Rozrakhunkovi_roboti_VM1
.pdfВаріант 18
1. Побудувати графіки функцій:
1)y = 21cos(3x − π3). 4) y = ctg(3x + 34π).
2)y = 2arccos(x + 2). 5) y = (15)x−1 .
3) y = 13arctg(x −1). 6) y = −ln(2 −x).
2. Знайти:
а) алгебричну форму zz1 + 2z3 + i5;
2
б) тригонометричну форму z3; |
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в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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д), е) всі значення 3 |
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та |
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4 |
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, якщо: |
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z |
1 |
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z |
2 |
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|||||
z1 = 7 − 7i,z2 = 2 |
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+ 2i,z3 = −5 + 4i. |
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3 |
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3. Зобразити множину точок z : |
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1) |
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z −1+ i |
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> 2, |
2π |
< argz |
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≤ π. |
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|||||
2) |
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z −5 |
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> |
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z + 3i |
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, |
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Imz |
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> 2. |
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3) z3 −2z2 +16 = 0. |
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Знайти границі (4—7): |
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13 |
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3n + 2n |
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4.1) lim |
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+ |
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+... |
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+ |
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n |
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36 |
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n→∞ 6 |
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n6 |
+ 4 + |
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2) lim |
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n − 4 |
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. |
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||||||
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5 n6 |
+ 6 − |
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n→∞ |
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n |
−6 |
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−n). |
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3) lim( |
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n(n + 5) |
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n→∞ |
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5.1) lim |
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x2 − 4x − 5 |
. 6.1) lim |
1− sin2x |
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π − 4x |
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x→−1 3x2 + 2x −1 |
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x |
→π |
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4 |
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2)lim |
4x4 −5x2 +1 |
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2)lim |
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arcsin2x |
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. |
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x2 −1 |
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tg4x |
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x→1 |
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x→0 |
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3) lim |
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8x2 |
+ 4x − 5 |
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3)lim |
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cos2x − cosx |
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2 |
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1− cosx |
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x→∞ 4x2 − 3x + |
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x |
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→0 |
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4) lim |
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8x2 |
+ 3x + 5 |
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. 4)lim |
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lntgx |
. |
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−2x2 +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 4x3 |
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x |
→π cos2x |
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4 |
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||||
5) lim |
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5x4 − 3x |
2 |
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. 5)lim |
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e4x −e |
2x |
, |
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2tgx − sinx |
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x→−∞ 1+ 2x + 3x2 |
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x |
→0 |
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− 3 |
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2x −2 |
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6)lim |
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4x − 3 |
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6)lim |
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x2 −9 |
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lnx |
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x→3 |
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x→1 |
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7) lim |
( |
x + 5 |
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3x+4 . |
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7)lim(3 −2cosx)cosec2 x. |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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) |
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x |
→0 |
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2x − 3 6x+1 |
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x |
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1 |
π |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x− |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
8) lim |
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. |
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8)lim |
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tg |
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2 . |
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|||||||||||||||||||||||||
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(x |
+ 4 ) |
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( |
2) |
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x→−∞ |
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x→π |
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2 |
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7.1)lim sinx lnctgx. |
3)lim |
ex |
−1−x |
. |
||
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sin2x |
|||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
||
|
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|
1 |
|
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|
2)lim(tgx)tg2x. |
4)lim(x −1) |
e2x −1 |
. |
|||
x→π |
x→1 |
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4 |
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8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 1 + tg2 2x −1,β(x) = arctgx, x → 0.
2)α(x) = e2x2 − cos2x,β(x) = arctgx,x → 0.
3)α(x) = tg2x − sin2x,β(x) = x ln(1 + x2), x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = |
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1 |
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. |
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x |
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||||
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1 +e |
x−1 |
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||||
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x −2, |
x ≤ −1, |
||||||
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2 |
|
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2) |
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−1, |
−1 < x ≤ 2, |
||||
f(x) = x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x + 5, |
x > 2. |
|||||
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|
|||||||
|
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|
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|
|
3) f(x) = |
|
|
|
3x |
|
у точках x |
|
= 4,x |
|
|
= 5. |
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||||||||||||||||||||||
x − 4 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||
Знайти похідні функцій (10—13): |
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|||||||||||||||||||||||||||||
10.1)y = 3 |
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− |
5 |
|
+ 3x2 − 5x . |
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||||||||||||||||||||||
|
x5 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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x4 |
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e−x2 |
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|||||||
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− |
log2(7x |
−5) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) y = |
|
|
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|
2 + 5 |
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|||||||||||||||||||||
|
4x |
ctg2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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tg |
x |
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||||||
3) y = ecosx ctg8x3 |
+ |
|
|
cth2(3x −1) |
. |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arccosx2 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||
4) y = log |
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x arctg3 4x − |
6log3(2x + 9) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
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(x + 4)2 |
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|
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||||||||||
5) y = cth4 2x arctg 3 |
|
+(cthx1)arcsin7x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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(x −2)2 5 (x +1)2 |
|||||||||||||
6) y = (lg(4x − 3))arccos4x − |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x − 3)4(x − 4)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11.1) y = 7x − ctgy. 2) |
|
+ |
|
|
= arcsiny. |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
yx′ = ? |
|
|
|
x |
|
= sint −t cost, |
|
|
|
x |
= sint, |
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12. |
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||
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: 1) |
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|
2) |
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|||||||||
yxx′′ |
= ? |
|
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y |
= cost +t sint. |
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|
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y |
= lncost. |
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||
13.1) y = (x2 −2x)sin5x,y(6) |
|
= ? |
|
|
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|
|
|
2) y = lg(1 + x),y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
x16 + 9
1) y = 1−5x2 ,x0 = 1.
38
2) x = t +t 1,y = 1−t t,t0 = −1. 3) x = sint,y = cos2 t,z = sint cost,
M0 ( 12;21;12).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = (2x −1)2(2x − 3)2.
16.max f(x) = ? |
1) y = ex +e−x,[−1;2]. |
||
|
|
|
|
min |
2) y = 3 2x2(x − 6),[−2;4]. |
||
[a,b] |
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1) y = 2x3 − 3x2 −2x +1. |
5) y = x lnx. |
|
|||||
|
1− 3x2 |
|
|
|
|
||
2) y = 2 + 3 |
|
. |
6) y = |
|
4x |
|
|
8x(x + 2) |
. |
||||||
|
+ x2 |
||||||
|
|
|
4 |
|
3) y = 3(x −1)2 − 3(x −2)2.7) y = 2lnx +x 3.
