13.Математические свойства средней арифметической

Определение средней арифметической в ряде случаев связано (при очень большой численности совокупности) с большими затратами времени и средств. Однако процедуру расчета средней можно упростить, если использовать некоторые ее свойства. Приведем без доказательства основные свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая от постоянной величины равна ей самой

2) произведение средней на сумму частот равно сумме произведения вариантов на их частоты

3) изменение каждого варианта на одно и тоже число и на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину

4) изменение каждого из весов (частот) в одно и тоже число раз не меняет величины средней

5) изменение каждого варианта в одно и тоже число раз изменяет среднюю во столько же раз

6) сумма отклонений каждого варианта от их средней равна нулю

7) средняя суммы равна сумме средних величин

Рассмотренные свойства средней арифметической используются для упрощения расчетов связанных с вычислением средней величины.

14. Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

• степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

• структурные средние (мода, медиана).

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

15. Структурные средние величины. Способы их расчета

В статистическом анализе кроме рассмотренных средних используют величины конкретных вариантов, которые занимают в упорядоченном ряду значений признака определенное положение. Это мода, медиана, квартири, децили, процентили. Эти средние называют структурными средними.

1) Медиана - это вариант расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части, таким образом, что у одной половины единиц совокупности значения варьирующего признака меньше медианы, а у другой - больше.

Рассмотрим расчет медианы в вариационных рядах (дискретный и интервальный).

а) В дискретном вариационном ряду с четном числом вариантов медиана рассчитывается как среднее значение двух вариантов, имеющие порядковые номера n/2 и n/2+1.

В этих рядах с нечетным числом членов медиана рассчитывается по формуле n+1/2

б)  В интервальных рядах медиана начинается с определения интервала,  в котором находится медиана. Этот интервал называется медианный интервал. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (сумма накопленных частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. После того, как нашли медианный интервал, значение медианы рассчитывается по следующей формуле:

X_ME – нижняя граница медианного интервала

h – ширина медианного интервала

S_ME-1 – кумулятивная частота, накопленная до медианного интервала.

2) Мода – это вариант, который чаще всего встречается в данной совокупности. Рассмотрим расчет моды в вариационных рядах:

а) В дискретном вариационом ряду модой является вариант обладающий наибольшей частотой.

б) в интервальном вариационном ряду расчет моды осуществляется в следующем порядке:

1. определяем модальный интервал, т.е. интервал обладающей наибольшей частотой;

2. производим расчет моды по формуле

X_M0 – нижняя граница модального интервала

h – ширина модального интервала

f_M0 – частота модального интервала

f_M0-1 – частота предмодального интервала

f_M0+1 – частота послемодального интервала

3) Наряду с медианой для полной характеристики изучаемой совокупности применяют:

а) квартири -  делят ряд на 4-е равные части, из будет 3.

б) децили - делят ряд на 10 равных частей, их будет 9.

в) процентили -  делят ряд на 100 равных частей, их будет 99