5 (тер.вер
.).pdf
Пусть дана полная группа событий В1, В2, …, Вn и некоторое событие А.
тогда условная вероятность события Вi при условии, что событие А произошло, |
||||||
определяется по формуле |
P Bi |
/ A |
P B |
P A / B |
||
|
i |
|
i |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
P B |
P A / B |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
Пример 14.
Найти вероятность того, что изъятый черный шар будет из первого ящика,
используя условие предыдущего примера. |
|||||||||||
P B |
/ A |
P B |
P A / B |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
0,24 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
0,55 |
|
|
0,55 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Повторные испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона.
Рассмотрим n независимых, повторных испытаний, в которых рассматривается наступление события А
Говорят, что имеет место схема Бернулли с параметрами (n,p) если
1)n – конечно;
2)возможны только два исхода при испытаниях:
1) |
Событие A осуществилось; |
2) |
Событие A не осуществилось; |
3)P(A)=p не зависит от числа испытаний
4)Pn(m) вычисляется по формуле
P m C |
m |
p |
m |
q |
n m |
|
n! |
p |
m |
q |
n m |
|
|
|
|
m! n m ! |
|
|
|||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где q – вероятность наступления события Ā, т.е. q=1-p Свойства:
1. |
Pn |
n Cn |
p |
q |
n n |
|
|
|
n |
n |
|
||
2. |
Pn |
0 Cn |
p |
q |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
n |
|
|
n! |
|
n!0! |
||
|
||
|
n! |
|
0! n |
||
n |
q |
0 |
p |
n |
p |
|
|
q |
n |
q |
n |
0 ! |
|
|
|
Пример 15.
Согласно ГОСТу, вероятность содержания лекарственных веществ в одной грануле равна0,9. Какова вероятность того, что
1)из 10 гранул 5 удовлетворяют нормативам
2)хотя бы 1 удовлетворяет нормативам
p=0,9 q=0,1 n=10 m=5
1. P 5 10! 0,950,15 0,0015 10 5!5!
2. Событие А – хотя бы одна ампула удовлетворяет нормативам
P(A)=P10(1)+ P10(2)+…+ P10(10)
Ā – ни одна ампула не удовлетворяет нормативам
P A 1 P( A) 1 P |
10 |
0,999 999 999 9 |
0 1 0,1 |
||
10 |
|
|
Пример 16.
Студент отвечает на 4 дополнительных вопроса при сдаче экзамена. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос 0,25. предполагая, что все ответы – события независимые, найти вероятность того, что будет дано хотя бы 3 правильных ответа.
Событие А – хотя бы три правильных ответа (3 или 4)
P A P4 3 P4 4 C43 0,2530,75 0,254 0,046875 0,004 0,05
Функция Лапласа
При большом числе повторных испытаний пользоваться формулой Бернулли затруднительно, т.к. это связано с выполнением действий над большими числами.
Возникает необходимость в формулах (асимптотических), позволяющих с достаточной степенью точности определять эти вероятности.
Впервые такая формула была найдена Муавром для частного случая схемы Бернулли при р = q = 0,5, а затем обобщена Лапласом на случай произвольного р, отличного от 0 и 1.
Эта формула получила название локальной теоремы Лапласа (теоремы
Муавра-Лапласа).
Tеорема. Если вероятность осуществления некоторого события А в n испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие А осуществится ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
y
1 
npq
x
, где
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
m np |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
e |
2 |
, |
x |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
npq |
|
Значения функции φ(х) для положительных аргументов приводятся в специальных таблицах.
Свойства функции φ(x)
1.φ(x)- четная
2.Для всех хєR φ(x)>0
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
3. При х→±∞ φ(x) → 0, т.е. lim |
|
|
|
e 2 0 |
|||
|
|
|
|||||
2 |
|||||||
x |
|
|
|
|
|||
4.х=0 – точка максимума, [φ’(x)=0 x=0],
0 |
1 |
|
2 |
||
|
1 
2
φ(x)
Пример 17.
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
р=0,8 q=0,2 n=100 m=75
y
1 
npq
x
,
x |
m np |
|
75 100 0,8 |
1.25 |
|
npq |
100 0,8 0,2 |
||||
|
|
|
По таблице значений функции φ(х), φ(-1,25)= φ(1,25)=0,1826
P |
75 |
1 |
0.1826 |
0,046 |
|
||||
100 |
100 |
0,8 0,2 |
|
|
|
|
|
Интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р (0<p<1), событие А наступит не менее k1 раз и не более k2 раза, приближенно равна
P k |
;k |
2 |
Ф x |
2 |
Ф x |
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
x |
ki |
|
np |
|
,i 0;1. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
npq |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
, где
|
1 |
x |
|
z |
2 |
|
Ф x |
|
|
||||
e |
2 |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dz функция Лапласа
Для x>5 полагают Ф(х) = 5.
Свойства функции Ф(х).
1.Ф(х) – нечетная.