4) y = 3 |
|
. |
8) y = |
4x |
|
|
sinx |
. |
|||||
(x +1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ 3 −dx5x.
|
|
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|
2)∫ |
|
|
|
2dx |
|||||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
7 −2x2 |
|||||||||
3)∫ |
|
xdx |
|||||||
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x2 + 8 |
4)∫e1−4xdx.
tg6x 5)∫ cos2 6x dx.
arctg6 3x 6)∫ 1+ 9x2 dx.
10x + 5
19.1)∫ 5x2 +1dx.
x4 + 2 2)∫ x2 − 4dx.
dx
3)∫ 3x2 −9x + 6.
(2 −x)dx
4)∫ 4x2 +16x − 9. 20.1)∫ ctg4 2xdx.
2)∫ cos4 3xdx.
3)∫ cosx cos7xdx.
7)∫ 31+ 3xdx.
8)∫ sin(3x + 6)dx.
dx
9)∫ 3x2 − 5.
10)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4x |
|
|
dx. |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos2 4x |
|||||||||||||||||||
11)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
(x − 3)ln4(x − 3) |
|||||||||||||||||||
12)∫ |
|
x2 |
dx. |
||||||||||||||||
7 + 3x3 |
|||||||||||||||||||
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
(2x2 + 5x + 5)dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
(x + 2)(x2 + 2x − 3) |
|||||||||||||||||||
6)∫ |
|
|
|
4x4 + 8x3 −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||
(x2 −1)(x +1) |
|||||||||||||||||||
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 23)dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
(x +1)(x2 + 6x +13) |
|||||||||||||||||||
8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7x −2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
(x −1)2(x2 + 4) |
|||||||||||||||||||
4)∫ 5 |
|
sin3 xdx. |
|||||||||||||||||
cos4 x |
|||||||||||||||||||
5)∫ |
dx |
|
. |
||||||||||||||||
1+ 3cos |
2 x |
dx
6)∫ 5 + sinx + 3cosx.
21.1)∫ |
5 − 4x |
|
dx. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1−x2 |
||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
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|||||
|
|
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|
|
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|
|
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||
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|
x2 |
|
−5x + 6 |
|||||||||
3)∫ |
|
|
x2 |
− 9 |
dx. |
||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
||||||||
4)∫ |
|
x3dx |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
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|
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|
||||
x −7 |
|
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|
|
22.1)∫ x ln2 xdx;
5)∫ |
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|
|
2x + 4 |
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|||||||||||||
|
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dx. |
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||
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|
3x2 + x −5 |
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||||||||||||||||||
6) |
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dx |
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. |
||||||||
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|
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||
∫ |
(x −1) x2 + x +1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
− 3 |
|
|
|
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||||||||
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
dx. |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||||
x |
x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
8)∫ |
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|
1 + |
|
x |
dx. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
4)∫ |
|
x arctgx |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
2)∫(x2 + 2)e−xdx. |
5)∫(x − 4)cos2xdx. |
|||
3)∫ arcsin2xdx. |
6)∫ x cos(x + 6)dx. |
|||
23. Обчислити інтеграли: |
||||
3 |
|
|
π |
|
x7dx |
|
2 |
||
1)∫ |
. |
4)∫ (x + 3)sinxdx. |
||
1−x4 |
||||
2 |
|
|
0 |
30
2)∫ |
dx |
|
|
. |
5)∫ |
28 sin4 x cos4 xdx. |
(9 + x |
2 |
3 |
||||
0 |
|
)2 |
|
−π |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
52
3) |
|
xdx |
. 6) |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
3,5∫ x2 |
− 7x +13 |
∫0 |
x +1 |
+ |
(x +1)3 |
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞0
1)∫0 |
|
dx |
|
. |
2)∫3 |
|
dx |
|
. |
3 |
|
|
|
|
|
||||
x2 + 5 |
4x + 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1)y = 4 −x2,y = x2 −2x.
x = 4(t − sint),
y = 4(1− cost),
y = 4, (0 < x < 8π,y ≥ 4).
3) ρ = 3cosϕ,ρ = sinϕ (0 ≤ ϕ ≤ π2 ).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = 3sinx,y = sinx,y = 0,0 ≤ x ≤ π, на-
вколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої 3y = x3 (0 ≤ x ≤ 1)
навколо осі Ox.
39
Варіант 19
1. Побудувати графіки функцій:
1)y = −21sin(3x − 23π).4) y = tg(21x − 12π ).
2)y = 2arcsin(x −2). 5) y = (13)x+1 .
3) y = 3arcctg(x +1). 6) y = −lg(3x + 2).
2. Знайти:
а) алгебричну форму zz1 + 2z3 −i7;
2
б) тригонометричну форму z3; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||
z |
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2 |
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||
д), е) всі значення 3 |
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та |
4 |
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|
, якщо: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
1 |
|
|
z |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||
z1 = 2 + 2i,z2 = −2 + 2 |
|
|
i,z3 = −4 − 3i. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
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z −1+i |
|
> 3, |
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π |
< argz |
≤ π. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||
2) |
|
z + 5i |
|
< |
|
|
z −2 |
|
, |
|
|
Rez |
|
< 3. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 −5z2 +10z −12 = 0. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти границі (4—7): |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
|
2 + 5 +... + 2n +(2n + 3) |
. |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n→∞ |
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n(n + 3) |
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||||||||||||||||||
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|||||||||||
2) lim |
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4n2 − 4 |
n3 |
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|||||||
n→∞ |
3 n6 + n3 +1 − 5n |
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||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
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n3 + 8( |
|
n3 + 2 − n3 −1). |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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||||
5.1) lim |
|
7x2 + 4x − 3 |
. 6.1)lim |
|
cos4x sin2 4x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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3x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x→−1 2x2 + 3x +1 |
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x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)lim |
3x |
2 − 5x −12 |
. |
|
|
|
|
2)lim |
|
|
x3 −64 |
|
. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 − 5x + 6 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→3 |
|
x |
|
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|
x→4 tg(x − 4) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
8x4 − 4x2 + 3 |
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|
|
|
−1 |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
. |
|
|
3)lim |
|
|
|
|
1 + x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x4 + |
1 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ |
|
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|
x |
→0 sin(π(x + 2)) |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
lim |
|
|
6x3 + 5x2 − 3 |
.4)lim |
|
|
|
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|
eπ |
−ex |
|
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. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
x |
→−∞ 2x2 −x + 7 |
|
|
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|
|
x |
→π sin5x |
− sin3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
|
5x + 3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
5)lim |
|
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|
32x |
− 7x |
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. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 − 4x2 −x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ x |
|
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x→0 arcsin3x − |
5x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− 4 |
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|
esin2x |
−etg2x |
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||||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
5x +1 |
|
. |
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|
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|
6)lim |
|
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ln(2πx ) |
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||||||||||||||||||||||||||
x |
→3 x2 |
+ 2x − |
15 |
|
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x→π2 |
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|
4x−2 |
|
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1 |
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||||||
7)xlim→∞( |
x − |
7 |
) . |
|
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|
7)limx→0(2 − 3sin2 x ) |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
lncosx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + |
1 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x + 3 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
2ex−1 |
− |
|
|
3x−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
8) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
8)lim |
1 |
|
x−1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(3x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−∞ |
|
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|
x→1 |
( |
|
|
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|
7.1) lim |
sec2 x −2tgx |
. 3) lim x lnx. |
|
|||||
1+ cos4x |
|
|||||||
x→π4 |
x→+0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
tgx |
|
1 |
|
|
sinx |
|
|
|
|
x2 |
|
|
2)lim(ctgx) |
. |
4)lim |
|
|
|
|
. |
|
( x |
) |
|
||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1) α(x) = e3x5 − cos2 x3,β(x) = arcsinx,x → 0. 2) α(x) = ln(2x2 − 3x − 8),β(x) = x − 3,
x → 3.
