РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа
51(07) Д-436
В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина, А.А. Эбель
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Сборник задач
Часть 1
Челябинск Издательство ЮУрГУ
2005
Типовой расчет №1 Матрицы и системы линейных уравнений.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
1 |
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
−1 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
1 |
−8 −1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
1 0 |
−5 |
|
3 0 |
1 −2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C =((A |
) |
B −2B) ; |
A = |
2 1 |
8 |
; |
2 5 |
0 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
B = |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 4 |
3 |
|
|
|
−1 0 |
−2 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решите систему методом Крамера:
2x +6y +5z =1,5x +3y −2z = 0,
7x +4y −3z = 2. 4. Решите матричное уравнение
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
10 |
0 |
|
||
|
|
2 1 0 |
|
|
8 |
−2 |
|
||||
|
|
X = |
|
. |
|||||||
|
|
−1 1 0 |
|
|
−1 4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
||||||
|
x1 −3x2 +4x3 −x4 =1, |
|
|||||||||
|
|
|
+3x2 |
−5x3 |
+5x4 |
=10, |
|||||
|
7x1 |
||||||||||
|
|
|
+2x2 |
−3x3 |
+2x4 |
=3. |
|||||
|
2x1 |
||||||||||
cG |
6. Проверьте, что векторы образуют базис: a (2; 0; 3), bG(0; −2; 1), |
||||||||||
(1; 4; 0). Вектор dG составляет с осью OX угол 450, с осью OY угол |
|||||||||||
1200, с осью OZ острый угол; |
|
d |
|
|
|
|
|
G |
|||
|
= 2. Какой угол вектор d образует с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит
отрезок AB в отношении 1: 2 |
, а точка E делит отрезок BC в отношении |
||||||||||||
JJJG |
G |
JJJG |
G |
|
|
|
|
JJG |
|
|
JJG |
|
|
3:1. Пусть AB =a |
, BC = b. Найдите векторы DF и AF. |
G G |
|||||||||||
8. Пусть |
G |
G |
G |
|
G |
G |
a |
|
=3, |
|
b |
|
|
p = |
2a |
−b, |
q |
= a |
+3b , |
|
|
= 2, (a; b)=1200 . |
Найдите косинус угла между векторами p и q .
|
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||
ортогонален векторам aG(1; 0; 2) и b(2; 1; 1), а его проекция на вектор |
|||||
cG |
(1; −2; 2) равна 10. |
JJG |
JJG |
JJJG |
|
|
10. |
В тетраэдре ABCD |
|||
|
AB(3; 0; 2), |
AC(1; −5; 0), |
AD(0; 3; −2). |
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины A на грань BCD.
11. Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного треугольника ABC соответственно 3x −y −4 =0 и x −2y −8 =0. Точка
D(−1; 3) лежит на боковой стороне. Запишите уравнение третьей
стороны.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(1; −1; 0) и две скрещивающие прямые:
l : |
x −1 |
= |
y |
= |
z +2 |
, |
l |
|
: |
x +1 |
|
= |
y −2 |
= |
z |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
1 |
0 |
|
−2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
−3 1 |
||||||
13. В параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: |
|
A(1; 2; 3), B(2; 3; 4), |
C(1; 0; 1), A1 (2; 4; 6). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(3; 2) и прямой y = −4. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую. |
|
|
||||
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
||
y =3 − |
1 |
4x −x2 , |
изобразите ее на координатной плоскости, найдите |
|||
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
координаты фокусов этой кривой.
В а р и а н т 2
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
−3 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C =(2A |
T |
B −BA) |
T |
; |
A |
|
2 |
0 0 |
|
|
; |
|||||
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
−5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решите систему методом Крамера:
3x +2y +3z = −2,−4x −3y −5z =1,
5x + y −z =3. 4. Решите матричное уравнение
−1 |
0 |
3 |
|
−13 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|||
X |
1 |
2 |
0 |
|
= |
39 |
13 |
|
3 |
1 |
|
|
|
||
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
−4 |
|
|
−7 |
0 |
−8 |
|
B = |
. |
|||
|
9 |
−5 |
−3 |
|
|
|
260 .
5. Решите систему методом Гаусса:
|
|
|
|
4x1 +2x2 + x3 = 7, |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x1 −x2 + x3 = −2, |
|||
|
|
|
|
|
+3x2 −3x3 =11, |
||
|
|
|
|
2x1 |
|||
|
|
|
|
|
+ x2 −x3 = 7. |
||
|
|
|
|
4x1 |
|||
cG |
6. Проверьте, что векторы |
образуют базис: a (1; 1; 1), bG(1; 1; 2), |
|||||
(1; 2; 3). Вектор dG |
составляет с осью OX тупой угол, с осью OY угол |
||||||
|
0 |
0 |
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|||||
135 , с осью OZ угол 60 ; |
|
d |
|
= 4. Какой угол вектор d образует с осью |
|||
|
|
G |
|
|
|
|
G G |
|
|
|
|
|
|
OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .
