Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Rozrakhunkovi_roboti_VM1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

Київ «ПОЛІТЕХНІКА»

2001

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ

Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»

Київ «ПОЛІТЕХНІКА»

2001

Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів / Уклад.: Л.Б. Федорова, Н.Р. Коновалова, І.В. Алексєєва та ін. — К.: ІВЦ «Політехніка», 2001. — 65 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»

(Протокол № 4 від 20.12.2001)

Навчальне видання

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Збірник завдань до типової розрахункової роботи

для студентів І курсу технічних факультетів

Укладачі:	Федорова Лідія Борисівна
	Коновалова Наталія Романівна
	Алексєєва Ірина Віталіївна
	Кіндибалюк Адріана Юріївна
	Трофимчук Олена Петрівна
	Гайдей Віктор Олександрович
Відповідальний
редактор	В.В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент	В.Г. Лозовик, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Темплан 2001 р., поз. 138

Редактор К.Г. Левчук

Підп. до друку Формат 60×84 1/16. Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» НТУУ «КПІ»

Лабораторія офсетного друку НТУУ «КПІ» 03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37.

Зам. № . Тираж 200. Ум. друк. арк. 3,78. Папір офсетний. Різограф.

Вступ

Дотепер накопичено багаторічний досвід використання типових індивідуальних розрахункових робіт для організації й контролю самостійної роботи студентів. Ре- зультатом цього є створена нова зручна форма типового варіанта.

Запропонований збірник містить 30 варіантів індивідуальних завдань і додаткові задачі, а кожний варіант — завдання з розділів: комплексні числа, теорія границь і неперервність функції, похідна функції, геометричний зміст похідної, дослідження функцій і побудова графіків функцій, методи інтегрування, визначений інтеграл, за- стосування визначеного інтегралу. Наявність додаткових задач, які вміщено в кінці збірника, і які ілюструють теоретичний матеріал курсу, дає змогу заохотити сумлін- них студентів. Частину задач узято зі збірників завдань Л.А. Кузнецова «Сборник заданий по высшей математике» (М., 1994) і А.П. Рябушка «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике» (Минск, 1990). Крім того, укладачі пропонують використовувати збірники задач [1—8].

Передбачається, що перед виконанням завдань типового варіанта розрахункової роботи, студент ознайомиться з відповідними розділами методичних вказівок, які містять:

1.Стислий виклад теоретичного матеріалу з вказівками шляхів поглиблення знань.

2.Приклади розв’язання типових задач з використанням ефективних, оригіна- льних методик.

3.Довідковий матеріал, зібраний і організований у зручній формі.

4.Зразок розв’язання типового варіанта та деяких додаткових задач, а також поради щодо розв’язання останніх.

5.Відповіді до частини завдань.

6.Список рекомендованої літератури.

Список рекомендованої літератури

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.

— 446 с.

2.Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики. — К.: КДУ, 1967. — 352 с.

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.:

МГУ, 1999. — 624 с.

4.Вища математика: Збірник задач / В.П. Дубовик, І.І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін. —

К.: Вища шк., 1999. — 480 с.

5.Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математиче- ского анализа: В 3 ч. / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др. — М.:

Наука, 1993. — Ч. 1. — 461 с.

6.Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина,

П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.

7.Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифферен- цируемость / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.:

Наука, 1984. — 592 с.

8.Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1986. — 528 с.

Варіант 1

1. Побудувати графіки функцій:

1)y = 12sin(2x + π3). 4) y = tg(2x + π4).

2)y = 2arcsin(x +1). 5) y = 2x+2.

3) y = 21arcctg(x +1). 6) y = ln(x + 3).

2. Знайти:

а) алгебричну форму zz1 + 2z3 −i3;

б) тригонометричну форму z3; в), г) (z1z2)8 та (zz21 )10 ;

д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 = −3 + 3i,z2 = 3 −i,z3 = −1−5i.