2.Ф(х) – возрастающая
3. |
lim Ф x |
1 |
, lim |
Ф x |
1 |
|
2 |
2 |
|||||
|
x |
x |
|
1
2 Ф(х)
1
2
Пример 18.
Завод медицинского оборудования выпускает 90% фонендоскопов первого сорта и 10% фонендоскопов второго сорта. Наугад выбирают 1000 фонендоскопов. Найти вероятность того, что среди отобранных фонендоскопов не менее 890 будут первого сорта.
p=0,9 q=0,1 n=1000 k1=800 k2=1000
x |
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
k |
|
np |
1 |
|
|
|
|
npq |
k |
2 |
np |
|
|
|
|
|
npq |
890 1000 0,9 1,05
1000 0,9 0,1
1000 1000 0,9 10,5
1000 0,9 0,1
По таблице значений функции Ф x |
|
1 x |
|
z2 |
|
|||
|
|
|||||||
|
2 |
e 2 dz |
||||||
|
|
|
|
|||||
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Ф(-1,05) = - Ф(1,05) = - 0,3531 |
|
|
|
|
|
|
||
Ф(10,5) = 0,5 |
|
|
|
|
|
|
||
P 890;1000 Ф 10,5 Ф 1,05 0,5 0,3531 0,8531 |
||||||||
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в испытаниях Бернулли.
Пусть произведено n испытаний (n ≥ 50, np ≥ 10), Р(А) = р, 0 <p <1, k – число наступлений события А, k/n – относительная частота наступления события А.
k |
|
|
|
n |
|
|
P |
|
p |
|
|
|
|
|
2Ф |
|
|
|||
|
n |
|
|
|
pq |
|
Пример 19.
Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,02?
p=0,8 q=0,2 n=? P=0,95 |
ε =0,02 |
||||||||||||
|
|
n |
|
|
0,95 |
|
|
|
|
|
|
||
2Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
pq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
Ф |
|
n |
|
0,475 |
по ттаблиц |
|
|
|
1,96 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
pq |
|
|
|
|
|
|
pq |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,02 |
|
|
n |
|
1,96 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,8 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1,96 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,8 0,2 1537 |
|
|
|
|
|
|||||||
n |
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приближенная формула Пуассона
Теорема Лапласа непригодна, если вероятность события мала (p≤0,1) При больших n (n≥50) и малых p пользуются асимптотической формулой
Пуассона
Pn m m e , где np - закон редких событий m!
0 10 при больших применяется Теорема М - Л
Пример 20.
Среди семян пшеницы 0,7% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе1000 семян обнаружить 6 семян сорняков?
p=0,007 q=0,994 n=1000 m=6
P |
6 |
76 |
e 7 |
0,15, |
7 |
|
|||||
1000 |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные задания:
1)Среди 500 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 10 ампул, с трещинами. Определить относительную частоту появления ампул, имеющих трещины.
2)Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения четного числа
очков.
3)При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель равна 0,85. Определить число попаданий, если было произведено 120 выстрелов.
4)В ящике 10 деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется деталь №1.
5)Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
6)В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
7)На лекции по физике во втором семестре присутствуют 100 студентов первого курса. Из них по математике имеют: «отлично» - 20 человек, «хорошо» - 50 человек, «удовлетворительно» - 24 человека, «неудовлетворительно» - 6 человек. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент из числа присутствующих на лекции не имеет задолженности по математике?
8)Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян какое-либо одно?
9)В семье трое детей. Считать рождение мальчика и девочки равновероятными. Найти вероятность того, что в семье все мальчики.
10)На четырех карточках написаны буквы К, Р, У, Ж, К, А. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово ЖУК?
11)На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).
12)Для зачета по математике было приготовлено 40 задач на дифференцирование, 40 на интегрирование и 20 на решение дифференциальных уравнений. Какова вероятность того, что студент решит первую наугад взятую задачу, если он умеет решать 30 задач на дифференцирование, 10 на интегрирование и 8 на решение дифференциальных уравнений?
13)Известно, что в партии из 1000 стандартных ампул с новокаином 400 ампул изготовлено на одном заводе, 350 – на втором и 250 ампул – на третьем. Известны также вероятности 0,75; 0,8; 0,85 того, что ампула окажется без дефекта при изготовлении ее соответственно на первом, втором и третьем заводах. Какова вероятность того, что наугад выбранная из данной партии ампула с новокаином окажется без дефекта?
14) Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2- му стрелку?
15)Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль; 2) изделие стандартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прошло упрощенный контроль.
16)Вероятность удачного выполнения сложного химического опыта р=2/3. найти вероятность того, что из 10 испытаний удачными будут три.
17)При синтезировании в лабораторных условиях какого-то вещества вероятность взрыва в отдельном опыте р = 0,02. определить вероятность того, что: 1) в серии из 10 синтезов взрыв произойдет три раза; 2) взрыва не произойдет.
18)Пусть вероятность того, что электрокардиограф потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,02. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока из 30 кардиографов: 1) не более одного потребует ремонта; 2) хотя бы один потребует ремонта.