- •Методичні вказівки
- •Міністерство освіти і наукИ
- •Методичні вказівки
- •Передмова
- •Вимоги до оформлення результатів
- •Комп’ютерний практикум 1
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Розв’язок завдання №1
- •Розв’язок завдання №2
- •Розв’язок завдання №3
- •Контрольні завдання і питання
- •Комп’ютерний практикум 2
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклад розв’язку завдання 2.1.
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 3
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 3.1.0
- •Контрольні питання і задачі
- •Комп’ютерний практикум 4
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Завдання 1
- •Метод дотичних
- •Метод поділу
- •Метод послідовних наближень
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 5
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •5.1. Знайти з точністю всі корені системи нелинійних рівнянь
- •Приклади розв’язання заданих задач Розв’язок завдання №1
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 6
- •Загальні положення
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Завдання 1
- •Завдання 2
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 7
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 8
- •Теоретичні відомості
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 9
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 9.1.0
- •Контрольні питання
- •Список Літератури
Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 9.1.0
Задача Коші: y’(t)=2ty, t0=0, T=1, y(0)=1.
Вихідні дані:
Права частина:
Початкове значення:
Кінці відрізка:
Крок сітки:
Число вузлів сітки:
Функція, що реалізує явний метод Ейлера; повертає вектор розв'язку:
Вхідні параметри:
f - функція правої частини;
y0 - початкове значення;
t0 - початкова крапка відрізка;
h - крок сітки;
N - число вузлів сітки.
Обчислення розв'язку по методу Ейлера:
Обчислення розв'язку по методу Рунге- Кутти 4 порядку точності:
вхідні параметри:
y - вектор початкових значень;
t0- початкова крапка відрізка;
T - кінцева крапка відрізка;
N - число вузлів сітки;
f - функція правої частини. Функція rkfіxed повертає матрицю, перший стовпець якої містить вузли сітки, а другий - наближений розв'язок у цих вузлах.
Точний розв'язок:
Точний розв'язок у вузлах сітки:
Розв'язок по метод Ейлера Розв'язок по метод Рунге- Кутти Точний розв'язок
Графіки наближених і точного розв'язків
Обчислення похибки за правилом Рунге:
Обчислення наближених розв'язків із кроком h/2:
Обчислення похибок:
Фрагмент розв’язку задачі 9.2.0
Вихідні дані:
Крок сітки:
Число вузлів сітки:
Формування вектора правої частини системи ЗДР і вектора початкових умов для застосування вбудованої функції rkfіxed:
Графік розв'язку
Правило Рунге практичної оцінки похибки (правило подвійного перерахування):
, где , i=1, … , N, p – порядок методу, а обчислення ведуться у вузлах сітки .
Уточнений розв'язок обраховується по формулі:, i=1,…, N.
Розрахункові формули методів РОЗВ’ЯЗКУ задачі Коші для ЗДР 1 порядку:
Метод розкладання по формулі Тейлора 2 Порядку: |
Модифікований метод Ейлера 2 порядку: |
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку I: , , ,
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку II: , , ,
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку III: , , ,
|
Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку:
|
Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку:
|
Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку:
|
Сведение ЗДР 3 порядку к системе ЗДР 1 порядку (для задачі 4):
, ,.
Умова стійкості явного методу Ейлера для системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами :
, где , i=1, …, n, – власні числа матриці M порядку n.
Контрольні питання
1. Постановка задачі Коші. Дискретне завдання Коші: основні поняття й визначення (сітка, сеточние функції, численний метод, апроксимація, збіжність).
2. Методи рядів Тейлора розв'язку задачі Коші.
3. Численні методи розв'язку задачі Коші : вивод формули методу Ейлера, його геометрична інтерпретація, стійкість, оцінка похибки, вплив обчислювальної похибки.
4. Модифікації методу Ейлера другого порядку точності: вивід розрахуваних формул, геометрична інтерпретація методів. Оцінка похибки.
5. Методи Рунге- Кутті. Вивід формул. Оцінка похибки.
6. Явние одношаговие методи. Локальна й глобальна похибки. Оцінка похибки за правилом Рунге. Організація программи з автоматичним вибором кроку.
7. Розв'язок задачі Коші для систем дифференциальних рівнянь. Завдання Коші для рівняння m- го порядку.
8. Апроксимація, стійкість і збіжність численних методів розв'язку задачі Коші.
9. Неявний метод Ейлера.
10. Многошаговие методи. Вивод формул явного методу Адамса- Башфорта. Многошаговие методи. Вивод формул неявного метода Адамса-Моултона.
11. Тверді задачі й методи їх розв'язку.
12. Застосовуючи метод Ейлера , знайти розв'язок задачі Коші , у три послідовних точках:.
13. Для задачі Коші один крок довжини 0.1 за методом Ейлера-Коші і оцінити похибку знайденого значення за правилом Рунге.
14. Методом Рунге- Кутти 2 порядку точності знайти розв'язок системи дифференциальних рівнянь у дві послідовних точках , .
15. Оцінити похибку апроксимації похідній різністним відношенням .
16. Звести рівняння 2 порядку до системи рівнянь 1 порядку й скласти розрахункові формули методу прогнозу й корекції для розв'язку отриманої системи рівнянь. , .
17. З'ясувати, чи апроксимують методи a) b) перше рівняння задачі Коші (*)
19. Вивести формулу методу рядів Тейлора другого порядку точності для розв'язання задачі Коші .
20. Вивести формули методу Рунге- Кутті першого порядку точності для розв'язання задачі Коші.
21. Для неявного методу Ейлера для розв'язання задачі Коші записати розрахункові формули методу Ньютона.