Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

I yz

= ∫∫∫x2µ(x, y, z)dxdydz;

V

I0 = ∫∫∫(x2 + y2 + z2 )µ(x, y, z)dxdydz;

(10.3)

V

в) координаты центра тяжести тела находят по формулам

∫∫∫xμ(x, y, z)dxdydz

x0

=

V

;

m

∫∫∫yµ(x, y, z)dxdydz

y0

=

V

;

m

∫∫∫zµ(x, y, z)dxdydz

z0

=

V

.

m

Для однородного тела (µ = const) все эти формулы упрощают-

ся, так как в этом случае можно считать, что µ = 1.

Пример 10.1. Найти массу

тела плотностью

µ = x + y + z,

1

1

1

1

1

(x + y + z)

2

1

m = ∫dx∫dy∫(x + y + z)dz = ∫dx∫

dy =

2

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

∫dx∫[(x + 1 + y)2

− (x + y)2 ]dy =

∫[(x + 1 + y)3

− (x + y)3 ]

1

=

0 dx =

2

6

0

0

0

1 1

3

3

3

3

1

(x + 2)4

(x +1)4

x4

1

3

=

[(x + 2)

− (x +1)

− (x +1)

+ x ]dx =

−

+

=

.

6 ∫0

6

4

2

4

0

2

2π

a

h

2π

a

z3

h

Ix

= ∫ d ϕ∫ρdρ∫ (ρ2 sin 2ϕ + z2 )dz = ∫ d ϕ∫ρ

ρ2 sin 2ϕz +

dϕ =

3

0

0

0

0

0

0

2π

a

h3

2π h

h3

a

= ∫ dϕ∫

hsin2

ϕρ3 +

ρ

d

ϕ = ∫

sin 2ϕρ4 +

ρ2

dϕ =

3

4

6

0

0

0

0

2π ha4

h3a2

a4h 2π

a2h3 2π

= ∫

sin 2ϕ +

ρ2

dϕ =

∫ (1− cos 2ϕ)dϕ +

∫ dϕ =

0

4

6

8

0

6

0

2ϕ

2ϕ

a4 h

sin 2ϕ

a

2 h3

a4 h

a2 h3

=

ϕ −

+

ϕ

=

2π +

2π =

8

2

0

6

0

8

6

=

a4h

π +

a2h3

π =

πa2h

(3a2 + 4h2 );

4

3

12

2π

a

h

Iz

= ∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz = ∫ dϕ∫ρ3dρ∫dz =

V

0

0

0

2π

a

h

2π

4

a

4

2π

4

2ϕ

4

3

ρ

a

h

a

h

πa

h

= ∫ dϕ ∫ρ

z

dρ = h ∫

dϕ =

∫ dϕ =

ϕ

=

.

4

4

4

2

0

0

0

0

0

0

0

миды относительно координатной плоскости xOy,

если пирамида

ограничена плоскостями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Согласно формулам (10.2) имеем:

−

−

y

1

1−x

1−x− y

∫∫∫

1 1−x 1 x

∫

∫

∫

3

∫

∫

Ixy =

z2dxdydz = dx

dy

z2dz =

1

dx

z3

dy =

V

0

0

0

0

0

0

1

1 1−x

1

1

1−x

1

1

=

∫dx ∫ (1 − x − y)3 dy = −

∫(1 − x − y)4

dx =

∫(1 − x)4 dx =

3

12

12

0

0

0

0

0

1

(1 − x)5

1

1

= −

=

.

60

0

60

2π

π

1

1

2π

π

1

I0 = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫r4dr =

∫ dϕ ∫ sin θr5

dθ =

5

0

0

0

0

0

0

1

2π

π

1

2π

π

2

2π

2

2π

4π

=

∫ dϕ∫ sin θdθ =

∫ (−cosθ)

dϕ =

∫ dϕ =

ϕ

=

.

5

0

0

5

0

0

5

0

5

0

5

Пример 10.5. Найти координаты центра тяжести однородного

тела, ограниченного

параболоидом

z = 3 − x

2

− y2 и

плоскостью

плоскостей xOz, yOz координаты x0 , y0

центра тяжести равны ну-

лю. Для нахождения z0

найдем массу m тела.

Введем цилиндрические координаты. Согласно формуле (10.1)

имеем

π/2

3

3−ρ2

π/2

3

3−ρ2

π/2

3

m = 4 ∫ dϕ ∫ ρdρ ∫ dz = 4 ∫ dϕ ∫ ρz

dρ = 4 ∫ dϕ ∫ ρ(3 − ρ2 )dρ =

0

0

0

0

0

0

0

0

π/2

3ρ2

ρ4

3

9

9

π/2

π/2

9π

= 4 ∫

−

dϕ = 4

−

∫ dϕ = 9ϕ

=

;

0

2

4

0

2 4

0

0

2

2π

3

3−ρ2

∫ dϕ ∫ ρdρ ∫ zdz

2

2π

3

z

2

3−ρ2

0

0

0

z0 =

=

∫ dϕ ∫ ρ

dρ =

9π / 2

9π

2

0

0

0

2π

3

2π

3

1

1

=

∫ dϕ ∫ ρ(3 − ρ2 )2 dρ = −

∫ dϕ ∫ (3 − ρ2 )2 d(3 − ρ2 ) =

9π

0

0

18π

0

0

2π

2

3

3

2π

2π

= −

1

∫

(3

− ρ

)

dϕ =

1

∫ dϕ =

1

ϕ

=

1

2π = 1.

18π

0

3

0

2π

0

2π

0

2π

б)

z = 4 − x2 − y2 , z = 1, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

в)

x2 = 2 pz, y2 = 2 px, x = p / 2, z = 0 ( p > 0);

г)

z = x2 + y2, z = (x2 + y2 ) / 2, x + y =1, x + y = −1, x − y =1, x − y = −1.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ....................................................................................................

3

1.

Двойной интеграл в прямоугольных координатах..................................

4

1.1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла ..............

4

1.2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах ...

6

1.3. Изменение порядка интегрирования ................................................

13

2.

Замена переменных в двойном интеграле ..............................................

19

3.

Вычисление площадей плоских фигур....................................................

29

4.

Вычисление объемов ................................................................................

33

5.

Вычисление площади поверхности.........................................................

37

6.

Приложение двойного интеграла к задачам механики..........................

41

7.

Тройной интеграл в прямоугольных координатах.................................

45

8.

Замена переменных в тройном интеграле...............................................

51

8.1. Переход к цилиндрическим координатам........................................

51

8.2. Переход к сферическим координатам ..............................................

55

9.

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов.........................

57

10. Приложение тройного интеграла к задачам механики........................

60

Литература.....................................................................................................

66