3)α(x) = ln(1 + x3 sin3 x),β(x) = tgx,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = tgxx .
|
x + 2, |
x ≤ −2, |
||
|
|
|
|
|
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|
2 |
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|
2) |
|
, |
−2 < x ≤ 1, |
|
f(x) = x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
x > 1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3) f(x) = |
|
2x |
|
|
у точках x |
|
= 1,x |
|
= 2. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Знайти похідні функцій (10—13): |
|
|
|
|
||||||||||||||||
10.1) y = |
|
|
|
+ |
4 |
+ |
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|||||
|
x5 |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
−x + 4)2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
(x2 |
|
|
|
|
||||||||
2) y = |
|
− |
log3(4x −2) |
|
|
|
||||||||||||||
tgln2 −2x2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg2x |
|
|
|
|
|||
3) y = cos5 x arccos4x + |
|
sh5 x |
|
. |
|
|||||||||||||||
|
arccos4x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
4) y = lg(x −2) arcsin5 x − 3log2(5x −5 4). (x − 3)
5) y = sh4 5x arccos3x2 +(cosx)arcsin(3x−2).
|
|
|
|
6) y = (lnx)arctg5x − |
(x +1)2 x2 + 2x |
||
|
. |
||
(x + 3)7(x − 4)2 |
11.1) xy − 6 = cosy. 2) y3 − 3y + 4x = 0.
|
x |
|
|
|
|
|
x = t |
+ sint, |
|
y′ = ? |
|
x = sin2t, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
: 1) |
2) |
|
+ cost. |
||
|
= ? |
|
y = cos2 t. |
y = 2 |
||||
|
yxx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.1) y = (x + 7)ln(3x + 4),y(5) = ? |
||||||||
2) y = |
|
x |
|
,y(n) = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x + 5 |
|
|
|
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1)y = 3(3x −2x),x0 = 1.
2)x = 1−t3,y = t −t3,t0 = 2.
40
3) x = 2t −1,y = −3t + 2,z = t2 +1,
M0(9;−13;26).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 27(x3 |
−x2)− 4. |
|
|
|
4 |
1) y = x lnx,[e−2;1]. |
|||
|
||||
16.minmax f(x) = ? |
|
2x(2x + 3) |
||
[a,b] |
2) y = |
|
|
,[−2;1]. |
x2 |
+ 4x + 5 |
|||
17. Дослідити |
функцію |
і побудувати її |
графік:
1) y = 6x − 6 −93 |
|
|
|
|
|
|
|
. 5) y = |
x2 −11 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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4x |
− 3 |
|||||||||||
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|
6) y = (x −1)e3x+1. |
|||||||||||||||||||||||
2) y = 3 (x +1)(x −2)2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) y = (2x −1)e2(1−x). |
|
|
|
|
|
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|
|
7) y = |
x4 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x3 −1 |
||||||||||||
4) y = ln(−sinx − cosx). |
|
8) y = |
8(x −1) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
(x +1)2 |
||||||||||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 + 4x |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3 −x)5 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
|
||||
2)∫ |
|
|
|
|
14dx |
8)∫ cos(5x − 8)dx. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
. |
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||
2x2 −7 |
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
5xdx |
9)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
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|
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|
. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
. |
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
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|||||||||||||||
|
|
|
5x2 + 3 |
|
|
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|
2 − 3x2 |
|
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|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4)∫e2−5xdx. |
10)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 5)ln3(x + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
11)∫ sin3 5x cos5xdx. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x ctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
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|
arctg3 x |
|
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|
|||||||||||||
6)∫e5x |
−3xdx. |
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +10x +17)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
|
|
dx. 5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 + 2 |
(x2 + 8x +15)(x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
x3 − 3 |
6)∫ |
|
|
|
2x4 + x3 −x2 −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
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|
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|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
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x + 5 |
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x3 + x2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
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|
dx |
. 7)∫ |
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|
(2x2 + 7x + 7)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 −2x + 5 |
(x −1)(x2 + 2x + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
(2x −1)dx |
.8)∫ |
x3 + 2x2 + 4x −2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x2 −6x −9 |
|
|
|
|
|
|
x4 + 3x2 − 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ ctg4 2xdx. |
4)∫ sin4 2x cos2 2xdx. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin4 2xdx. |
5)∫ |
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|
dx |
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. |
|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2sin2 x + 3sinx cosx −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
sin2x |
6)∫ |
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|
dx |
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|
dx. |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos3 2x |
5 + 3cosx + 4sinx |
21.1)∫ |
|
|
5x −1 |
5)∫ |
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|
7x −2 |
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dx. |
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dx. |
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||||||
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||||||||
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|
x2 − 3 |
|
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x2 − 5x +1 |
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2) |
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dx |
|
. |
6) |
|
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dx |
. |
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||||||
∫ |
|
3x −2x2 |
∫ |
(x −1) x2 −x +1 |
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dx |
|
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||||||||||||
3) |
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. |
7) |
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xdx |
. |
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∫ x3 x2 −1 |
∫ |
1− 4 |
x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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3 |
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||||||
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3 |
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|
x |
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||||||||||||
4)∫ |
|
x dx |
|
. |
|
8)∫ |
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1 + |
dx. |
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||
x − 4 |
|
|
x9 x4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
22.1)∫ ln |
1−x |
4)∫ arcsin2xdx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ arctg |
x |
5)∫ (x + 4)cos3xdx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ x sin(x + 7)dx. |
6)∫(x2 + 3)sinxdx. |
|
23. Обчислити інтеграли:
eπ
1)∫ x ln2 xdx. |
4)∫ 28 sin2 x cos6 xdx. |
||||||||||
1 |
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|
|
π |
|
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2 |
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3 |
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|
4 |
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|
dx |
|
|
x2 − 4 |
|
|||||
2)∫ |
|
|
. |
5)∫ |
|
|
dx. |
||||
x |
4 |
|
|
|
x |
||||||
2 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
3x −2 |
0 |
|
1−ex |
|
|||
3)∫ |
|
|
dx. 6)∫ |
|
dx. |
||||||
x2 |
− 4x + 5 |
1 +ex |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
ln3 |
