3 Карты гравитационного градиента и съемки

В 1901 году Этвёшем, при помощи крутильных весов, было произведено измерение градиента гравитации в 40 различных местоположениях на замороженном озере Балатон (около Будапешта), после чего команда участников составила первую в мире карту градиента гравитации. Интерес вызвало то, что карта соответствовала контурам дна озера. Этвёш и крутильные весы получили мгновенную известность в геологическом сообществе, включая разведчиков ценных подземных природных ресурсов. Но возникли такие трудности использования крутильных весов, как колебания температуры и ветра, который вмешивался в измерения крутильными весами, чувствительность к близлежащим объектам, а также потребность в квалифицированных кадрах, способных интерпретировать измерения градиента гравитации.³

Карты гравитационных градиентов обладают значительными преимуществами перед картами гравитации. В то время как карты гравитации показывают до трех компонентов (например, силу гравитации на севере, востоке и по направлению), карты градиента гравитации дают пять независимых компонент. Следовательно, благодаря своим основным свойствам, карты градиента гравитации обеспечивают более ясную и более подробную информацию. Дополнительно, карты градиента гравитации не содержат шум от беспорядочного движения приборов, а, начиная с технологии дифференцирования между датчиками, ещё и устраняет эти ошибки.

Рассмотрение градиентов гравитации практиковалось, когда находящиеся в полете определенные массы, обеспечивают более полное понимание природы гравитационно-градиентных карт. Для пяти гравитационных возмущающих градиентов были использованы замкнутые формы решений¹⁸, чтобы показать карту градиента гравитации, которая возникает в результате прохождения через прямоугольную призму с постоянной плотностью. В данном случае, градиенты гравитации были вычислены и графически вычерчены на плоскости, находящейся на 50м выше прямоугольной призмы, расположенной в центре площадки 250х250 м, для которой были определены (рисунок 4):

• плотность 1,5 г/см³;

• длина 50 м;

• ширина 10 м;

• высота 6 м.

Рисунок 4 – Гипотетическая призма

Рисунок 5 показывает карты градиента гравитации, выполненные в пакете MATLAB, используя замкнутые формы решений гравитационных возмущающих градиентов для гипотетической призмы. Здесь тензор является симметрическим, представлена только верхняя правая треугольная часть матрицы. Если изображать в системе координат NED, x, y и z можно считать направлениями на север, восток и вниз, соответственно. Эти карты показывают теоретические градиенты гравитации T и обеспечивают отличную и уникальную иллюстрацию, которая делает градиенты гравитации отличным фундаментом для навигации по совпадению карт.⁴

Уравнение 1 показывает, что гравитационные силы изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния между массами. Градиенты гравитации представляют пространственные производные гравитационных сил и, таким образом, изменяются обратно пропорционально кубу расстояния.

Применять карты градиента гравитации при полете над Землей можно так же, как и над гипотетической призмой. В данной работе была использована гравитационная модель Земли 1996 года (EGM96), чтобы показать, как градиенты гравитации изменяются с высотой. Так как Земля и особенности ее рельефа доминируют над гравитационными силами и градиентами (в данном случае), изменения градиентов гравитации происходят по гористым районам, таким как горы, и уменьшаются кубически с увеличением высоты. Также представлены оценки того, когда эффекты рельефа на градиенты гравитации могут игнорироваться (то есть когда вклад рельефа в градиенты гравитации меньше, чем шумовые уровни ГГНС).

На рисунке 5 показаны карты над земной поверхностью для шести из девяти компонентов градиента гравитации, исключая симметричные члены, с цветными шкалами в единицах Eö. Заметим, что в отличие от визуальных наблюдений, градиенты гравитации обеспечивают контрасты по телам и в воде. Дополнительно, в то время как вертикальные ошибки БИНС могли бы увеличиться из-за существенных изменений гравитационных сил (например, над горами), эти изменения обеспечивают большой контраст в картах градиента гравитации, таким образом, улучшая потенциал для более точной навигации.

Рисунок 5 – Карта гравитационного градиента на уровне 50 м над гипотетической призмой

В то время как матрица градиента гравитации включает пять независимых членов или источников информации, третья колонка показывает наибольший контраст (Г_ND, Г_ED и Г_DD), предлагая наибольший потенциал для точных навигационных решений (рисунок 6). Эти три члена представляют градиенты гравитации в трех направлениях системы координат, учитывая движение по направлению вниз (т.е. вертикальное).

