1 Градиенты гравитации

По закону тяготения Ньютона, сила притяжения между двумя массами происходит по прямой, соединяющей их, и имеет величину F:

(1)

_где G – гравитационная постоянная (6.67408 × 10^-11 м³ кг^-1 с^-2),

m₁и m₂ – массы двух объектов,

l – расстояние между этими двумя массами.

Если рассмотреть прямоугольную систему координат (рисунок 1), то, используя закон тяготения Ньютона и размещение притягиваемой массы m₂, равное единице массы, можно получить три компонента вектора гравитационной силы X, Y и Z, показанные в уравнении 2. Направление силы может также быть определено углами α, β и γ, которые измеряют вращение по осям x, y и z соответственно.¹

Рисунок 1 – Компоненты гравитационной силы

(2)

Если предположить, что Земля была бы точечной массой или идеальной сферой с постоянной плотностью, тогда, для данной высоты над поверхностью Земли, величина F была бы постоянной во всех широтах и долготах, и была бы направлена на север, восток и вниз системы координат. Так как Земля не идеальная сфера с постоянной плотностью, рельеф Земли неправильной формы, а присутствие других масс вызывает гравитационные притяжения, то гравитационный вектор изменяется в пространстве. Следовательно, пространственные производные гравитационного вектора также непостоянны. Более реалистическая модель Земли использовала бы бесконечное число из бесконечно малых точечных масс, чтобы аппроксимировать Землю, где общее количество гравитационных притяжений было бы суммой гравитационных притяжений, вызванных наличием каждой бесконечно малой точечной массой. Таким образом, полная гравитационная сила была бы найдена суммированием сил гравитационных притяжений от всех бесконечно малых точечных масс всего объема Земли:

(3)

где ρ – плотность бесконечно малых точечных масс,

dv – объем бесконечно малых точечных масс.

Из-за хаотичности рельефа Земли и распределений плотности по всему ее объему, вектор гравитационной силы также будет пространственно случаен. Следовательно, гравитационный потенциал φ и гравитационные градиенты Γ также пространственно случайны. Гравитационный потенциал является скалярной функцией, чьи первые и вторые пространственные производные дают гравитационный вектор и градиенты. Градиенты удобно представить, как тензор второго порядка с девятью компонентами. Следующие уравнения используют направления: север (N), восток (E), вниз (D) системы координат.

Гравитационный потенциал:

(4)

где r и r’ – местоположения притягиваемых и притягивающихся масс, соответствено.²

Вектор гравитационной силы в системе координат с направлениями север, восток, вниз:

(5)

где g – гравитационный вектор.

Гравитационные градиенты:

(6)

где Γ – градиенты.

В матрице девять гравитационных градиентов, первый нижний индекс обозначает направление гравитационного вектора, которое изменяется при движении в направлении, которое показывает второй нижний индекс. Например, член представляет изменение гравитационной силы в северном направлении для данного движения в восточном направлении. Так как, алгебраические свойства оператора Гамильтона означают, что сила тяжести есть потенциальное поле:

(7)

Расширение членов приводит к симметричной гравитационно-градиентной матрице. Симметричные члены гравитационно-градиентной матрицы:

(8)

В уравнении 8 представлены те же самые симметричные члены, как и в уравнении 6. Кроме того, когда плотность Земли принимается намного большей, чем плотность атмосферы, ранг матрицы гравитационного градиента равняется нулю в соответствии с уравнением Лапласа примененном к гравитационному потенциалу. Допущение, применяемое к гравитационным градиентам для атмосферного воздуха:²

(9)

Рассматривая предыдущие четыре уравнения, из девяти компонентов матрица гравитационных градиентов содержит только пять независимых членов. Другими словами, измерение пяти компонентов захватывает полный тензор второго порядка с предположениями, обсужденными выше.³

Чтобы предотвратить путаницу, важно определить различие между градиентами силы тяжести и гравитационными градиентами. Здесь эти термины используются попеременно, но традиционные определения дают ясное различие между двумя терминами. Гравитационный (gravitational) обращается к силам, определенным согласно закону тяготения Ньютона, в то время как сила тяжести (gravity) обращается к сумме гравитационных и центробежных сил. Центробежные обычно обращаются к силе, которую испытывает объект из-за вращения Земли. Наконец, также важно отметить единицы гравитационных градиентов.

Гравитационные градиенты часто представляются в Этвёш (Eö). 1 Этвёш – это эквивалент гравитационного градиента, вызванный 10 гранулами (≈10 миллиграмм) песка на расстоянии в 1 сантиметр:²