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|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
−1 |
7dx |
|
2 |
|
xdx |
|
|
1) |
. |
2) |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
−∞∫ |
(x2 − 4x)ln5 |
∫1 |
(x2 −1)3 |
ln2 |
25. Обчислити площі фігур, які обмежені |
||
кривими: |
|
|
1) y = sinx cos2 x,y = 0 (0 ≤ x ≤ π). |
||
|
|
2 |
|
3 |
t, |
x = 16cos |
|
|
|
|
x = 2 (x ≥ 2). |
2) |
|
y = 2sin3 t,
3) ρ = 4sin3ϕ,ρ = 2 (ρ ≥ 2).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = 5cosx,y = cosx,x = 0,x ≥ 0, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої ρ2 = 4cos2ϕ на- вколо полярної осі.
41
Варіант 20
1. Побудувати графіки функцій:
1)y = 2cos(2x + π4). 4) y = ctg(13x + 12π ).
2)y = 13arccos(x + 3). 5) y = 2x+2.
3) y = 21arctg(x + 2). 6) y = ln(2x + 3).
2. Знайти: |
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||||||||||||||||||
а) алгебричну форму |
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z1 |
+ 2z |
3 |
|
−i3; |
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z |
2 |
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|||||||
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|||
б) тригонометричну форму z3; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
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2 |
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|
|||
д), е) всі значення |
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3 |
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та 4 |
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|
, якщо: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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z |
1 |
|
|
z |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||
z1 = −3 + 3i,z2 = − |
|
|
|
−i,z3 = 3 − 2i. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
z +1−i |
|
|
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> 2, |
π |
|
|
< argz |
|
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≤ |
3π. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
4 |
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|
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
|
z + 5 |
|
> |
|
|
z + i |
|
, |
|
|
Imz |
|
< 1. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 + 2z2 −2z + 3 = 0. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти границі (4—7): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
|
(2n +1)!+(2n + 2)! |
. |
|
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|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
n→∞(2n + 3)!−(2n + 2)! |
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
|
n4 |
|
|
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|
|
+ |
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|
25n4 − 81 |
|
|
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|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
11n |
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|
. |
|
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||||||
n→∞(n − 7 |
|
) n |
2 −n + |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
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(n3 +1)(n2 |
+ 3) − |
|
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n(n |
4 + 2) |
|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|||||||||
n→∞ |
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|
|
n |
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|
|
|
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|
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||||||||||||
|
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|
3x2 − 3x − 4 |
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1 |
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|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
5.1)lim |
|
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|
.6.1)lim |
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|
− |
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|
. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|||||
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|
|
|
x→4 |
|
x −x −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin2x |
|
|
tg2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
x2 −x − 30 |
. |
|
|
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|
2)lim |
cos2x − cos4x |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x3 + |
125 |
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3x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−5 |
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x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
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3x2 − 4x + 2 |
. 3)lim |
sin(5(x + π)) |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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e3x −1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 6x2 + 5x +1 |
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x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
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3x2 + 4x −7 |
. 4)lim |
ln(9 −2x2) |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin2πx |
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x→∞ x4 −2x3 +1 |
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x→2 |
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5) lim |
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3x4 + 5x |
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. 5)lim |
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e2x −e−5x |
. |
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2sinx − tgx |
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x→−∞ 2x2 − 3x − 7 |
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x |
→0 |
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||||||||||||||||||||||||
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2 − x2 + 4 |
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− |
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|||||||||||||||||||||||||||||
6)lim |
. |
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|
6)lim |
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x + 2 |
2 |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x2 |
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sin3x |
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x→0 |
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x→0 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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( |
x + 2 |
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3−2x . |
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7)limx2 |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
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|
2 − cosx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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|
) |
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x→0 |
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8) lim |
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6x + 5 |
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. |
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8)lim(1 |
+ cos3x)secx. |
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|
(x −10) |
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x→∞ |
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x |
→π |
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2 |
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7.1) lim |
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3 + lnx |
. 3)lim |
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1 |
− |
1 |
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. |
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2 |
− 3lnsinx |
(x sinx |
x2 ) |
||||||||
x→+0 |
x→0 |
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||||||||
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1 |
4)lim(4x −1)x . |
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||||||
2) lim(lnx)x . |
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||||||||||
x→∞ |
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|
x→0 |
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8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 1+ x6 −1,β(x) = e6x −1,x → 0.
2)α(x) = x1 sinx1,β(x) = arctgx +1 1,x → ∞.
3)α(x) = lncos6x,β(x) = ex −1,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = arctgx x .
