Y

α

X

Abbildung 14.5

Aufgabe 14.13 Entwickle ein Programm zur Addition von zwei dreidimensionalen Vektoren. Um es überschaubar zu machen, müssen alle Punkte (wie in Abb. 14.2 auf Seite 253) eindeutig dargestellt werden.

Zusammenfassung

Wir haben gelernt, in LOGO Koordinatensysteme mit frei wählbaren Einheiten zu zeichnen. In diesen Koordinatensystemen können wir mittels LOGO-Programmen Punkte, Strecken zwischen zwei Punkten, Geraden und Kreise zeichnen. Alle diese Programme kann man als Basisinstrumente betrachten, mit denen man unterschiedliche Aufgaben der Geometrie und insbesondere der Vektorgeometrie rechnerisch und zeichnerisch lösen kann. So kann man zum Beispiel alle wichtigen Punkte rechnerisch bestimmen und dann mittels schon entworfener Programme Strecken zwischen diesen Punkten zeichnen oder aus diesen Punkten Kreise konstruieren. Auf diese Weise kann eine Vielfalt von Aufgaben im zweidimensionalen Raum rechnerisch und zeichnerisch gelöst werden.

Zeichnungen im dreidimensionalen Raum sind deutlich komplizierter, da sie in einem zweidimensionalen Raum realisiert werden müssen, denn der Bildschirm ist nun einmal flach. Aus diesem Grund haben wir hier nur elementare Aufgaben betrachtet.

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Kontrollfragen

1.Wie wählst du die Größen der Einheiten für eine gegebene Aufgabe? Hast du eine Strategie für die Wahl der Einheitsgröße im Koordinatensystem bei einer gegebenen Anzahl von Punkten? Kannst du deine Strategie mittels eines Programms automatisieren?

2.Was für eine Größe haben Punkte in der Geometrie? Und wie kann man Punkte zeichnerisch darstellen? Siehst du mehrere gute Möglichkeiten?

3.Welche Bedeutung können Vektoren für die Modellierung der Realität haben?

4.Welcher grundlegende Satz der Geometrie wird verwendet, um die Entfernung zweier Punkte zu berechnen?

5.Wie addiert man zwei Vektoren? Was können Vektoren in der Physik darstellen und welche Bedeutung hat dabei die Addition?

Kontrollaufgaben

1.Gegeben sind drei unterschiedliche Punkte A, B und C durch ihre Koordinaten im zweidimensionalen Raum. Die Punkte B und C bestimmen eine Gerade g. Entwickle ein Programm, das Folgendes macht:

a)Es zeichnet die Punkte A, B und C und die Gerade g.

b)Es bestimmt rechnerisch den Punkt D auf g, der die kleinste Entfernung zu A hat und berechnet diese Entfernung.

c)Es zeichnet die Strecke AD.

Das Programm soll auch korrekt arbeiten, wenn A auf g liegt. Alle bisher entwickelten Programme können als Unterprogramme verwendet werden.

2.Gegeben sind zwei Punkte A und B durch ihre Koordinaten im zweidimensionalen Raum. Entwickle ein Programm, das Folgendes macht:

a)Es zeichnet einen Kreis mit dem Mittelpunkt auf der X -Achse, so dass die Punkte A und B auf dem Kreis liegen.

b)Es zeichnet die Tangenten des Kreises, die durch den Punkt A bzw. durch den Punkt

B verlaufen.

c)Es berechnet den Schnittpunkt dieser Tangenten.

3.Gegeben sind drei Punkte A, B und C durch ihre Koordinaten im zweidimensionalen Raum, und wir wissen auch, dass sie nicht alle auf einer Geraden liegen. Entwickle ein Programm, das Folgendes macht:

a)Es zeichnet einen Kreis, so dass die Punkte A, B und C auf dem Kreis liegen.

b)Es zeichnet den Radius als eine Strecke zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und dem Punkt A.

4.Gegeben sind zwei Vektoren durch ihre Richtungen (den Winkel, den sie mit der positiven X -Achse bilden) und ihre Längen. Entwickle ein Programm, das zeichnerisch diese Vektoren und ihre Summe darstellt.

5.Gegeben sind zwei Punkte A und B, die den Vektor B − A bestimmen. Entwickle ein Programm, das für gegebene Koordinaten der Punkte A und B den Vektor C −A zeichnet, wobei C der Mittelpunkt der Strecke AB ist.

6.Gegeben sind drei Punkte A, B und C, die nicht alle auf einer Gerade liegen, also das Dreieck ABC bilden. Entwickle ein Programm, das Folgendes zeichnet:

a)das Dreieck ABC

b)den Schwerpunkt von ABC als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

7.Gegeben sind zwei Vektoren (X1, Y1) und (X2, Y2) und zwei Zahlen D1 und D2. Entwickle ein Programm, das die Strecke von (0, 0) aus zeichnet, die zuerst D1 Einheiten in Richtung des Vektors (X1, Y1) geht und danach D2 Einheiten in Richtung des Vektors (X2, Y2).

8.Gegeben sind die vier Punkte A, B, C und D durch ihre Koordinaten. Entwirf ein Programm, das rechnerisch wie zeichnerisch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Vierecks

ABCD bestimmt. Falls die Punkte A, B, C und D kein Viereck bilden, soll das Programm eine Fehlermeldung ausgeben.

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Lösungen zu ausgesuchten Aufgaben

Aufgabe 14.10

Um die ursprüngliche Startposition und die Startrichtung (ohne den Befehl home) zu erreichen, müssen wir

(i)die aktuelle Richtung α der Schildkröte nach der Zeichnung des ersten Vektors (der letzten roten Linie) und

(ii)die Steigung des resultierenden Vektors β kennen.

Wir sehen, dass

gilt. Die Steigung des resultierenden Vektors β berechnen wir mit

Um das gewünschte Verhalten zu erzielen, können wir jetzt den Befehl home im Programm VECTORADD durch folgende Befehle ersetzen:

make "ALP arctan (:Y1/:X1) pr :ALP lt 90−:ALP wait 500

make "BET arctan ((:Y1+:Y2/(:X1+:X2)) pr :BET rt 90−:BET wait 500

make "RES (:X1+:X2) (:X1+:X2)+ (:Y1+:Y2) (:Y1+:Y2) make "RES sqrt :RES

bk :RES :EINHEIT lt 90−:BET

Das entworfene Programm bringt wie gefordert die Schildkröte an die Startposition. Aber für einige Werte von :X1, :X2, :Y1 und :Y2 schaut die Schildkröte am Ende nach unten anstatt nach oben. Kannst du erklären, für welche Werte der Eingaben es zu der Drehung der Schildkröte um 180◦ kommt? Kannst du das entworfene Programm so korrigieren, dass am Ende die Schildkröte immer nach oben schaut?

Modul II

Geschichte und Begriffsbildung