- •Вопросы экзаменационных билетов по математике за 1 семестр. Элементы линейной и векторной алгебры.
- •Свойства сложения и вычитания матриц:
- •Обратная матрица. Алгоритм её нахождения.
- •Системы линейных уравнений. Матричная форма записи и решения систем линейных уравнений.
- •Теорема Крамера решения систем линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами: сложение
- •Линейные операции над векторами: произведение вектора на число
- •Основные свойства линейных операций над векторами
- •Аналитическая геометрия на плоскости.
- •Введение в математический анализ.
Вопросы экзаменационных билетов по математике за 1 семестр. Элементы линейной и векторной алгебры.
-
Матрицы: определение-Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции. ,
элемент матрицы-Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца ,
размерность матрицы- Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I×J
-
Квадратная- Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной ,
симметричная-Матрица A называется симметричной, если At = A. Иными словами aij = aji , диагональная-Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (aii) равны нулю ,
единичная- Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1 ,
треугольная-Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю ,
трапецевидная- это матрица элементы главной диагонали , которой не равны нулю ,
нулевая матрица- Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Очевидно, что A+O = A, A−A = O и 0A = O .
Равные матрицы - Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры .
-
Действия над матрицами:
транспонирование- Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A' или индексом At ,
сложение -две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать ,
умножение на число -Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число .
Свойства сложения и умножения на число- Свойства умножения матрицы на число:
Свойства сложения и вычитания матриц:
-
Ассоциативность
-
, где - нулевая матрица соответствующего размера.
-
-
Коммутативность
-
Умножение матриц- Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности .
-
Многочлены от матриц- (прочитать -http://www.reshim.su/blog/mnogochlen_ot_matricy/2013-06-26-336).
-
Определители 2-го и 3-го порядка - . Их вычисление.-
-
Свойства определителей-
1 При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: .
2 Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя
3
4 Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем
5 Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак
6 Определитель с двумя равными строками равен нулю
7 Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю
8 Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю
9 Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число
10 Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов
-
Минор элемента определителя- Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца .
Алгебраическое дополнение элемента определителя - Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число .
Разложение определителей по строке или столбцу- Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения .