20. Основные свойства линейных операций над векторами

1.  (сложение коммутативно); 

2.  (сложение ассоциативно); 

3.  (существование нулевого вектора); 

4.  (существование противоположного вектора); 

5.  (сложение ассоциативно); 

6.  (умножение на число дистрибутивно); 

7.  (сложение векторов дистрибутивно); 

8. 

. Определение линейной комбинации векторов

 называют вектор

     

где  - коэффициенты линейной комбинации. Если  комбинация называется тривиальной, если  - нетривиальной.

21. Проекция вектора на ось- Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1и B1 являются проекциями точек A и B на ось l .

Свойства проекции Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор  и его проекция - вектор  - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора  на некоторую ось  равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :

Проекция вектора  на ось  равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

22. Базис- любой нулевой вектор на прямой.

Разложение вектора по базису-Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁, ..., a_n, необходимо найти коэффициенты x₁, ..., x_n, при которыхлинейная комбинация векторов (  a₁, ..., a_n с коэффициентами x₁, ..., x_n называется вектор x₁a₁ + ... + x_na_n)  a₁, ..., a_n равна вектору b: x₁a₁ + ... + x_na_n = b,

при этом коэффициенты x₁, ..., x_n, называются координатами вектора b в базисе a₁, ..., a_n.

23. Действия над векторами в координатной форме- Даны векторы ={a_x, a_y, a_z} и ={b_x, b_y, b_z}.

1.     ( ± )={a_x ± b_x, a_y ± b_y, a_z ± b_z}.

2.     l={la_x, la_y, la_z}, где l – скаляр

(линейные операции, равенство векторов, коллинеарность векторов, координаты точки и вектора).

24. Направляющие косинусы вектора  a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

. Теорема о сумме квадратов направляющих косинусов- любого вектора равна 1

25. Деление отрезка в данном отношении .

26. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения в координатной форме.

27. Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатной форме.

28. Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в координатной форме.

Аналитическая геометрия на плоскости.

1. Прямоугольная и полярная системы координат, связь между ними

Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).

Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.

Полярная - это совокупность точки O, называемой полюсом, и полупрямой OX, называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор I, приложенный к точке O, длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси

зависимость Tg(a)= Y/X

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Частные случаи прямой: уравнения прямых , параллельных осям координат Y=kX; уравнение прямой, проходящей через начало координат aX+bY=0.

3. Общее уравнение прямой на плоскости Ax + By + C ((A^2+B^2) > 0) .

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом Y-Y1=k(X-X1).

5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки

(X-X1)/(X-X2)=(Y-Y1)/(Y-Y2).

6. Уравнение прямой в отрезках на плоскости X/a+Y/b=1 , где a=-(C/A) ; b=-(C/B).

7. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х—х0) + В(у—у0) = 0 .

8. Угол между двумя прямыми на плоскости Tg(a)=(A1B2-A2B1)/(A1A1+B1B2).

9. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости

Паралельность : а) K1=K2 , b) A1/A2=B1/B2

Перпендикулярность: K= -1/k1 (обратны по величине и противоположны по знаку)

10. Расстояние от точки до прямой на плоскости

1.Координаты точки M(x0,y0,z0).

2.Уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0.

3. D=|Ax₀+By₀+Cz₀+D| / sqr(A^2+B^2+C^2)