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x ≤ 1, |
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||||||||
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x, |
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||||||||||||
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||
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2 |
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|||
2) f(x) = (x −2) , 1 < x ≤ 3, |
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x > 3. |
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||||||||
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−x + 6, |
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||||||||||||||
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||
3) f(x) = 2 |
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3 |
у точках x |
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= −2,x |
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= −1. |
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x+2 |
1 |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|||
Знайти похідні функцій (10—13): |
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7 |
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e4x |
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||||||||
10.a)y = |
|
+ 3 x7 |
− |
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. |
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||||||||||||||
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||||||||||||||
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|
|
x4 |
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(3x + |
5)3 |
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|||||||||||||
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|
ln3(5x − 5) |
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||||||||||
2) y = 3 ctgcos5 − |
4x2 + |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg |
1 |
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||||||||||||||||||||||
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|||||
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x |
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3) y = sin3 7x arcctg5x2 − |
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ch3 x |
. |
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|
arctg5x |
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||||||||
4) y = log |
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|
x arctg5 |
7x + |
|
log |
(x2 |
+ x) |
|
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||||||||||||||||||||
|
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5 |
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|
. |
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|||||||||||||||
3 |
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|
7(x + 3)3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||
5) y = ch3 9x arctg3x −xarccos(3x−1). |
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|||||||||||||||
6) y = (lg2x)arcsinx |
− |
(x +1)2 3 (x −2)4 |
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|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −5)3(x +1)7 |
|||||||||||||||||||||||||||||
11.1) 3y = 7 + xy3. |
|
|
|
2) x3 + cos3 xy = 3. |
||||||||||||||||||||||||||
y′ = ? |
|
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|
x = e3t, |
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|
x = t − sint, |
|||||||||||||||||||
x |
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11. |
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||||
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: 1) |
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2) |
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||||||||||
yxx′′ |
= ? |
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y |
= |
3t +e3t. |
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y |
= 2 − cost. |
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14.1) y = (3x −7)3−x,y(5) = ? |
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2) y = |
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5x +1 |
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,y(n) = ? |
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13(2x + 3) |
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14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1
1) y = 3x + 2,x0 = 2.
42
2)x = ln(1+t2),y = t −arctgt,t0 = 1.
3)x = cost,y = sint,z = lncost,M0(1;0;0).
15. Знайти проміжки монотонності фун- |
|||
кції y = 1x(12 −x2). |
|||
8 |
1) y = x3ex+1,[−4;0]. |
||
|
|||
16.minmax f(x) = ? |
|
2(x3 + 2) |
|
[a,b] |
2) y = x2 + 2x + 5,[−5;1]. |
||
|
|
|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1) y = 3 |
x2 + 6x + 8. 5) y = x2 − 3x + 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x +1 |
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||||
2) y = |
2 |
x2 −9 |
. |
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6) y = 1−2x3 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 −1 |
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x2 |
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||||||||||||||
3) y = ln(x2 −2x + 6). 7) y = − |
e−(x+2) |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||
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||||
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sinx − cosx |
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|||||||||||||
4) y = |
|
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|
. |
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|
8) y = 3 (x − 3)x2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
|
dx |
|
|
. |
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|
7)∫ |
|
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|
dx |
. |
|
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||||||||||||||||||||
3 |
|
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6 − 3x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
dx |
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|
8)∫ cos(3x − 7)dx. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8x2 + 9 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
xdx |
. |
|
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9)∫ |
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|
dx |
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. |
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3x2 − 6 |
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8 − 3x2 |
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4)∫ |
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ln3(x −5) |
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10)∫ |
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cos5x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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dx. |
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dx. |
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x −5 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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sin3 5x |
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5)∫ |
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ctg4x |
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11)∫ |
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dx |
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dx. |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||
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sin2 4x |
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(1+ x2) |
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arctgx |
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6)∫e6x−4dx. |
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12)∫e5−2x2xdx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
1− 3x |
|
dx. |
5)∫ |
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6x2dx |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
4x2 −1 |
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(x2 + 3x + 2)(x −1) |
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x3 +1 |
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x3 − 4x2 + 2x −1 |
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2)∫ |
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dx. |
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6)∫ |
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dx. |
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x2 +1 |
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x3 −x2 |
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3)∫ |
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dx |
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. |
7)∫ |
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(x2 + 3x −6)dx |
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. |
|||||||||||||||||||||||
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2x2 − 3x −2 |
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(x +1)(x2 + 6x +13) |
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(2x −1)dx |
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4x2 −2 |
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4)∫ |
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. 8)∫ |
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dx. |
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|
3 + x −2x2 |
x4 −x2 |
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20.1)∫ ctg3 3xdx. |
4)∫ |
|
cos3 2xdx |
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. |
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3 |
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sin2 2x |
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2)∫ cos3(1−x)dx. |
5)∫ |
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sin2xdx |
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. |
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sin2 x + 4cos2 x |
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3)∫ cos3x cos5xdx. 6)∫ |
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2 + sinx |
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|
dx. |
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|
1+ cosx |
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21.1)∫ |
2x − 4 |
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5)∫ |
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x − 8 |
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dx. |
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dx. |
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16 −x2 |
4x2 + x − 5 |
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2) |
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dx |
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. |
6) |
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dx |
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. |
|||||||||||
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∫ 2x2 |
−x + |
3 |
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∫ |
(x −1) x2 + x − |
1 |
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(6 |
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+1)dx |
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9 −x2 |
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3)∫ |
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7)∫ |
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3x +1 |
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dx. |
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x4 |
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− 3 |
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3x +1 |
3x +1 |
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3 + 3 |
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||||||
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2 |
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|||||||||
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|
+ |
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4)∫ |
x |
4 |
dx. |
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8)∫ |
1 |
x |
dx. |
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x9 |
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|||||||||||||||||||||
x |
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x8 |
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x arcsin2x |
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22.1)∫ |
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dx.4)∫ (x2 −x +1)lnxdx. |
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|
1− 4x2 |
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2)∫ (x2 − 3)cosxdx. |
5)∫(x + 8)sin3xdx. |
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||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ x cos(x − 4)dx. |
6)∫ ln(x + 8)dx. |
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23. Обчислити інтеграли: |
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|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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x |
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π |
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4)∫ 24 cos8 xdx. |
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||||||||||||||||
1)∫ (x −2)e−3dx. |
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|
−3
0
xdx
2)∫ .
−1 x3 −1
π
2
3)∫ sin5 xdx.
0
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
dx |
|
5) |
|
. |
|
||
−∫1 (1−x2)23 |
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|
2 |
|
|
2 |
(x −1)2dx |
6)∫ x2 + 3x + 4.
−23
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
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1 |
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πdx |
|
3 |
dx |
||
1)∫ |
|
. 2)∫ |
|||
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. |
||
(1+ 9x2)arctg2 |
3x |
9x2 −9x + 2 |
|||
1 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
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25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = 4 −x2,y = 0,x = 0,x = 1.
x = 2cost, |
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y = 3 (y ≥ 3). |
2) |
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y = 6sint, |
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3) ρ = 2cosϕ,ρ = 23sinϕ, (0 ≤ ϕ ≤ π2 ).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = sin2 x,x = π2,y = 0, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої ρ = 6sinϕ навко- ло полярної осі.
