Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014

6.ПРИЛОЖЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

КЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ

г) моменты инерции I x , I y , IO пластинки соответственно относительно координатных осей Ox,Oy и начала координат определяют как

IO = ∫∫(x2 + y2 )µ(x, y)dxdy.

σ

Для однородных пластинок µ = const, для простоты в рассматриваемом случае будем считать µ = 1.

Пример 6.1. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами a, b относительно стороны a.

41

Решение. Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника, а ось Ox направим по стороне a. Статический момент прямоугольника относительно стороны a равен статическому моменту прямоугольника относительно оси Ox. По формуле (6.1) имеем

Пример 6.2. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R относительно диаметра.

Решение. Поместим начало координат в середину диаметра полукруга, а ось Oy направим по диаметру. Тогда статический момент полукруга относительно диаметра равен статическому моменту полукруга относительно оси Oy.

Введем полярные координаты. С учетом того что уравнение окружности, ограничивающей полукруг, имеет вид x2 + y2 = R2 , а в полярных координатах ρ = R, по формуле (6.2) имеем

42

Пример 6.4. Найти момент инерции квадрата со стороной a, поверхностная плотность которого пропорциональна y, относительно одной из вершин.

Решение. Поместим начало координат в одну из вершин квадрата, а координатные оси направим по двум взаимно перпендикулярным сторонам. Через k обозначим коэффициент пропорциональности для плотности. Тогда искомый момент инерции

σσ

43

Чтобы свести каждый из этих двойных интегралов к повторному, необходимо разбить область σ на три части. Удобнее перейти к полярным координатам: x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ. Тогда ϕ изменяется от ϕ1 = arctg1 / 2 до ϕ2 = arctg 2, а при каждом значении ϕ из от-

в) (x2 + y2 )2 = 2a2 xy(x > 0, y > 0).

Задача 6.2. Найти координаты центра тяжести круглой пластины {(x, y) : x2 + y2 ≤ a2}, если ее плотность в точке M ( x, y) пропорциональна расстоянию от точки M до точки A(a,0).

Задача 6.3. Найти моменты инерции I x , I y относительно осей

Ox,Oy однородной пластинки с плотностью ρ = ρ0 , ограниченной кривыми:

а) x = 0, y = 0, x = a, y = b (a > 0, b > 0);

б) y = 0, y = x, y = 2 − x;

44

в) (x − a)2 + ( y − a)2 = a3 , x = 0, y = 0 (0 ≤ x ≤ a);

г) x4 + y4 = a2 (x2 + y2 ).

Задача 6.4. Найти моменты инерции I x , I y относительно осей

Ox, Oy пластинки с плотностью ρ = xy, ограниченной кривыми: а) x = 0, y = 0, x = a, y = b(a > 0,b > 0);

б) y = 0, y = x, y = 2 − x.

7.ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

ВПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть функция f (M ) = f (x, y, z) задана в некоторой ограниченной области V в пространстве xOy. Разобьем эту область на пространственные ячейки V1, V2 , …, Vn . В каждой ячейке Vi выберем произвольно точку Mi ( xi , yi , zi ) и умножим значение функции

наибольший из диаметров всех ячеек данного разбиения. Тройным интегралом ∫∫∫ f (M )dv от функции f (M ) по области V назы-

V

вают предел интегральных сумм при условии max d(Vi ) → 0 (если такой предел существует и не зависит от выбора точек Mi ( xi , yi , zi ) ), т. е. при неограниченном увеличении числа ячеек, когда все ячейки стягиваются в точку,

45

Если такой предел существует, то функция f (M ) называется интегрируемой в области V; любая непрерывная в ограниченной области V функция f (M ) интегрируема в ней. В дальнейшем мы

ограничимся рассмотрением только непрерывных функций. Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной

интеграл.

Вдекартовых координатах элемент объема обычно записывают

ввиде dv = dxdydz, а тройной интеграл обозначают

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz.

V

Пусть пространственная область V проектируется в область D на плоскости xOy так, что любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Такую область будем называть правильной областью относительно оси Oz.

Если правильная относительно оси Oz область V ограничена сверху поверхностью z = ψ2 (x, y), снизу — поверхностью z = ψ1(x, y) и с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, то такую область называют простой областью относительно оси Oz . Заметим, что боковая поверхность цилиндра может вырождаться в линию.

Аналогично определяются правильные и простые области относительно осей Ox, Oy. Там, где не возникает сомнений, относительно какой оси рассматриваемая область является правильной (простой), будем писать «правильная область» («простая область»).

Здесь внутренний интеграл

46

ψ2 ( x, y)

∫f ( x, y, z)dz

ψ1( x, y)

берут по z при фиксированных, но произвольных x, y от нижней границы области V до ее верхней границы (т. е. по отрезку, высекаемому границей области V на прямой, проходящей через точку (x, y, 0) параллельно оси Oz ). В результате получается некоторая функция от x, y, которая интегрируется затем по области D плос-

кости xOy.

Наиболее простой вид формула (7.1) принимает, когда область V — прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями

x = a, x = b, y = c, y = d, z = e, z = g :

Если область V не является простой относительно оси Oz, но является простой относительно одной из двух других осей, то интеграл по V вычисляют по формуле, аналогичной (7.1), заменив z соответствующей переменной.

Если область V не является простой, ее разбивают на конечное число простых областей V1, …, Vn .

Пример 7.1. Вычислить тройной интеграл

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (7.2):

1 1 1

∫∫∫(x + y + z)dxdydz = ∫dx∫dy∫(x + y + z)dz.

Внутренний интеграл вычисляем, считая x, y постоянными:

47

Замечани е. Обычно для сокращения записи все вычисления записывают в одну строку, так же, как при вычислении двойных интегралов.

Пример 7.2. Вычислить тройной интеграл

∫∫∫(1 − x) yzdxdydz,

V

если область V ограничена плоскостями x = 0, z = 0, y = 0,

z = 1 − x − y.

48

Решение. Область V имеет нижнюю границу z = 0 и верхнюю границу z = 1 − x − y. Область V проектируется в область D плос-

Таким образом, при интегрировании по области V переменная

11− x

=1 ∫(1 − x)dx ∫ [(1 − x)2 y − 2(1 − x) y2 + y3 ]dy =

49

1 x xy

г) ∫dx∫dy ∫ f (x, y, z)dz.

0 0 0

Задача 7.2. Вычислить тройные интегралы по областям, ограниченным указанными поверхностями:

а) ∫∫∫xydxdydz,1 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ −1,0 ≤ z ≤ 1 / 2;

σ

dxdydz

б) ∫∫∫σ (x + y + z)3 ,1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2,1 ≤ z ≤ 2.

50