- •Методичні вказівки
- •Міністерство освіти і наукИ
- •Методичні вказівки
- •Передмова
- •Вимоги до оформлення результатів
- •Комп’ютерний практикум 1
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Розв’язок завдання №1
- •Розв’язок завдання №2
- •Розв’язок завдання №3
- •Контрольні завдання і питання
- •Комп’ютерний практикум 2
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклад розв’язку завдання 2.1.
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 3
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 3.1.0
- •Контрольні питання і задачі
- •Комп’ютерний практикум 4
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Завдання 1
- •Метод дотичних
- •Метод поділу
- •Метод послідовних наближень
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 5
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •5.1. Знайти з точністю всі корені системи нелинійних рівнянь
- •Приклади розв’язання заданих задач Розв’язок завдання №1
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 6
- •Загальні положення
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Завдання 1
- •Завдання 2
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 7
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 8
- •Теоретичні відомості
- •Контрольні питання
- •Комп’ютерний практикум 9
- •Теоретичні відомості
- •Робоче завдання
- •Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 9.1.0
- •Контрольні питання
- •Список Літератури
Контрольні питання
Найпростіші квадратурні формули (формули правих, лівих, центральних прямокутників, формула Трапецій, формула Сімпсона), геометрична ілюстрація, оцінки похибки. Точність квадратурних формул.
Квадратурні формули інтерполяційного типу: вивід формул, оцінки похибки.
Квадратурні формули Гаусса: вивід формул, точність формул.
Правило Рунге практичної оцінки похибки. Адаптивні процедури чисельного інтегрування.
Обчислити наближенно з кроком h=1 інтеграл по формулі: a) правих прямокутників, b) лівих прямокутників, c) центральних прямокутників, d) Трапецій, e) Сімпсона. Оцінити похибку на основі теоретичної оцінки похибки.
Впевнитись в тому, що формула центральних прямокутників точна для многочленів , а формула Сімпсона – для многочленів .
Оцінити теоретичне значення кроку інтегрування h для наближенного обчислення інтегралу по формулі Трапецій з точностю .
Оцінити теоретично значення кроку інтегрировання h для наближенного обчислення інтегралу по формулі Сімпсона з точностю .
Отримати квадратурні формули центральних прямокутників і Трапецій із загальної формули інтерполяційного типу.
Впевнитися в тому, що квадратурна формула Гаусса з одним вузлом точна для многочленів .
Обчислити наближено інтеграл по формулам Трапецій і Сімпсона з точністю , використовуючи правило Рунге практичної оцінки похибки.
Знайти оцінку похибки Обчислення інтегралу по составній формулі
Оцінити мінимальне число разиттів відрізка інтегрирування N для наближеного обчислення інтегралу по составній формулі Трапецій, яке забезпечує точність .
Побудувати квадратурні формули Чебишева на відрізку [-1,1] для обчислення для n=2,3,4.
Комп’ютерний практикум 9
Тема: Чисельний розв’язок задачі Коші.
Мета роботи: Оволодіти необхідними навичками для розв’язання задачі Коші різними методами. Оцінити похибки розв’язків однокрокових і багатокрокових методів.
Теоретичні відомості
Правило Рунге практичної оцінки похибки (правило подвійного перерахування):
, де , i=1, … , N, p – порядок методу, а обчислення ведуться у вузлах сітки .
Уточнений розв'язок обчислюється по формулі:, i=1,…, N.
Постановка задачи. Знайти приблизні значення розвязку звичайного диференціального рівняння (ЗДР) навідрізку з кроком з начальною умовою
Розрахункові формули методів розв'язку задачі Коші для ЗДР 1 порядку:
Метод розкладання по формулі Тейлора 2 порядку:
|
Модифікований метод Ейлера 2 порядку: |
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку I: , , ,
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку II: , , ,
|
Метод Рунге-Кутти 3 порядку III: , , ,
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
,
|
Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку:
|
Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку:
|
Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку:
|
Зведення ЗДР 3 порядку до системи ЗДР 1 порядку (для задачі 4):
, ,.
Умова стійкості явного методу Ейлера для системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами :
, где , i=1, …, n, – власні числа матриці M порядку n.