43
Варіант 21
1.Побудувати графіки функцій:
1)y = −3sin(21x + π3).4)y = tg(14x − 24π ).
2)y = 2arcsin(x − 3). 5) y = 2x−2.
3)y = −arcctg(x −2). 6)y = −ln(3x −2).
2. Знайти: |
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||||||||||||||
а) алгебричну форму |
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z1 |
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+ 2z |
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−i9; |
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3 |
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z |
2 |
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|||||||
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||||
б) тригонометричну форму z3; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
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2 |
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||||||||||||||
д), е) всі значення 3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
1 |
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z |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||
z1 = −4 − 4i,z2 = 3 − 3 |
|
i,z3 = 2 +i. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2 < |
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z −1 |
|
< 3, |
|
π |
< argz < 3π. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z −i |
|
< |
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z + 2 |
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4 |
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> 2. |
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4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
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|
, |
|
Rez |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 + z2 + 3z −18 = 0. |
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Знайти границі (4—7): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
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1+ 2 +...+ n |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
n −n2 + 3 |
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− 3 8n3 |
+ 3 |
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||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
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n + 3 |
. |
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− 5 n5 |
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+ 5 |
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||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 4 |
n + 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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( |
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|
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|
) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
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n4 + 3n2 − |
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|
(n2 −1)(n2 −2) |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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|
|
|||||||||
5.1)lim |
2x2 − 9x +10 |
|
. 6.1)lim |
ln(1 + 4x |
3) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 + 3x −10 |
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→2 |
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x→0 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)lim |
x2 + 3x −28 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2)lim |
cos2 x − cos2 2x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x3 −64 |
|
|
|
|
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|
x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→4 |
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x→0 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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7x3 + 4x |
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1− |
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||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
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|
|
3)lim |
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|
cosx |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x sinx |
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||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x3 − 3x + 2 |
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|
|
x→0 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
|
|
|
|
8x5 − 4x3 + 3 |
.4)lim |
|
|
1−24−x2 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2( |
|
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||||||||||||||||||||||
x→−∞ 2x3 + x − 7 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x→2 |
|
|
2x −2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
−5x + 3 |
|
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|
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|
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
2 |
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|
|
x2+1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
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|
. |
|
|
|
|
5)lim(ln |
|
|
ex) |
|
|
. |
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 3x4 −2x2 + x |
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|
x |
→1 |
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45x −9−2x |
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|||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
|
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|
x |
2 + 4 −2 |
|
|
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. |
|
|
|
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|
6)lim |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
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x2 +16 − 4 |
|
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|
|
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|
|
|
x→0 sinx − tgx3 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
( |
|
2 − 3x |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
7)lim |
( |
6 − |
5 |
|
|
|
ctg2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
5 − 3x ) |
|
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x→0 |
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|
cosx ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3x + 7 4x |
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3x+2 |
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||||||||||||||||||
8) lim |
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. |
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8)lim(2ex−2 −1)x−2 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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( |
|
x + 4 ) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
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x |
→2 |
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|
x50 |
−50x + 49 |
|
|
6 |
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|
7.1)lim |
. 3) lim x1+2lnx . |
|
||||||
|
−100x + 99 |
|
||||||
x→0 x100 |
x→∞ |
πx |
||||||
2)lim(1−e2x −2x)ctgx. |
4)lim(1−x)cos |
|||||||
2 . |
||||||||
x→0 |
|
|
|
x→1 |
|
8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = ex9 − cos2x5,β(x) = arctgx,x → 0.
2)α(x) = x +1 − x,β(x) = x1+1, x → ∞.
3)α(x) = ln1 + x4 sin6 x,β(x) = tgx,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = |
|
2 |
. |
|
|
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|
−2x |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
|
x < |
, |
||
|
|
cosx, |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2) |
|
|
|
|
< x |
< 3, |
||
f(x) = 1, |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −5, |
x ≥ 3. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
3) f(x) = 4x−2 + 2 у точках x1 = 2,x2 = 3.
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = 3 |
|
|
+ |
4 |
+ |
|
ectg5x |
. |
|||||||
|
x |
||||||||||||||
|
x5 |
(3x − 5)4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
lg(x + 2) |
. |
||||||||
2) y = 4 5x |
2 − |
|
|
|
|
||||||||||
tg4 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
sin2x5 |
|
|
th2(x + 3) 3) y = ln(x + 9)arcctg3 2x2 + arcctgx .
4) y = 3 x − 4arcsin4 5x − log7(2x2 + 5). (x − 4)2
5) y = th4 x arcctgx1 +(cos(2x −1))arctgx1.
|
|
cth(x+3) |
|
(x + 4)3(x −2)4 |
|
||||||
6) y = (sin8x) |
|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x |
+1)2 |
3 (x −2)5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.1) y2 = x + ln |
y |
. 2) ex +y = ey + x. |
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= ? |
x |
= t |
3 lnt, |
|
x = cost, |
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
12. |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
: 1) |
|
|
|
|
2) |
|
= lnsint. |
|
||
yxx′′ |
= ? |
y |
= t |
2 lnt. |
y |
|
|||||
|
|
|
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13.1) y = (x2 − 3)ln(2x + 5),y(5) = ? 2) y = a2x+3,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
x
1) y = x2 +1,x0 = −2.
44
2)x = t(1− sint),y = t cost,t0 = 0.