3. Зобразити множину точок z :

1) 1 < z −1 ≤ 2,0 < argz ≤ π4. 2) z −i > z +i , Rez > 1.

3) z3 − 3z2 + 6z − 4 = 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

n(n + 2)!−n(n +1)!

n→∞

(n + 3)!

2) lim

5n2 + 4 9n

8 +1

n→∞(n

+ n) 7 −n + n2

3) lim n(

n2 +1 − n2 −1).

n→∞

5.1)lim

x2 − 5x + 6

. 6.1)lim

1− cos8x

−

12x + 20

3x2

x→2 x2

→0

2) lim

2x2

+11x +15

. 2)lim

ln(1+ 3x2)

3x2 + 5x −12

3 − 5x2

→−3

x→0

3) lim

3x3

−5x

2 + 2

3)lim

ln(1+ sinx)

5x2 −x

sin4x

→∞ 2x

x→0

lim

x5 −2x + 4

. 4)lim

−1

4 + 3x2 +1

lnx

→−∞ 2x

x→1

5) lim

2x2

+ 3x − 5

5)lim

72x −53x

−

2x2 +1

−arctg3x

→∞ 7x

x→0

− 3

+e−x −2

6)lim

1+ 2x

6)lim

−2

sin2 x

→4

x→0

7)xlim→∞(xx ++

84)−3x .

7)limx→e(

)sin

lnx −

x .

x −e

8)xlim→∞(

2x +

)x+1 .

8)limx→1(

3x −1

)

x−1 .

5x +

x +1


7.1) lim		ln(	x + 5)	.	â3) lim xsinx.

x→∞		4 x + 3			x→+0
2)lim	arcsin4x − 4x				. 4)ë lim (x + 2x )x1.
	5 − 5e−3x −15x
x→0					x→+∞

8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :

1)α(x) = tg2x,β(x) = arcsinx,x → 0.

2)α(x) = x − x,β(x) = x3 − 34x,x → 0.

Ó3) α(x) = sin 3x,β(x) = x,x → 0.

9. Дослідити функцію на неперервність:

1) f(x) =

sinx

x + 4,

x < −1,

+ 2,

−1 ≤ x < 1,

2) f(x) = x

x ≥ 1.

2x,

= 3,x

= 4.

3) f(x) = 2

+1 у точках x

x−3

Знайти похідні функцій (10—13):

10. 1) y = x5 −

log5(3x −7)

−2)3

ctg7x3

arcctg4

2) y = 3 3x4 + x − sin

3 −

3) y = sin3 2x cos8x5 +

9arctg(x + 7)

(x −1)2

earccos2 x

4) y = lnx arctg2 5x − x + 5 .

5) y = tg4 3x arcsin2x3 +(arccosx)tg3x.

6) y = (cth3x)arcsinx − (x −1)4 x + 7 . (x + 2)5(x + 3)2

= earctgxy . 2)y2 + siny = 8x.

11.1)

+ y2

cost

′

x =

lnt

x =

1+ 2cost

12.

′′

: 1)

sint

yxx =

y = t

lnt.

y =

1+ 2cost

13.1) y = (2x2 −7)ln(x −1),y(5)

= ?

2) y = xeax,y(n) = ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі

до кривої у заданій точці:

1) y = x2 −7x + 3,x0 = 1.

2) x = a sin3 t,y = a cos3 t,t0 = π3.

3) x = at,y = 21at2,z = 13at3,M0(6a,18a,72a). 15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції y = 2x3 −9x2 +12x −9.

1) y = ln(x2 −2x + 2),[0;3].

16.max f(x) = ?		2	16
min	2) y = x			−16,[1;4].
[a,b]			+ x

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

17 −x

1) y = 1− 3 x2 −2x.

5) y =

4x − 5

2) y = 3

. 6) y = e2x−x2 .

3x −6 +(2 −x)3

3) y = (2x + 3)e−2(x+1).