7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка |
||||||||||||||
F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF. |
||||||||||||||
Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит отрезок CD |
||||||||||||||
в отношении 1: 2. Пусть |
JJJG |
G |
JJG G |
|
|
JJJG |
JJG |
|||||||
AB =a , |
AD = b . Найдите векторы AG и BG. |
|||||||||||||
G |
G |
G |
G |
G |
G |
, |
|
a |
|
=1, |
|
b |
G |
|
8. Пусть p |
= a |
+b, q = a |
+3b |
|
|
|
= 2, (a; b)= 600 . Найдите |
|||||||
проекцию вектора |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на вектор p . |
|
|
|
|
||||||||||
2p |
−q |
|
|
|
|
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||||
ортогонален |
векторам aG(1; 2; −1) и b(−1; 2; 2), |
образует с |
вектором |
||||
cG(3; 2; 1) острый угол, а модуль вектора x равен |
53 . |
JJG |
|
||||
10. В тетраэдре |
SPKT |
JG |
JJG |
|
|
||
TS(−1; 2; 0), |
TK (2; 0; −4), |
TP(0; 2; −3). |
|||||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины T на |
|||||||
грань SPK. |
|
|
|
|
|
|
|
11. В прямоугольнике |
ABCD отношение сторон |
AB: BC =1: 2. |
|||||
Уравнение |
прямой |
AB |
3x −y +7 =0, |
точка |
Q(4; −1) |
– точка |
пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0; 1; −2) и две скрещивающие прямые:
|
|
x +2 |
|
y −1 |
|
z |
|
|
x = t +2, |
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||
l1 |
: |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
l2 |
: y = −y |
−4, |
|
−3 |
|
0 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −2t |
|
13. В параллелепипеде |
|
ABCDA1B1C1D1: |
A(2; 0; 3), B(1; 1; −1), |
C(2; 3; 1), A1 (3; 2; 1). Найдите расстояние между прямыми BD и AB1.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(−3; −1) и прямой y =3. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую. |
|
|||||
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
||
x = 2 − |
1 |
y2 −2y +5 , |
изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
|
В а р и а н т |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
1 |
2 −1 3 |
|
1 |
−3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
5 |
−1 |
−4 |
|
|
|
2 |
−4 |
|
||
|
C = 2BBT −AT ; A = |
|
; |
B = |
. |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
−3 −5 7 |
|
|
|
8 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
8 |
2 1 −2 |
|
|
|
0 |
−1 |
|
||||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x +3y +z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+9y +5z = −3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+4y +3z =5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
||||
|
|
2 −1 1 1 |
|
−8 3 |
||||
|
|
|
X |
= |
. |
|||
|
|
0 2 |
0 5 |
|
4 2 |
|||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
||||||
|
|
x1 −x3 + x4 =3, |
|
|||||
|
|
|
+3x2 −x |
3 −x |
4 = 2, |
|||
|
|
2x1 |
||||||
|
|
|
−3x4 = −6, |
|
||||
|
|
5x1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 + x3 + x4 = 2. |
||||||
cG |
6. |
Проверьте, что векторы образуют |
базис: a (5; 4; 3), bG(3; 3; 2) |
|||||
(8; 1; 4). Вектор dG составляет с осью OX угол 1200, с осью OY угол |
||||||||
1350, с осью OZ острый угол; |
|
d |
|
|
G |
|||
|
= 6. Какой угол вектор d образует с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне |
||||||||||||
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит |
||||||||||||
отрезок AB в отношении 2:1, а точка E делит отрезок BC в отношении |
||||||||||||
JJJG |
G |
JJJG |
G |
|
|
|
JG |
|
|
|
||
3: 2 . Пусть AB |
=a |
, AC = b . Найдите вектор BF . |
|
|
G G |
|||||||
8. Пусть |
G |
G |
G |
G |
G |
a |
|
=3, |
|
b |
||
p = |
2a |
−b, |
q = a |
+3b , |
|
|
= 2, (a; b)=1200 . |
НайдитеG G длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах p и q .