3)x = 20t,y = 16t2,z = t3,M0 (10;4;18).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = |
|
1 |
x2 |
(x − 4)2. |
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16 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
1) y = x |
2 −2x + |
2 |
|
,[−1;3]. |
|||
16.max f(x) = ? |
x −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
min |
|
|
|
2) y = 3 |
|
2(x −1)2(x − 4),[0;4]. |
|||||
[a,b] |
|
|
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|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
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1) y = − |
|
33 6(x +1)2 |
. |
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|
5) y = x2 − 3x + 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x2 + 8x + 24 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2) y = |
x3 −2x2 |
− 3x + 2 |
. |
|
|
|
|
|
6) y = ln(1− |
|
1 |
). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
|
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|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) y = 3 (x −2)2 − 3 (x − 3)2.7) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
+ 2x − 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||
4). y = e− |
|
|
|
|
sinx. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
8) y = 2ln |
|
|
2 |
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
7)∫ sin(4 −2x)dx. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + x |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
dx |
|
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|
8)∫ |
|
|
|
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|
4xdx |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
. |
|
|
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. |
|
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||||||||||||||||
2 − 5x |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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4x2 + 3 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
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|
9)∫ |
|
|
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ln(2x −1) |
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. |
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dx. |
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7x2 − 4 |
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2x −1 |
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4) |
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dx |
. |
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10) |
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sinx |
dx. |
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∫ |
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5x2 +1 |
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∫ ecosx |
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5)∫e5x−7dx. |
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11)∫ cos7 2x sin2xdx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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6)∫ |
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tg5x |
dx. |
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12)∫ |
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dx |
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. |
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cos2 5x |
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(1 + x2)arctg3 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
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x −5 |
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5)∫ |
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6x4dx |
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dx. |
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3 −2x2 |
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(x2 −1)(x + 2) |
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2)∫ |
1−2x4 |
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6)∫ |
6x −2x2 −1 |
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dx. |
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dx. |
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x2 +1 |
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x3 −2x2 + x |
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3)∫ |
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dx |
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. 7)∫ |
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(4x2 + 38)dx |
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|
2x2 − 6x +11 |
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(x + 2)(x2 −2x +10) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
(x − 4)dx |
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. 8)∫ |
2x3 −2x − 5 |
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dx. |
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3x2 + x −2 |
x4 + 3x2 − 4 |
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20.1)∫ ctg4 xdx. |
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4)∫ |
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sin3 2x |
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dx. |
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3 |
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cos2 2x |
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2)∫ sin4 4xdx. |
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5)∫ |
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dx |
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7cos2 x +16sin2 x |
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3)∫ cos2x cos5xdx. 6)∫ |
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dx |
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3 + cosx + sinx |
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21.1)∫ |
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5 −x |
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dx. |
||||||
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|||||||
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3x2 +1 |
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2)∫ |
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dx |
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. |
|||||
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||
2 −x −2x2 |
||||||||||||
3)∫ |
|
|
dx |
|
. |
|||||||
x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x2 + 9 |
5)∫ 2 + 3x −x2 dx.
dx
6)∫ . (x −1) x2 −x −1
7)∫ xdx . x − 43x2
|
x3dx |
|
3 |
(1+ 3 |
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|
)2 |
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|||||||||
4)∫ |
8)∫ |
|
x |
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|
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. |
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dx. |
||
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x9 |
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|||||
|
x + 2 |
|
|
x5 |
|
||||||||||||||
22.1)∫ |
|
lnxdx. |
4)∫ |
arccosx |
dx. |
||||||||||||||
x |
|
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|||||||||||||
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|||||||||||||
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|
1 + x |
|||||||||||||||||
2)∫(x2 +1)e−xdx. |
5)∫ (x + 6)cos4xdx. |
||||||||||||||||||
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|
x |
|
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|
|||||
3)∫ x sin(x + 4)dx. |
6)∫ arctg |
|
dx. |
||||||||||||||||
5 |
23. Обчислити інтеграли:
22π
1)∫ (x −1)lnxdx. 4)∫ sin8 xdx;
10
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
3x2 + 2x − 3 |
|
|||||
2)∫ 3 −x2dx. |
5)∫ |
dx. |
||||||||||||
|
x3 −x |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
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|
2 |
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||
1 |
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ln5 |
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||
2 |
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|||
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|
dx |
ex ex −1 |
|
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|||||||
3)∫ |
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|
. 6)∫ |
dx. |
||||||||||
4x2 |
+ 4x + 5 |
|
ex + 3 |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
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|||
−2 |
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24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
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x2dx |
1 |
dx |
|||
1)∫0 |
|
2)∫1 |
|||||
|
|
|
. |
|
. |
||
3 |
|
|
20x2 − 9x +1 |
||||
(x3 + 8)4 |
|||||||
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4 |
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25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = x24 −x2,y = 0 (0 ≤ x ≤ 2).
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− sint), |
x = 2(t |
|
|
y ≥ 3 (0 < x < 4π). |
2) |
|
y = 2(1 |
− cost), |
3) ρ = sin3ϕ.
26.Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими x = 3y −2, x = 1,y = 1, навколо осі Ox.
27.Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої x = t − sint, y = 1− cost (0 ≤ t ≤ 2π) навколо осі Ox.
45
Варіант 22
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = −3cos(2x − π6). 4) y = ctg(21x + 23π).
2)y = 3arccos(x +1). 5) y = 5x+1.
3)y = −2arctg(x + 3).6) y = 2lg(2x − 4).
2. Знайти: |
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|||||||||||
а) алгебричну форму |
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z1 |
+ 2z |
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−i6; |
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3 |
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z |
2 |
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|||
б) тригонометричну форму z3; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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2 |
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||||||
д), е) всі значення |
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3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
1 |
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z |
2 |
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|||||
z1 = 5 −5i,z2 = 2 |
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+ 2i,z3 = −2 − 3i. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2 < |
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z +1 |
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< 4,π |
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< argz < π. |
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2 |
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||||||
2) |
|
z + i |
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> |
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z −2 |
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, |
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Imz |
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> 3. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 + 4z2 + 6z + 4 = 0. |
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Знайти границі (4—7): |
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n2 |
+ |
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−1 |
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|||||||||||||||||||
4.1) lim |
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|
n |
|
. |
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|||||||||||||
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n→∞ 2 |
+ 7 +... +(5n − 3) |
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||||||||||||||||
2) lim |
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3 n2 − |
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n2 + 5 |
. |
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||||||
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5 n |
7 − |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
|
|
|
|
(n5 +1)(n2 |
|
|
−1) −n |
|
n(n4 +1) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.1)lim |
4x2 + x − 5 |
. |
|
|
|
|
|
6.1)lim |
arcsin5x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x2 −x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)lim |
8x3 −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)lim |
arctg5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2x |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) lim |
|
|
|
|
|
1+ 4x −x4 |
|
|
|
.3)lim |
arcsin2x |
ln2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2−3x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ x + 3x2 + 2x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x2 |
−7x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
. 4)lim |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2x5 −x3 |
|
|
|
.5)lim |
|
|
e |
3x −e2x |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 3x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−∞ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin3x − tg2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6)lim |
|
cosx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→0 |
|
|
|
|
5 |
−x − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1− cos |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7)xlim→∞( |
1−x |
)3x−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7)limx→0( |
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − |
sin2 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) lim |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8)lim |
|
ln(2 + cosx) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(4x |
+ 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π (3sinx − |
|
|
|
|
|
7.1)lim |
lnx −x +1 |
. |
3) lim x2e−0,01x. |
||
|
|||||
x→1 |
xx −1 |
x→∞ |
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
2) lim (1−ex )x . |
4)lim(arcsinx)2+lnx . |
||||
x→∞ |
|
|
x→0 |
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 1 + x sin4 x −1,β(x) = ln(1+ x), x → 0.
