k_Fomin

преобразуем левую часть уравнения кривой, выделяя полные квадраты двучленов:

4(x2 −2x +1)

−4 −9(y2 + 4y + 4)+36 −68 = 0 ;

4(x −1)2 −9(y + 2)2 = 36 .

Разделим обе части полученного уравнения на 36:

(x −1)2

(y +

2)2

(47)

9

−

4

=1 .

Введем новые координаты X , Y по формулам X = x −1 ,

Y = y + 2 . Тогда X = 0 , Y = 0 при x =1 ,

y = −2 , т.е. новое начало

координат имеет вид O1 (1; −2), а уравнение (47) принимает вид

X 2

−

Y 2

=1 .

(48)

2

2

2

3

Уравнение (48) является каноническим уравнением гиперболы в ДПСК XO1Y с полуосями a = 3 , b = 2 .

Найдем точки пересечения гиперболы с прямой x +3 = 0 :

2

−9 y

2

−8x

−36 y −68 = 0 ;

4x

+3

= 0 .

x

Из второго уравнения системы получаем x = −3 . Тогда первое уравнение системы принимает вид

4(−3)2 −9 y2 −8(−3) −36y −68 = 0

или после упрощения

9 y2 +36 y +8 = 0 .

Решая полученное квадратное уравнение, находим

y =

−6 −2 7

;

y

2

=

−6 + 2 7

.

1

3

3

Таким образом, прямая x +3 = 0 пересекает гиперболу в двух точках

M

−6 −2 7

M

−6 + 2 7

1

−3;

;

2

−3;

.

3

3

вектора:

uuur

− вектор с началом в точке А и концом в точке В;

AB

uuur

− вектор с началом в точке В и концом в точке А.

ВА

uur

Нулевой вектор

:: = вектор, начало и конец которого совпадают (обозначение: 0 , АА или 0).

Нулевой вектор изображается на чертеже точкой.

uuur

Длина (или модуль) вектора AB :: = расстояние между началом и концом этого вектора, измеренное с помощью задан-

uuuur

r

ной единицы измерения (обозначение:

АВ

,

a

).

Заметим, что

uur

0

=0.

Векторы

r

и

r

называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

а

r

b

r

(обозначение: a ||b ).

r

Обозначение неколлинеарных векторов:

r

a || b .

Нулевой вектор принято считать коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления.

Векторы

r

и

r

называются сонаправленными, если они коллинеарны и имеют одинаковое направление (обозначение:

r

а

b

r

а ↑↑ b ).

r

r

Векторы

и

называются противоположно направленными, если они коллинеарны и имеют противоположное на-

а

b

r

r

правление (обозначение: а ↑↓ b ).

Векторы

r

и

r

называются равными, если

а

b

1)

r

r

а

↑↑ b ;

2)

r

=

r

.

a

b

uur uuur

uur uuur

uur

uuuur

Например, для векторов, изображенных на рис. 16, AB = CD ,

PQ ≠ PR ,

EF

≠ GH .

Таким образом, каковы бы ни были вектор

r

и точка

P , существует, и притом только один, вектор

uur

с началом в

а

PQ

ответственно этому в векторной алгебре векторы рассматриваются с точностью до их положения, т.е. не различаются равные

векторы, получающиеся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называются свободными.

r r

r

r

r

r

Сумма a +b

векторов а

и b

:: = вектор c , идущий из начала вектора а в конец вектора

b , при условии, что вектор b

приложен к концу вектора аr

(сложение векторов по правилу треугольника), рис. 18.

Рис. 18

r r

r

r

тор

rСумма

a +b

представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах

а

и

b , при условии, что век-

b приложен к началу вектора а (сложение векторов по правилу параллелограмма).

r

Рис. 19

r

и b по указанному правилу конец вектора

совпадет с началом вектора

r

Если окажется, что при сложении векторов а

b

r

r

r

а, то

a +b = 0 .

Противоположный вектор −a для вектора аr

:: = вектор, начало которого совпадает с концом вектора а, а конец – с

началом вектора аr

(рис. 19).

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1)

r

r

r

r

a +b = b + a (свойство коммутативности);

r

r

r

r r r

2)

a +(b

+c)= (a +b)+ c (свойство ассоциативности);

3)

r

r

r

a +0 = a ;

r

r

r

4)

a +(−a)=

0

(здесь

r

r

r

− произвольные векторы).

а, b

, c

Заметим, что в силу свойства ассоциативности мы имеем право говорить о сумме трех векторов

r r r

и записывать ее в

а, b , c

r r r

r

r r r r r

r

r r r r r

виде

a +b +c , неуказывая приэтом, считаем лимы

a +b +c = a +(b +c) или

a +b +c = (a +b)+c .

r r

r

и b

:: = вектор

r

Рис. 20

r

Разность a −b векторов а

c , который в сумме с вектором b дает вектор а (рис. 20).

r

r

r

есть вектор, идущий из конца вычи-

Из рисунка видно, что если векторы а

и b

имеют общее начало, то разность a −b

таемого вектора в конец уменьшаемого вектора.

r

вектора

r r

на число λ ≠ 0

:: = вектор c , определяемый следующими условиями (рис. 21):

Произведение λa

a ≠ 0

Рис. 21

1)

c | | a ;

2)

r

r

r

r

c ↑↑ a

при λ > 0 , c ↑↓ a при λ < 0 ;

3)

cr

=

λ

ar

.

uuur

3 uuur

uuur

1 uuur

AC

=

AB ; AD = −

AB .