9. |
Найдите координаты вектора x (x; −1; x), если проекция вектора |
||||
xG×aG |
(1; 2; 1) на вектор bG(2; 6; 3) равна 1. |
JJG |
|
JJJG |
|
|
|
JJG |
|
||
10. В тетраэдре ABCD BA(−2; 4; −6), |
BC(0; −1; 2), |
BD(4; 0; −2). |
|||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины B на |
|||||
грань ACD. |
|
|
AC : y +1 =0, |
||
11. В |
∆ABC известны: вершина B(2; 3), |
сторона |
|||
высота |
CH : x + y −5 =0. Найдите уравнение |
средней |
линии ∆ABC , |
параллельной стороне AB.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0; −3; 4) и две скрещивающие прямые:
l : |
x −4 |
= |
y +1 |
= |
z −2 |
, |
l |
|
: |
x |
= |
y +5 |
= |
z |
. |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
3 |
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
|
||||||
13. В параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: |
A(3; 2; 1), B(1; 1; 1), |
C(2; −1; 1), A1 (2; 2; 3). Найдите расстояние между прямыми AC и A1B.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(2; 1) и прямой y = −3. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую. |
|
|||||
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
||
y =1− |
3 |
8x −x2 −12 , |
изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
0 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
−2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
C =(2ATA +7B) |
T |
; A = |
2 0 −4 −3 |
|
1 −1 0 −4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−1 4 7 |
|
; B = |
0 4 |
−2 3 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
−6 |
9 |
|
|
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +2y +3z = 4, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y −2z =9, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+4y +5z =5. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 1 1 1 4 13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 2 0 3 4 |
−2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2x1 −x2 + x3 −x4 =1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
−x2 |
−3x4 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−x3 |
+ x4 = −3, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+2x2 −2x3 +5x4 |
= −6. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2x1 |
|
|
bG(2; −2; 1), |
|||||||||||||||
cG |
6. |
Проверьте, что векторы образуют базис: a (4; −3; 2), |
||||||||||||||||||||
(2; −1; 0). Вектор dG |
составляет с осью OX угол 1350, с осью OY тупой |
|||||||||||||||||||||
угол, с осью OZ угол 120D ; |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|||||
|
=8. Какой угол вектор d образует с осью |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
OY? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка |
|||||||||||||
F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF. |
||||||||||||||
Точка E делит отрезок BC в отношении 2:1, а точка F делит отрезок CD |
||||||||||||||
в отношении 2 : 3. Пусть |
JJJG |
G |
JJG |
|
|
G |
JJJG |
|||||||
AB =a |
, AD = b . Найдите вектор |
DG . |
||||||||||||
8. |
G |
G |
G |
G |
G |
G |
a |
|
= 2 , |
|
b |
|
=1 и векторы p и q |
|
Пусть p = |
2a |
+4b , |
q |
= a |
−b, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q . |
|
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
||||||||
ортогонален векторам aG(2; 1; −2) |
и b(0; 1; 2), |
а его проекция на вектор |
||||||
cG(2; 3; 6) равна 8. |
|
JJG |
|
JJG |
|
JJJG |
|
|
10. В тетраэдре |
OPNK |
|
|
(0; −6; 5). |
||||
OP(4; 0; 3), |
ON(−1; 5; 0), |
OK |
||||||
Найдите тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины O на грань |
||||||||
PNK. |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Высота |
и |
медиана, |
проходящие |
через разные |
вершины |
|||
треугольника |
ABC, лежат |
на |
прямых, |
заданных |
уравнениями |
соответственно x −3y +5 =0 и x + y −9 =0. Найдите уравнения сторон
AB и AC, если B(5; 10). |
|
|
|
|
|
|||||
12. |
Составьте |
уравнение |
прямой, |
проходящей через точку |
||||||
A(2; 0; −1) и две скрещивающие прямые: |
|
|
||||||||
|
|
x |
|
y −2 |
|
z −2 |
|
|
x = −3t +2, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||
|
l1 : |
|
|
= |
|
= |
|
l2 |
: y = t, |
|
|
−1 |
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −1. |
13. |
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: |
A(−1; 2; 1), B(−2; 1; 2), |
C(1; 2; 3), A1 (1; 3; 4). Найдите расстояние между прямыми BD и B1C.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(−2; 5) и прямой y =1. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую. |
|
|
||||
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
||
x = −1+ |
1 |
y2 +4y , изобразите ее на координатной плоскости, найдите |
||||
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
координаты фокусов этой кривой.
|
|
|
|
В а р и а н т |
5 |
|
|
|||||||
1. Вычислите определитель |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
2. Найдите матрицу C: |
|
2 |
3 |
−1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C = (A |
T |
+B)(2B |
T |
|
|
|
|
2 |
5 |
−4 |
|
; |
||
|
|
−A); A = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решите систему методом Крамера:
5x +2y +3z = 25,x +2y = 25,
3x +4y +7z = 25.
−1 |
0 |
5 |
|
|
|
0 |
1 |
−3 |
|
B = |
. |
|||
|
2 |
−2 |
−4 |
|
|
|
4. Решите матричное уравнение
|
−5 |
0 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
2 |
5 |
|
123). |
|
|||
|
X |
=(−41 82 |
|
|||||||
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|||||||
|
|
|
x1 +2x2 +3x3 = 6, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 +3x2 +4x3 =9, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 +4x2 +5x3 =12, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−x2 −x3 = −1. |
|
|
|||
|
|
|
x1 |
|
a (2; −3; 1), |
bG(3; −3; 1), |
||||
cG |
6. Проверьте, что векторы образуют базис: |
|||||||||
(2; −1; 2). Вектор dG составляет с осью OX угол 60D, с осью OY угол |
||||||||||
135D, с осью OZ тупой угол; |
|
d |
|
= |
|
G |
образует с |
|||
|
|
10. Какой угол вектор d |
||||||||
осью OZ? Разложите вектор d |
|
|
|
|
G G |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
по базису a, b, c . |
|
|