2) α(x) = |
x +1 |
|
,β(x) = |
1 |
,x → ∞. |
|
|
|
|
||||
x4 +1 |
|
x |
|
3) α(x) = 2x sin3 x,β(x) = ex −1,x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|||
cosx |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
−x, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
, |
|
0 < x ≤ 2, |
|
|
|
|||
f(x) = x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
x + 4, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f(x) = 3 |
2 |
|
|
−2 |
|
|
= −1,x |
|
= 0. |
||
x+1 |
|
у точках x |
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = |
|
|
|
− |
4 |
− |
|
(2x − 3)7 |
. |
|
|
||||
x3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
|
|
−2x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
e |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
tg3 7x |
|
|
|||||||
2) y = 5 cosln13 + x2 |
+ |
. |
|||||||||||||
|
ln(3x + 2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) y = cos 5 |
|
arctgx |
4 − arcsin2 3x . |
||||||||||||
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch(x − 5) |
2ln(3x −10) 4) y = lg(x + 2)arcsin2 3x + (x + 5)7 .
5) y = cth3 4x arcsin(3x +1)−(tg3x4)x .
th(x−7) |
|
|
(x −1)6(x + 2)3 |
|||
6) y = (cos4x) |
+ |
|
|
|
|
. |
(x +1)2 |
|
|
||||
|
|
5 (x + 3)2 |
11.1) xy2 −y3 = 4x −5. 2) tgxy = ex +ey.
|
y′ |
= ? |
x = arccost, |
|
x = cost +t sint, |
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
′′ |
|
: 1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
|
2 |
. |
y = sint −t cost. |
|||
|
yxx = ? |
y = |
1−t |
|
|
x
13.1)y = e2 sin2x,y(5) = ?
2) y = sin(3x +1)+ cos5x,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
1) y = |
x2 |
− 3x + 3 |
,x |
|
= 3. |
|
3 |
0 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
46
2) x = 1 +t3 |
,y = |
|
t |
|
,t |
|
= 2. |
|
−1 |
|
|||||
t2 −1 |
t2 |
|
0 |
|
3) x = a cost,y = a sint,z = a lncost,
M0(a;0;0).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 27 |
(x3 |
+ x2)− 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y = (x +1) |
3 |
|
|
− |
4 |
|
||||
|
|
2 |
;3 |
|||||||||
|
|
|
x |
, |
|
. |
||||||
16.max f(x) = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
min |
|
2) y = x |
2 |
−2x |
+ |
|
16 |
,[2;5]. |
||||
[a,b] |
|
|
||||||||||
|
|
x −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1) y = x2 |
+ 2x − |
1. |
5) y = |
|
x5 |
. |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 −1 |
|
x |
4 −1 |
|
|||||
2) y = 3 |
|
|
. |
6) y = x3ex+1. |
|
||||||
4x(x −1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
3) y = 3 |
(x + 2)(x − 4)2.7) y = |
|
. |
||||||||
|
+ 2x −x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
4) y = 3 |
|
. |
8) y = −(x +1)ex+2. |
||||||||
cosx |
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
7)∫ cos(7x +1)dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1−7x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln5(x − 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2)∫ 3 5 −2xdx. |
8)∫ |
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
3 |
tg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
9)∫ |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4x2 + 3 |
cos2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
10)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos7x sin7xdx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫ |
|
5xdx |
11)∫ |
|
|
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|
arccos7 x |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−x2 |
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6)∫e2−6xdx. |
12)∫ |
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|
x5dx |
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x6 −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
2x −1 |
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
(2x2 −26)dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
3x2 + 5 |
(x + 5)(x2 + 4x + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
2x3 − 3 |
6)∫ |
|
|
|
2x3 + 2x2 + 4x + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
x3 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 − 3x + 2 |
(x +1)(x2 + 6x +13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(3x +1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
3x − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 − 4x −5 |
(x −1)2(x2 + 4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg3 |
x |
dx. |
4)∫ sin4 x cos3 xdx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2)∫ cos2 |
|
dx. |
5)∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
2cos2 x + 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ sin2 2x cosxdx.6)∫ |
6sinx + cosx |
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 3x |
|
|
|
|
x − 6 |
|
|
|
||||||||||||
21.1)∫ |
|
|
|
|
|
dx. 5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x2 +1 |
|
|
3 −2x −x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
. 6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 + 3x −1 |
1+ x −x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 |
|
|
+1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|||||||
3)∫ x2 1−x2dx. 7)∫ |
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 6 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx
4)∫ (x +1)x + 4.
ln(sinx) cos2 x dx.
2)∫(x2 −1)exdx.
3)∫ x cos(x + 9)dx.
8)∫ |
3 |
(1+ 3 |
|
x2 |
)2 |
dx. |
|
|
x2 9 |
|
|
|
|||
|
x |
4)∫ x2 arctgxdx. 5)∫ (x −6)sinx2dx. 6)∫ ln(x +12)dx.
23. Обчислити інтеграли:
02π
1) ∫ xe−2xdx. |
4)∫ sin6 |
x |
x |
|||||||
|
cos2 |
|
dx. |
|||||||
4 |
4 |
|||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) ∫ |
. |
5)∫ x2 |
9 −x2 |
dx. |
||||||
(x −1)3 |
||||||||||
1 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12ln2
3) ∫1 |
|
dx |
|
. 6)ln2∫ |
dx |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
ex −1 |
|||
8 + 2x −x2 |
||||||
−2 |
|
|
|
|
|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
|
xdx |
1 |
ln2 |
|||||
1)∫0 |
|
2)∫1 |
|||||||
|
|
|
. |
|
dx. |
||||
4 |
|
|
(1−x)ln2(1−x) |
||||||
(16 + x2)5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = cosx sin2 x,y = 0 (0 ≤ x ≤ π). |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
3 |
t, |
||||
x = 16cos |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 6 3 (x ≥ 6 3). |
|||||
2) |
|
|
|||||
|
y = sin3 t, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ρ = 6sin3ϕ,ρ = 3 (ρ ≥ 3).
26.Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = xex,y = 0,x = 1, навколо осі Ox.
27.Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої ρ = 2sinϕ навко-
ло полярної осі.
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