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Zusammenfassung

Die Methoden zur Lösung unterschiedlicher Aufgabentypen lernt man besonders gut verstehen, wenn man sie in Programme umsetzt. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen kann man in der Welt der Dreiecke aus gegebenen Informationen weitere Informationen ableiten oder sogar alles über das untersuchte Objekt erfahren.

Bei der Entwicklung von Programmen ist es wichtig zu beobachten, dass es nicht nur um das eigene Programmieren geht. Zuerst muss man das mathematische Denken anwenden, um das Problem zu analysieren und Zusammenhänge festzustellen. Erst wenn der Lösungsweg vollständig verstanden wurde, kann man mit dem Programmieren beginnen. Das muss aber nicht bedeuten, dass das Programmieren selbst nur eine lästige Routinearbeit ist. Manchmal braucht man neue Ideen, wie bei der Berechnung von arcsin, um mit den vorhandenen, beschränkten Mitteln einer Programmiersprache die mathematisch beschriebenen Lösungswege umzusetzen.

Kontrollfragen

1.Warum hat man die trigonometrischen Funktionen eingeführt? Was haben die Strahlensätze damit zu tun?

2.Aus welchen Daten über ein rechtwinkliges Dreieck kannst du alle anderen Seitenund Winkelgrößen bestimmen?

3.Sei f eine wachsende Funktion, die durch ein Programm berechnet werden kann. Wie kann man mit Hilfe der while-Schleife für den gegebenen Wert f (x) eine Annäherung des Wertes x berechnen? Wie kann man es mit beliebiger Genauigkeit machen?

4.Sei f eine Funktion, die man für jedes Argunment mit einem Programm berechnen kann. Sei [a,b] ein Intervall, in dem f genau ein Extremum hat. Wie kann man mit der Hilfe einer While-Schleife für einen frei wählbaren Wert des Parameters :APP ein i finden, sodass die Extremstelle im Intervall [i·APP,(i + 1)·APP] liegt?

Kontrollaufgaben

1.Schreibe ein Programm, das für die drei gegebenen Werte |SA1|, |SA2| und |SA3| das Bild aus Abb. 13.1 auf Seite 240 zeichnet. Im Unterschied zu Aufgabe 13.1 müssen die Strecken A1B1, A2B2 und A3B3 als Strecken und nicht als Geraden gezeichnet werden.

2.Entwickle ein Programm, das für gegebene Werte β und c eines rechtwinkligen Dreiecks alle anderen Seitenund Winkelgrößen berechnet und das Dreieck zeichnet.

3.Entwirf ein eigenes Programm ARCTANGENS zur Berechnung von arctan(x) für ein beliebiges positives Argument x.

4.Entwirf ein Programm, das für eine gegebene natürliche Zahl n ≥ 3 und einen gegebenen Kreisradius r die Fläche des den Kreis umschreibenden, regelmäßigen n-Ecks berechnet.

5.Entwickle ein Programm, das für eine gegebene positive Zahl n die n Dezimalstellen von π hinter dem Komma berechnet.

6.Man möchte die Länge eines Tunnels berechnen, der unter einem Berg hindurch führt. Die einzigen Daten, die man kennt, sind die Entfernungen a und b und der Winkel γ aus Abb. 13.6. Schreibe ein Programm, das für die gegebenen Werte von a, b und γ die Länge des Tunnels berechnet.

Tunnel

A B

a

bγ

C

Abbildung 13.6

7.Entwickle ein Programm, das für die folgenden Funktionen und Intervalle [a,b] ihrer Argumente ein lokales Maximum näherungsweise findet. Die Genauigkeit der Näherung soll durch den Parameter :APP des Programms gegeben werden. Das Programm soll einen Wert :X ausgeben, so dass es ein lokales Maximum gibt, dessen Wert höchstens um :APP von :X abweicht.

a)f (α ) = sin(α ) ·cos(α ) für α [0, 90]

b)f (x) = (20 −x) ·(20 + x) für x [−10, 10]

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c) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d für x [0, 100], wobei a, b, c, d beliebige Werte sind, die man als Eingaben des Programms betrachtet.

Lösungen zu ausgesuchten Aufgaben

Aufgabe 13.4

Wir kennen die Fläche F des Dreiecks ABC aus Abb. 13.7 und die Winkelgröße von α .

Wenn wir den Ausdruck für b in die zweite Gleichung tan α = ab einsetzen, erhalten wir

Wenn wir a kennen, können wir es in (13.1) einsetzen, um b zu bestimmen. Die Seitengröße von c erhalten wir durch die Verwendung des Satzes von Pythagoras oder mittels

a c = sin α

Damit können wir das Programm wie folgt schreiben:

250 Lektion 13 Integrierter LOGOund Mathematikunterricht: Trigonometrie

to DRFLA :F :ALPHA

make "a sqrt(2 :F tan(:ALPHA) make "b 2 :F/:a

make "c :a/sin(:ALPHA) rt 90 fd :b lt 180-:ALPHA fd :c rt 270−:ALPHA

fd :a rt 180 end

Aufgabe 13.8

Die Entfernung s des Beobachters von der Oberfläche des Planeten B (s. Abb. 13.3 auf Seite 244) kann man einfach durch das physikalsiche Gesetz

Strecke = Geschwindigkeit ·Zeit

bestimmen. Weil der Strahl die Strecke s in der Zeit x zweimal durchläuft, erhalten wir

2s = 300 000 ·x

und somit

s = 150 000 ·x.