2

2

r

r

r r

Если λ = 0 или а

= 0

, то, по определению, λa = 0 .

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

r

r

1)

1 a =r a ;

r

2)

λ(µa)= (λµ)a ;

3)

r

r

r

(λ+µ)a

= λa +µa ;

r

r

r

r

4)

λ(a

+b)

= λa +λb

r r

(здесь λ

, µ − произвольные числа; а, b − произвольные векторы).

Заметим,

что вектор

r

противоположный вектору

r

r

в виде

−a ,

а, можно записать в виде −a = (−1) a , а разность

a −b

r r

r

+(−1)

r

a −b = a

b .

Рис. 22

Тот факт, что вектор аr имеет координаты x , y , z , отмечают следующим образом:

a ={x, y, z}.

Таким образом, в рассматриваемой ДПСК координаты вектора а − это координаты конца M этого вектора при условии, что

аr приложен к началу координат.

Из чертежа (рис. 22) видно, что

Рассмотрим единичные векторы координатных осей:

ar

= x2 + y2 + z2 .

(49)

ri ={1; 0; 0};

j ={0;1; 0}; k ={0; 0;1}.

Из чертежа (рис. 22) видно, что

uuuuur

r

uuuur

r

uuuur

r

OM x

= xi ,

OM y

= y j ,

OM z

= zk

;

uuur

uuuuur

uuuuur

uuur uuuuur

OL = OM x

+OM y

; a = OL +OM z

,

следовательно,

r

r r

(50)

a = xi

+ y j + zk .

Таким образом, любой вектор аr

можно представить с помощью векторов i , j , k

в виде (50).

По этой причине векторы ri

, j , kr называются базисными векторами, а упорядоченная тройка векторов ( i , j , k ) – ор-

тонормированным базисом, ибо это векторы взаимно ортогональны и длина каждого из них равна единице. Соотношение

(50) называется разложением вектора аr

по базису ( i , j , k ).

r

Укажем, как проводятся линейные операции над векторами в случае, когда векторы заданы своими координатами: если

r

a =

{x1, y1, z1}, b ={x2 , y2 , z2}, то

r

y1 + y2 , z1 + z2},

a +b ={x1 + x2 ,

(51)

т.е. при сложении векторов, их соответствующие координаты складываются;

r

− x2 , y1 − y2 , z1 − z2},

a −b ={x1

(52)

λa ={λx, λy, λz},

(53)

т.е. при умножении вектора на число каждая координата этого вектора умножается на данное число.

uuur

известны координаты его начала и конца: A(x1, y1, z1 ), B (x2 , y2 , z2 ), то

Если для вектора

AB

uur

− z1},

AB ={x2 − x1, y2 − y1, z2

(54)

т.е. для нахождения координат вектора

uuur

нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.

AB

uur

uuur

uuur

uur

={x2 , y2 , z2},

uuur

, y1, z1}, а также

Действительно, из чертежа (рис. 23) видно, что

AB

= OB

−OA . Учитывая, что

OB

OA ={x1

uuur

= (x − x )2 +(y

− y

)2 +(z

− z

)2 .

AB

2

2

2

1

1

1

uuur

− длина отрезка AB , следовательно,

Но

AB

=

AB

, где

AB

AB

=

(x

− x

)2 +(y

2

− y

)2

+(z

2

− z

)2 .

(55)

2

1

1

1

Формула (55) позволяет вычислять расстояние между двумя точками пространства.

rr

r

r

число,

равное произведению модулей этих векторов на косинус угла

Скалярное произведение ab векторов a

и b :: =

между ними:

rr

r

r

cos ϕ,

(56)

ab =

a

b

где

r r

r

r

(по определению, 0 ≤ ϕ ≤ π).

ϕ = a , b

− угол между векторами

a

и b

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

rr

rr

1)

abr= rba ;

rr

2)

(λa)b = λ(ab);

r r

r

rr rr

3)

a (b +c)= ab + ac

r

r

r

λ − произвольное число).

(здесь a , b ,

c − произвольные векторы,

r

:: = скалярное произведение вектора a

на самого себя:

Скалярный квадрат ar2 вектора a

r

ar2 = aa

Заметим, что

r2

=

r

2

.

a

a

r

, y1, z1},

r

, y2 , z2}, то

Если

a ={x1

b ={x2

r r

x1

y1

z1

||

a b

=

=

,

x

y

2

z

2

2

Рис. 25

r r

Упорядоченная тройкаr

( a , b , c ) некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если

из конца третьего вектора c

кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки при условии,

r

r

r

r r r

что векторы a ,

b ,

c приложены к одной общей точке. В противном случае тройка векторов ( a , b , c ) называется левоори-

Рис. 26

Векторное произведение

r r

r

r

r

a ×b

векторов a ≠

0

и b ≠ 0 :: = вектор c , определяемый следующими условиями:

1)

вектор cr

перпендикулярен плоскости векторов a и b при условии, что a и b приложены к одной общей точке;

2)

r

r

r

упорядоченная тройка векторов ( a , b

, c ) является правой;

3)

r

=

r

r

r r

c

a

b

sin ϕ, где ϕ = a , b

r

r

, или

r r

r

r

r

(если a = 0

b = 0 , то, по определению,

a ×b = 0 ) (рис. 27).