7) y =

x2 + 4

4) y = esinx+cosx.

8) y = x +

−1

Знайти інтеграли (18—21):

18.1)∫

7)∫ sin(2 − 3x)dx.

3 + xdx.

2)∫

8)∫

3 −x

9x2

− 3

3)∫

2xdx

9)∫

5 − 4x2

2 − 5x2

4)∫e2x−7dx.

10)∫ sin4 2x cos2xdx.

5)∫

tg3 x

11)∫

arctg5 3x

dx.

cos2 x

1 + 9x2

6)∫

xdx

12)∫

sin2x

dx.

e3x2+4

1 + 3cos2x

19.1)∫

2 − 3x

5)∫

(3x2 + 20x + 9)dx

dx.

x2 + 2

(x2 + 4x + 3)(x + 5)

2)∫

1−2x −x

dx. 6)∫

x3 +1

dx.

1 + x2

x3 −x2

3)∫

7)∫

(3x +13)dx

4x2 −5x + 4

(x −1)(x2 + 2x + 5)

(x +1)dx

5xdx

4)∫

. 8)∫

2x2 + 3x + 4

x4 + 3x2 − 4

20.1)∫ tg2 xdx.

4)∫ cos4 3x sin2 3xdx.

2)∫ sin2(1−x)dx.

5)∫

5 + 2sinx + 3cosx

3)∫ sin3x cosxdx.

6)∫

8sinx(sinx −2cosx)

21.1)∫		x −1
			dx.

		7x2 + 4
2)∫		dx
				.

	4 + 8x −x2

3)∫ 1−x x2 dx.

4)∫ 2 + x + 3. 22.1)∫ ln(coscos2 xx)dx. 2)∫(x +1)e2xdx.

3)∫ ln(x − 5)dx.

5)∫

2x −13

dx.

3x2 − 3x −16

1−

6)∫

dx.

(1+ 3

)

7)∫

1+ x2

dx.

8)∫

4 x7

4)∫ x2 cos2xdx.

5)∫

arccos xdx.

1−x

6)∫ arctg2xdx.

23. Обчислити інтеграли:

1)∫ x ln(x −1)dx.

2
1	3x4 + 3x2 +1
2)∫					dx.
2)∫		x2 +1			dx.
0
29
29	3 (x −2)2
3)∫				dx.
	3 + 3
	3 + 3		(x −2)2
3

4)∫π 28 sin8 xdx.

5)∫ x24 −x2dx.

6)∫2 cos3 x dx. π sinx

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

1)∞	xdx	.	2) 1		dx	.

∫1	16x4 −1		∫0	3 2 − 4x

25. Обчислити площу фігури, обмеженої

кривими:

1) y = (x −2)3,y = 4x − 8.

		3		t,
		3
x = 4	2cos
				x = 2(x ≥ 2).
2)				x = 2(x ≥ 2).
y = 2	2		sin3 t,

3) ρ = 4cos3ϕ,ρ = 2(ρ ≥ 2).

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими x = 0, y2 = 4 −x, навколо осі Ox .

27. Обчислити площу поверхні, утвореної

обертанням кривої y =	1	x	3		−	1	;	1
обертанням кривої y =	3	x		,x	−	2	;
	3					2		2

навколо осі Ox.

Варіант 2

1. Побудувати графіки функцій:

1)y = −2cos(3x − π2). 4) y = 3x−2.

2)y = 13arccos(x + 3). 5) y = 2arctg(x −1).

3) y = ctg(14x − π8). 6) y = −lg(x − 3).

2. Знайти:

а) алгебричну форму zz1 + 2z3 +i4;

б) тригонометричну форму z3;

в), г) (z1z2)8 та (zz1 )10 ;

д), е) всі значення 3

та 4

, якщо:

z1 = 2 −2i,z2 = −1+

3i,z3 = 2 + 3i.