In Abb. 13.3 auf Seite 244 betrachten wir für die Bestimmung des Radius vom Planeten B die Strecke CD statt der Tangente. Bei großen Entfernungen ist der Unterschied vernachlässigbar. Im Dreieck zwischen D, C und dem Mittelpunkt des Planeten B gilt

Jetzt kann man aus den entwickelten Formeln das Programm aufschreiben.

to PLANET :X :ALPHA make "s 150000 :X pr:s

make "d sin(:ALPHA/2) make "r (:s :d)/(1-:d) pr :r

end

:EINHEIT

:AN – Anzahl der Einheiten

Abbildung 14.1

to KOOR :AN :EINHEIT

ACHSE :AN :EINHEIT

rt 90

ACHSE :AN :EINHEIT

lt 90

end

Aufgabe 14.1 Modifiziere das Programm KOOR so, dass man auf den verschiedenen Achsen sowohl die Anzahl, als auch die Schrittgröße der Einheiten wählen kann.

Punkte können wir in diesem Koordinatensystem durch kleine Kreise zeichnen:

to PUNKT :EINHEIT :X :Y KOOR 240/:EINHEIT :EINHEIT

pu fd :Y :EINHEIT rt 90 fd :X :EINHEIT pd KREISE 1/36

end

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Abbildung 14.2 Punkt (4, 3, 3) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

Aufgabe 14.2 Entwickle ein Programm zum Zeichnen eines Punktes in einem dreidimensionalen Raum (Abb. 14.2). Die Z-Achse soll unter dem Winkel von 45◦ mit 23 der Größe der Einheiten auf der X - und Y -Achse dargestellt werden. Der Punkt mit den Koordinaten (X ,Y, Z) soll als die hintere, rechte Ecke eines Würfels eingezeichnet werden.

Beispiel 14.1 Eine der grundlegenden Aufgaben in der Geometrie ist es, die Strecke zwischen zwei gegebenen Punkte P1 = (X1,Y1) und P2 = (X2,Y2) zu zeichnen. Wir werden im Weiteren Koordinatensysteme schwarz, Strecken rot und Geraden blau zeichnen. Die Punkte können wir schon einzeichnen. Um die Strecke P1P2 zu zeichnen, müssen wir zuerst die Entfernung der beiden Punkte berechnen. Wie wir aus der Mathematik wissen (s. Abb. 14.3 auf der nächsten Seite), können wir Entfernungen durch den Satz des Pythagoras folgendermaßen berechnen:

DIS(P1, P2) = (X1 −X2)2 + (Y1 −Y2)2

Zu diesem Zweck können wir das folgende Programm verwenden:

to ENTF :X1 :Y1 :X2 :Y2

make "DIST sqrt((:X2 - :X1) (:X2 - :X1) + (:Y2 - :Y1)(:Y2 - :Y1))

pr :DIST end

Abbildung 14.3

Jetzt müssen wir noch den Winkel der Strecke zur horizontalen X -Achse bestimmen. Wir sehen in Abb. 14.3, dass

gilt.

Damit wissen wir alles Notwendige, um die Strecke P1P2 zeichnen zu können. Wir schreiben zuerst ein Programm, das für X2 ≥ X1 korrekt arbeitet.

to STRECKE :EINHEIT :X1 :Y1 :X2 :Y2 setpc [0 0 0]

PUNKT :EINHEIT :X2 :Y2

wait 1000 pu bk :X2 :EINHEIT lt 90 bk :Y2 :EINHEIT pd PUNKT :EINHEIT :X1 :Y1

make "DIST sqrt((:X2−:X1) (:X2−:X1) +(:Y2−:Y1) (:Y2−:Y1))

pr :DIST

if :Y2>:Y1 [ make "ABSDY :Y2−:Y1]

[ make "ABSDY :Y1−:Y2] if :X1=:X2 [ make "ALPHA 90 ]

[ make "ALPHA arctan (:ABSDY/abs (:X2-:X1))] setpc [255 0 0]

if :Y2>:Y1 [ lt :ALPHA ] [rt :ALPHA ] fd :DIST :EINHEIT

end

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Der Befehl abs berechnet für eine gegebene Zahl seinen absoluten Wert, also den positiven Wert der Zahl.

Aufgabe 14.3 Für den Fall Y2 −Y1 > 0 drehen wir lt :ALPHA nach links, weil es der Situation aus Abb. 14.3 auf der vorherigen Seite entspricht. Für den Fall Y2 ≤ Y1 drehen wir nach rechts. Erkläre warum und zeichne das entsprechende Bild analog zu Abb. 14.3.

Aufgabe 14.4 Das Programm STRECKE arbeitet nur für den Fall X2 ≥ X1 korrekt. Erweitere das Programm, so dass es auch für X2 < X1 korrekt arbeitet. Zeichne dazu die entsprechenden Bilder analog zu Abb. 14.3 auf der vorherigen Seite.

Aufgabe 14.5 Erweitere das Programm, so dass die Schildkröte am Ende die Startposition [0,0] in dem Koordinatensystem annimmt. Dabei darfst du den Befehl home nicht verwenden.

Wenn man das Programm STRECKE zur Zeichnung einer Geraden in blauer Farbe modifizieren will, reicht es aus, setpc [255 0 0] gegen setpc [0 0 128] und die letzte Zeile

fd :DIST :EINHEIT

gegen

bk :DIST :EINHEIT fd 3 :DIST :EINHEIT

Aufgabe 14.6 Gegeben sind die vier Punkte P1, P2, P3 und P4. Schreibe ein Programm, das rechnerisch und zeichnerisch den möglichen Schnittpunkt der Geraden g1 und g2 bestimmt, wobei g1 durch die Punkte P1 und P2 und g2 durch die Punkte P3 und P4 verläuft.

Aufgabe 14.7 Seien y1 = A ·x + B und y2 = C ·x + D zwei Geraden. Entwickle ein Programm, das für die gegebenen Werte A, B, C und D rechnerisch und zeichnerisch den möglichen Schnittpunkt dieser beiden Geraden bestimmt.