контрольная работа / 3.1 вариант №1
.pdfЗадача 3.1 (01)
Рис 3.5.
+
Дано:
E = 100 В
L1 = 1 мГн
C1 = 10 мкФ
R1 = 20 Ом
R2 = 20 Ом
R3 = 0 Ом
R4 = 2 Ом
_______________
uL1 - ?
Классический метод
1. Определение начальных условий (рис. 1).
Независимые начальные условия – значение тока i и напряжения uC1 – согласно частным законам коммутации
E
i(0+) = i(0–) = R1 + R4 = 4.5455 А uC1(0+) = uC1(0–) =
= R4i(0–) = 2 4.5455 = 9.091 В
c R1
E
i L1
m |
R2 |
f |
|
R4 |
|
|
uC1 |
C1 |
|
R3 |
n |
d |
Рис. 1.
2. Составление дифференциального уравнения(рис. 2).
|
c |
R1 |
m |
R2 |
f |
|
E |
|
|
|
|
( 1 ) |
i (R1 + R2 + R3 ) +uC1 +uL1 = E |
|
|
uC1 |
C1 |
|
|
|
|
||
|
i |
L1 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
d |
|
|
|
Рис. 2. |
|
|
1
3. Решение дифференциального уравнения.
uL1 (t) = uL1пр +uL1св (t)
Значение принужденной составляющей
uL1пр = 0
Определение свободной составляющей при помощи входного сопротивления цепи (рис. 3).
R1 R2
|
Zвх(р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 p |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1p |
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
вх |
( p) |
= R |
+ R |
+ R |
+ |
|
1 |
+ L p = 0; |
||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
C1 p |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p2 + |
R |
|
|
p + |
|
1 |
|
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L |
|
L |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
R = R1 + R2 + R3.
Корни квадратного уравнения
p2 + 40000 p + 100000000 = 0
p = |
−40000 + |
400002 − 4 100000000 |
= −2679.5 |
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
p = |
−40000 − |
400002 − 4 100000000 |
= −37320.5 |
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2
действительные
p1 = −2679.5 1/c; p2 = −37320.5 1/c.
Постоянные времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
τ1 = |
1 |
= |
|
1 |
|
= 3.732 |
× 10− 4 |
c, |
|
τ2 |
= |
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
= 2.68 |
× 10− 5 |
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
| p1 | |
|
−2679.5 |
|
|
| |
p2 | |
|
−37320.5 |
|
|||||||||||||
Свободная составляющая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
uL1св(t) = Aep1t +Bep2t = Ae |
τ1 + Be |
τ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Находим постоянные интегрирования А, В.
Из диференциального уравнения (1) находим
|
|
|
|
uL1 = E −uC1 −i R |
|
( 2 ) |
||||||||
Производная по времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duL1 |
|
|
d |
|
|
|
duC1 |
|
di |
||||
|
|
= |
|
{E |
−uC1 −i R}= − |
|
−R |
|
. |
|||||
|
dt |
dt |
dt |
dt |
||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC1 = |
1 |
|
∫idt, |
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||||||
то |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
duC1 |
= |
|
i |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Также
|
|
u |
L1 |
= L |
di |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
следовательно |
|
|
|
|
1 dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
di |
= |
uL1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duL1 |
= − |
duC1 |
−R |
di |
= − |
i |
−R |
uL1 |
. |
||||||
|
dt |
|
|
|
dt |
C |
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
3
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL1 (0+) = E −uC1 (0+) −R i(0+) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
L1 |
|
|
= − |
i(0+) |
−R |
u |
L1 |
(0+) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
0+ |
C1 |
|
|
L1 |
|||
|
|
|
|
Вычисления дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
uL1 (0+) = |
100 − 9.091 − 40 4.545 = −90.9 |
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
duL1 |
|
− |
4.545 |
|
− 40 |
−90.9 |
= 3.182 × 106 |
В/с. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
10− 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
10− 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Постоянные интегрирования A, B найдем используя начальные условия (3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
uL1св (0+) +uL1пр =uL1 (0+) |
A + B =uL1 (0+) −uL1пр |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duL1пр |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
du |
L1св |
|
|
|
+ |
|
|
= |
L1 |
|
|
|
|
p A + p B = |
L1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
2 |
dt |
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
0+ |
|
|
|
|
0+ |
|
0+ |
|
|
|
|
0+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + B = −90.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2679.5·A + (−37320.5)·B = 3.182 × 106 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение системы (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = −6.09 |
; |
|
|
|
B = −84.82 . |
|
|
|
|
|
|
|
( 3 )
( 4 )
Закон изменения во времени (рис. 4):
|
|
|
− |
t |
|
− |
t |
|
u |
− 2679.5 t |
− 37320.5 t |
0.3732 мс |
0.0268 мс |
, В. |
|||
(t) = −6.09 e |
− 84.82 e |
= −6.09 e |
|
|
− 84.82 e |
|
||
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
4
t, мс |
0 |
0,140 |
0,280 |
0,420 |
0,560 |
0,700 |
0,840 |
0,980 |
1,120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL1 , B |
-90,9 |
-4,6 |
-2,9 |
-2,0 |
-1,4 |
-0,9 |
-0,6 |
-0,4 |
-0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL1, B
10
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
t, мс |
|
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Рис. 4.
5
Операторный метод
Составим схему замещения цепи (рис. 5).
c R1 m R2 f
|
|
|
1 |
|
E |
|
|
C1 p |
|
p |
|
|
uC 1(0+) |
|
I1(p) |
L1p |
L1i1(0+) |
p |
|
R3 |
||||
|
|
|||
|
|
n |
d |
|
|
|
Рис. 5. |
|
+
Изображение тока в цепи:
|
|
|
|
E |
+ L i(0+) − |
uC1 (0+) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
I ( p) = |
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
R + L p + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
C1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 p |
|
220 |
50 |
|
|
p + 20000 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p + |
|
100000 |
|
11 |
p2 + 40000 p + 100000000 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
40 + |
1000 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Изображение напряжения на индуктивности |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
L1 |
( p) = L p I ( p) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p ( p + 20000) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
220 |
|
p2 + 40000 p + 100000000 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UL1 |
( p) = |
|
F1 ( p) |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p ( p + 20000) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F1 ( p) |
|
220 |
|
p2 + 40000 p + 100000000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1( p) = |
1 |
|
p ( p + 20000) |
|
|
|
|
F2( p) = |
p2 + 40000 p + 100000000 |
||||||||||||||||||||||||||||
220 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Оригинал находим по формуле разложения
|
|
F ( p) |
i |
2 F ( p ) |
|
pk t |
|
||
|
|
1 |
|
1 |
k |
|
|
||
UL1 |
( p) = |
F ( p) |
= uL1 |
(t) = ∑ |
F′( p ) |
e |
|
, |
|
|
|
i |
k =1 |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
k |
|
|
|
где pk корни уравнения
F2 ( p) =0.
Решение уравнения
p2 + 40000 p + 100000000 = 0
имеет корни
p1 = −2679.5 1/с; p2 = −37320.5 1/с
Также
F'2(p) = 2 p + 40000 ; |
|
|||||
F1 ( p1 ) |
|
= |
−2.11 × 105 |
|
= −6.09 ; |
|
F2′( p1 ) |
3.464 × 104 |
|
||||
|
|
|
||||
F1 ( p2 ) |
= |
2.938 × 106 |
= −84.82 . |
|||
F2′( p2 ) |
−3.464 × 104 |
|||||
|
|
Закон изменения во времени:
uL1(t) = −6.09 e− 2679.5 t − 84.82 e− 37320.5 t , В.
7