k_Fomin

y − y =

y2 − y1

(x − x

)

1

1

x2 − x1

или

y − y1

=

x − x1

.

(33)

y

2

− y

x

− x

1

2

1

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1 (x1, y1 ),

M2 (x2 , y2 ), записывается в виде (33).

Рассмотрим на плоскости, снабженной ДПСК, две прямые d1 : y = k1x + b1 и d2 : y = k2 x + b2 (рис. 3).

Пусть ψ − угол наклона прямой d2 к прямой d1 , т.е. угол, на который нужно повернуть прямую d1

вокруг точки L пе-

ресечения этих прямых, чтобы она совпала с прямой d2 . Из чертежа видно,

что ψ = ϕ2 −ϕ1 . Применяя известную формулу

тригонометрии

tg (α −β)=

tg α − tg β

,

1+ tg αtg β

получаем

tg ψ = tg (ϕ

2

−ϕ )=

tg ϕ2 − tg ϕ1

,

1

1+ tg ϕ1 tg ϕ2

или с учетом того, что tg ϕ2 = k2 , tg ϕ1 = k1 ,

tg ψ =

k2 −k1

.

(34)

1+ k k

2

1

Таким образом, тангенс угла наклона прямой d2 : y = k2 x + b2

к прямой d1 : y = k1x + b1 вычисляется по формуле (34).

Анализ формулы (34) приводит к следующим утверждениям:

• признак параллельности двух прямых:

d1 || d2 k1 = k2 ;

• признак перпендикулярности двух прямых:

d1 d2 1+ k1k2 = 0

или

1

d

d

2

k

2

= −

.

1

k1

а)

длину стороны AB ;

б)

уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;

в)

угол B ;

г)

уравнение высоты CD и ее длину;

д)

уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD ;

е)

уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB ;

M

M

2

=

(x − x )2 +(y

2

− y )2

,

1

2

1

1

получаем

AB

= (xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (3 −1)2 +(4 −(−6))2 =

= 4 +100 = 104 = 4 26 = 2 26 ,

AB

= 2

26 .

y − y1

=

x − x1

,

y

2

− y

x

− x

1

2

1

получаем

( AB) :

y − yA

=

x − xA

;

y −(−6)

=

x −1

;

y +6

=

x −1

;

yB − yA

xB − xA

4 −(−6)

3 −1

10

2

y + 6 = 5x −5 ;

y = 5x −11 .

Итак, AB : y = 5x −11 ,

1 ≤ x ≤ 3 , следовательно,

kAB = 5 .

Аналогично,

y − yB

x − xB

y −4

x −3

y −4

x −3

(BC) :

=

;

=

;

=

;

y − y

B

x − x

B

3 −4

−3 −3

−1

−6

C

C

y −4 =

1

x −

1

;

y =

1

x +

7

.

6

2

6

2

Итак, BC : y =

1

x +

7

,

−3 ≤ x ≤ 3 , следовательно, kBC =

1

.

2

6

6

Рис. 4

Из чертежа видно, что B равен углу наклона прямой (AB)

к прямой (BC) . Используя формулу для вычисления тан-

генса угла наклона прямой d2 : y = k2 x + b2 к прямой d1 : y = k1x + b1

tg ψ =

k2 −k1

,

1+ k k

2

получаем

1

1

kAB −kBC

5 −

30 −1

29

tg B =

=

6

=

=

,

1

1

+ kBC kAB

6 +

5

11

1+

5

6

tg B =

29

, следовательно, B = arctg

29

.

11

11

г)

Найдем уравнение высоты CD и ее длину. Прямая (CD)

перпендикулярна прямой (AB) . Следовательно, по при-

знаку перпендикулярности двух прямых

k

CD

= −

1

, k

CD

= −

1

.

kAB

5

Прямая (CD) проходит через точку С(−3;3)

и имеет угловой коэффициент

k

= −

1

. Используя уравнение прямой, прохо-

CD

5

дящей через данную точку M0 (x0 , y0 )

и имеющей заданный угловой коэффициент k :

y − y0 = k (x − x0 ) ,

получаем

(CD) : y − y = k

CD

(x − x

); y −3 = −

1

(x −(−3)); y −3 = −

1

x −

3

;

C

C

5

5

5

y = −

1

x +

12

.

5

5

Итак, CD : y = −

1

x +

12

−3 ≤ x ≤

67

67

,

xD =

26

, см. ниже . Найдем длину высоты CD . Для этого найдем координаты точ-

5

5

26

5x −11 = −

1

x +

12

; 25x −55 = −x +12 ; 26x = 67 ; x =

67

;

5

5

26

CD

= (x

− x )2

+(y

− y )2 =

67

−(−3) 2

+

49

−3 2 =

21866

;

D

D

C

C

26

26

26

CD

=

21866

.

26

д) Найдем уравнение медианы

AE и координаты точки

K

пересечения этой медианы с высотой CD . По условию

точка E является серединой отрезка

BC . Используя формулы для нахождения координат точки M0 (x0 , y0 ), являющейся

серединой отрезка M1M2 , где M1 (x1, y1 ), M2 (x2 , y2 ):

x

=

x1 + x2

; y

=

y1 + y2

,

0

2

0

2

получаем

xE

=

xB + xC

; yE =

yB + yC

;

2

2

xE =

3 +(−3)

= 0 ; yE =

4 +3

=

7

;

E 0;

7

.

2

2

2

2

Используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки, получаем

(AE) :

y − yA

=

x − xA

;

y −(−6)

=

x −1

;

y +6

= −x +1 ;

yE − yA

xE − xA

7

0 −1

19

2 −

(−6)

2

y +6 = −

19

x +

19

;

y

= −

19

x

+

7

,

2

2

2

2

Итак, AE : y = −

19

x +

7

, 0 ≤ x ≤1.