3. Зобразити множину точок z :

1) 1 <

z +1

≤ 3,

π < argz ≤

2π.

z −1

z + i

> 2.

Imz

3) z3 −2z2 + 2z −1 = 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

(2n +1)!+(2n + 2)!

n→∞

(2n + 3)!

−

n2 +1

2) lim

n −1

→∞

3 3n3 + 3 + 4

n5 +

3) lim n(

−

n2 − 3).

n(n −2)

n→∞

5.1)lim

−x2 + 2x

. 6.1)lim

sin3x − sinx

x2 + x

x→0

2)lim

2x2 + 5x − 7

2)lim

arcsin5x

x3 −1

tg3x

→1

x→0

3) lim

4x3 + 7x

. 3)lim

1− cos10x

− 4x2 + 5

→∞ 2x3

x→0 ex2 −

4) lim

3x4

+ 2x − 5

4)lim

2x2 −1 −1

+ x + 7

lnx

→∞ 2x2

x→1

lim

3x2 −7x + 2

. 5)lim

e3x −e−2x

2arcsinx −x

→−∞ x4 + 2x − 4

x→0

6) lim

x +12 −

.6)lim

sinx

x−a

+ 2x − 8

(sina )

→−4

x→a

2x−1

7) lim

7)lim(cos

)x .

(x +1)

→∞

x→0

2x +1 x

1+ x sinx − cos2x

8)xlim→∞(

) .

8)limx→0

x −1

sin2 x

7.1)lim	alnx −x	.	3)lim		1	−	1	.
7.1)lim	x −1	.	3)lim			−	x )	.
x→1	x −1		x→0(sinx				x )
2) lim xsinx.			4) lim	(lnx1)x .
x→+0			x→+0

8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :

1)α(x) = 1− cosx,β(x) = 3x2,x → 0. 2)α(x) = x3 − 3x −2,β(x) = x −2,x → 2. 3)α(x) = ex2 −1,β(x) = x,x → 0.

9. Дослідити функцію на неперервність:

1) f(x) =

sinx

x +1,

x ≤ 0,

2) f(x) = (x +1) , 0 < x ≤ 2,

4 −x,

x > 2.

3) f(x) = 5

−1 у точках x

= 3,x

= 4.

x−3

Знайти похідні функцій (10—13):

10.1) y = 4x3 +

−

(x − 4)2

x 4

earcctgx

2) y = 3

ln(5x − 3)

2x4 − cosln2

4tg3x4

3) y = cos5 3x tgx

3 −

arcctg3 2x

chx

4) y = lnx arctg3 2x +(cosx)lnx.

5) y = (x −2)4 arcsin5x4 −

arctg(2x + 3)

8(x +1)3

ctgx

(x − 3)5

(x + 2)3

6) y = (arcsin2x)

+1)2

(x −

1)3

11.1)

2) y = tg(x +y).

= 1.

′

= ?

2cos

= 1−t

12.

: 1)

y′′

= ?

3sin

2 t

= tg

1 +t.

13.1) y = (3 −x2)lnx,y(4)

= ?

2) y = sin2x + cos(x +1),y(n) = ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі

до кривої у заданій точці:

1) y = x2 −16x + 7,x0 = 1.

2) x = 3cost,y = sint,t0 = 3.

3) x = t − sint,y = 1− cost,z = 4sin2t , M0 (π2 −1,1,22).

15. Знайти проміжки монотонності фун- кції y = 3x −x3.

		1) y =		3x	,[0;5].
16.max	f(x) = ?	1) y =	x	2 +1	,[0;5].
16.max	f(x) = ?		x	2 +1
min					4
[a,b]					4
		2) y = 4		−x −			,[1;4].
		2) y = 4		−x −		x2	,[1;4].

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

−x +1

1) y =

5) y = 2x − 33 x2.

x −1

2) y = 3 (x + 3)3 − 3x −

9. 6) y =

4x2 −

3) y = x + ln(x2 − 4).

