических координат в области T и не рассматривая область τ.

Задача 8.1. Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить интегралы:

54

ми x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

8.2.Переход к сферическим координатам

Вэтом пункте мы рассмотрим переход от прямоугольных координат ( x, y, z) к сферическим координатам (ϕ, θ, ϕr) в тройном

интеграле. Они связаны соотношениями

x = r cosϕsin θ;

y = r sin ϕsin θ;

θz = r cos ,

где 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r < +∞.

Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам имеет вид

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =

V

= ∫∫∫ f (r cos ϕsin θ, r sin ϕsin θ, r cos θ)r 2 sin θd ϕd θdr,

V′

где V ′ — область изменения сферических координат, соответствующая объему V.

Пример 8.4. Вычислить тройной интеграл

∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz,

V

55

если область V ограничена сферой x2 + y2 + z2 = z.

Решение. В сферических координатах уравнение сферы, огра-

∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz = ∫∫∫r3 sin θdϕdθdr = ∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫ r3dr =

56

9.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ

СПОМОЩЬЮ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Объем пространственного тела V вычисляется по формуле

V = ∫∫∫dxdydz.

V

В цилиндрических и сферических координатах имеем

ми x = −1, x = 2 (рис. 9.1). Решение. Рассматриваемое тело

z = y2. Нетрудно найти область D плоскости xOy, в которую проек-

проекций прямых, по которым пересекаются цилиндры, исключаем из их уравнений z, т. е. приравниваем правые части этих урав-

нений: 4 − y2 = y2 + 2. Отсюда получаем: y = ±1. Таким образом, область D в плоскости xOy ограничена прямыми x = −1, x = 2, y = 1, y = −1.

С учетом симметрии области V относительно плоскости xOz имеем

57

линии пересечения этих двух поверхностей.

При вычислении тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. С учетом того что данное тело симметрично относительно плоскостей xOy, yOz

и что уравнения окружности, ограничивающей область D, конуса

58

Пример 9.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (x2 + y2 + z2 )3 = 3xyz.

Решение. Левая часть уравнения поверхности, ограничивающей тело, положительна при любых значениях x, y, z, значит, тело расположено в тех октантах, где произведение xyz, стоящее в пра-

вой части уравнения поверхности, положительно, т. е. в I, III, VI, VIII октантах. Очевидно, что части тела, расположенные в этих октантах, одинаковы, поэтому вычисляем объем лишь той части, которая расположена в I октанте, а полученный результат умножаем на четыре.

Запишем в сферических координатах уравнение поверхности

= 4 ∫ sin ϕ cosϕdϕ ∫ sin3θcosθdθ = 4 ∫ sin ϕd(sin ϕ) ∫ sin3θd(sin θ) =

Задача 9.1. Перейти к сферическим координатам и вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

б) (x2 + y2 + z2 )2 = a2 (x2 + y2 − z2 ).

59

Задача 9.2. Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 +

+ z2 = 4 и параболоидом x2 + y2 = 3z (перейти к цилиндрическим координатам).

Задача 9.3. Перейдя к сферическим координатам, вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:

а) (x2 + y2 + z2 )2 = a3 x;

б) (x2 + y2 + z2 )2 = a2 (x2 + y2 ); в) (x2 + y2 + z2 )3 = a2 y2 z2 .

Задача 9.4. Найти объем тела, вырезанного в шаре радиуса b цилиндром радиуса a, ось которого проходит через центр шара.

10.ПРИЛОЖЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

КЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ

Пусть V — область пространства, занимаемая каким-нибудь материальным телом с плотностью μ(x, y, z). Тогда:

a) массу m этого тела вычисляют по формуле

осей Ox, Oy, Oz ; I xy , I xz , I yz относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz, IO относительно начала координат соответственно находят по следующим формулам:

60