Рисунок 6 – Гравитационный градиент на трех высотах в направлении восток-вниз

Необходимо отметить конечную разрешающую способность модели EGM96, означающую, что реальные градиенты гравитации на низких высотах вероятно больше, чем они выглядят на картах (рисунок 7), так как остроконечные эффекты рельефа могут быть замаскированы. Если разрешающую способность карты увеличить, тогда большее количество информации будет доступно для навигационных применений. Однако, диапазон, чувствительность, и шум применяемого гравиградиентометра также влияли бы навигационные характеристики.

Рисунок 7 – Карта гравитационных градиентов на поверхности Земли

Так как контрасты на картах градиента гравитации формируют основание для создания навигационной информации, среднеквадратичное отклонение градиентов гравитации по данной области на карте обеспечивает количественное измерение их величин (рисунок 8). Среднеквадратичное отклонение также отражает показатель того, какое большое преимущество фильтр Калмана мог бы дать навигационной информации, выведенной из градиентов гравитации и совпадения карт. Например, самолет, летящий в районе с очень малыми среднеквадратичными отклонениями градиентов гравитации, имел бы более низкую вероятность получения полезной информации от гравитационной градиентометрии и совпадения карт. С другой стороны, полет в области с большими среднеквадратичными отклонениями привел бы к более высокой вероятности получения полезной информации. Как ожидается, наибольший стандарт отклонения в карте Г_DD происходят в гористых районах мира, в дополнение к некоторым местоположениям над водой.²

Рисунок 8 – Среднеквадратичное отклонение Г_DD на поверхности Земли [log10 (Eö)]

Даже притом, что многие системы используют только компоненту T_zz тензора гравитационного градиента, вероятно из-за его интерпретирующей простоты и контрастов, компоненты T_xz и T_yz, возможно, обеспечивают столько же, если не больше информации, чем один компонент T_zz. Доказано, что T_xz и T_yz могут воспроизвести ту же самую информацию, как и T_zzz, который представляет из себя частичную компоненту от T_zz тензора гравитационного градиента относительно координаты z.

Зная, что ранг тензора гравитационного градиента равен нулю (т.е. T_xx+T_yy+T_zz=0), частичная компонента из всего выражения относительно z приводит к уравнению 11 для третьей вертикальной производной гравитационного потенциала после переупорядочивания производных. Но, при использовании такого алгоритма, увеличивается шум измерений.

(11)

Дополнительно, было предложено, что T_xz и T_yz можно рассматривать как два ортогональных компонента вектора, величина которого однозначна и независима от ориентации в горизонтальной плоскости (уравнение 12). Техника моделирования одиночного вектора, однако, все еще получает вклады от угловых скоростей и ускорений, но требует меньше точности величин индивидуальных компонентов градиента гравитации, при условии, что величина одиночного вектора остается той же самой.

(12)

Для высокогорных крупномасштабных обзоров было использовано моделирование одиночного вектора, а затем, на более низких высотах, использована третья вертикальная производная для более детализированных обзоров.²⁰

Также было показано, что быстрое преобразование Фурье (БПФ) делает возможным вычисление полного тензора гравитационного градиента от данных только вертикального компонента гравитации. Основные выражения, были получены из предположения, что гравитационный потенциал φ является скалярной функцией координат x, y и z и удовлетворяют уравнению Лапласа . По существу, преобразование Фурье для гравитационного потенциалаФ, является функцией вектора волновых чисел [k_x, k_y, k_z]:

(13)

Тогда получим матрицу вектора волновых чисел K(k) преобразования Фурье для гравитационного потенциала:

(14)

Заключительное выражение для тензора градиента гравитации Г_ij, использующего преобразование Фурье для гравитационного потенциала

(15)

где i и j – координаты x, y или z,

G_z(k) – преобразование Фурье для вертикального компонента гравитационного вектора.

Применение преобразования Фурье для вычисления градиентов гравитации от данных вертикального компонента гравитации вызывает ошибку. Среднеквадратические ошибки расположены от минимума 0,3 Eö для компонента g_xx до 3,3 Eö для компонента g_zy.