7) y =

x +1

(x −1)2

4) y = arctg

sinx + cosx

. 8) y =

e2(x+1)

2(x

+1)

Знайти інтеграли (18—22):

18.1)∫ 3

7)∫ sin(3 −2x)dx.

1+ xdx.

2)∫

8)∫

2x2 −5

3x + 9

3)∫

9)∫

xdx

9x2 + 3

5 − 3x2

4)∫e3+5xdx.

10)∫

ln2(1−x)

dx.

x −1

xdx

5)∫

arcsinx

dx.

11)∫

e3x2+4

1−x2

6)∫

cos2x

dx.

12)∫

3x3

dx.

sin3 2x

−x

19.1)∫

1−2x

5)∫

12dx

dx.

5x2 −1

(x −2)(x2 −2x + 3)

2)∫

7 −x2

6)∫

x3 −2x2 −2x

dx.

1−x

x3 −x2

x2 − 6x + 8

3)∫

. 7)∫

dx.

x2 − 4x +10

x3 + 8

x + 6

2x5 −2x

4)∫

dx. 8)∫

dx.

3x2 + x +1

1−x4

20.1)∫ ctg3 2xdx.

4)∫ sin5 2x cos2 2xdx;

2)∫ sin3(1−x)dx.

5)∫

8sinx(2sinx − cosx)

3)∫ 5 sinx cos3 xdx. 6)∫

5 − 4sinx + 2cosx

21.1)∫

3 − 5x

dx. 5)∫

x − 3

dx.

1−x2

2x2 − 4x −1

xdx

2)∫

6)∫

dx.

x + 3

. 7)

∫

3x2 − 4x +1

∫

(x +1) x2 −1

4)∫ x2x−1dx.

22.1)∫ cos(lnx)dx. 2)∫(x −2)exdx. 3)∫ arctg2xdx.

8)∫ 31x3+x2x dx.

4)∫ 1−x arcsinxdx. 5)∫ x sin2 xdx.

6)∫ x cos6xdx.

23. Обчислити інтеграли:

1)∫ x2e−x2dx.

−2
π
2
2)∫ 2 +dxcosx.
0
1	4x−2	x2
3)∫	4x−2	x2	dx.
2

4)∫ 24 sin6 x cos2 xdx.

5)∫ 2x4 −5x2 + 4dx. x2 −1

ln2

6)∫ ex(3dx+e−x ).

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

1)	∞	x3dx	.	2)a	x8dx	.

∫		16x4 +1		∫	a2 −x2
	0			0

25. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими:


1) y = x	9 −x2,y = 0,x [0;3].

x =		2cost,
					y = 2(y ≥ 2).
2)					y = 2(y ≥ 2).
y = 2			2	sint,

3) ρ = cos2ϕ.

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими x = 0,y = 0,x + y = 2, навколо осі

Ox.

27. Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої ρ = 2cosϕ навко- ло полярної осі.

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.11.2019313.86 Кб1RK_MTKM1.doc
#
26.11.2018592.38 Кб11Rozdil_2.doc
#
17.11.2019667.14 Кб3ROZRAH1.doc
#
04.11.201896.77 Кб5Rozrahunkova_2010.doc
#
17.03.2016380.74 Кб17rozrakhunkova_bukhoblik.docx
#
17.03.20161.33 Mб11Rozrakhunkovi_roboti_VM1.pdf
#
12.05.20159.97 Mб20ROZRAKhUNOK_PARAMETRIV_GUChNOMOVTsIV_red.doc
#
17.03.20161.68 Mб4Rozrakh_oper_Chislennya.pdf
#
07.11.2019364.54 Кб1rtf.doc
#
20.11.2019642.05 Кб0R_P_Fin_an.doc
#
25.11.2019401.92 Кб0sb_tez.doc