РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении 2 : 3, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

JJJG

G

JJG

JG

1: 2. Пусть AB

=a ,

BC = b . Найдите векторы AF и FC.

8.

G

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

=1 и

G

= 13 . Найдите

Пусть p

= 2a

+b ,

q

= a

+3b ,

p

G

модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x (x; 3x; 1), если проекция вектора

xG×aG

(−1; 1; 1) на вектор bG

(−2; 1; 2) равна 2.

10.

В тетраэдре KLFE K (0; 0; −4), L(0; 3; −9), F(1; 3; −6), вершина

E лежит на оси OX, высота тетраэдра, опущенная из вершины E, равна

30

. Найдите координаты вершины E и объем тетраэдра.

115

В ∆ABC известны: вершина B(1; 1), сторона AC: x +3y +6 =0,

11.

высота CH : 2x −y −3 =0. Найдите уравнение средней линии

∆ABC ,

параллельной стороне AB.

12.

Напишите

уравнение

прямой,

симметричной данной

прямой

x = 2t +4,

l : y = t −1, относительно плоскости −4x +2y +z −5 =0.

z = −t +2

ABCDA1B1C1D1: A(−1; 1; 2), B(−2; 2; 1),

13.

В параллелепипеде

C(1; 3; 2), A1 (1;4;3). Найдите расстояние между прямыми AC и A1B.

14.

Составьте

уравнение

кривой,

отношение расстояний

точек

В а р и а н т

16

1.

Вычислите определитель

5

1

2

7

3

0

0

2

.

1

3

4

5

2

0

0

3

2.

Найдите матрицу C:

6 −4 0 1

−2 4

C =(BBT +3A)

T

0 1 −2 2

0 −4

; A

=

3 1 1 −1 ;

B =

2 −1 .

3 2 4 −3

−5 0

3. Решите систему методом Крамера:

6x +2y +5z = 2,

3x +5y −2z =1,

4x +7y −3z =1.

4.

Решите матричное уравнение

−8 0 2

−16 8

1 −1 −1 X = 24

0 .

0 4 2

−32 −24

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 + x2 −6x3 −4x4 = 6,

−x2

−6x3 −4x4 = 2,

3x1

2x1 +3x2 +9x3 +2x4

= 6,

3x

+2x

2

+

3x

3

+

8x

4

= −7,

1

базис: aG(1; −1; 2),

6.

Проверьте, что

векторы

образуют

bG(0; −3; −4), cG(5; 0; −6). Вектор d составляет с осью OX угол

2π

, с

3

π;

осью OY тупой угол, с осью OZ угол

d

=10. Какой угол вектор d

4

G

G

образует с осью OY? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF.

Точка E делит отрезок BC в отношении 2:1, а точка F делит отрезок CD

в отношении 1: 3

JJJG

G JJG

G

JJG

. Пусть AB =a , AD

= b . Найдите GC.

G

G

G

G

G

G

G

a

=3,

b

8. Пусть p = a

+2b

, q = −a

+b ,

=1, (a; b)= 600 . Найдите

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(2; 1; 0) и b(1; 3; −1), а его проекция на вектор

cG

(3; 6; −2) равна −1.

10.

В тетраэдре TLQR T(−2; −3; 0), L(−5; −2; 0), Q(−2; −5; 5),

11.

Высота

и

медиана,

проходящие через

разные

вершины

треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями

соответственно

x −2y −7 =0

и 7x +6y −99 =0.

Найдите уравнения

сторон AB и AC, если B(0; 9).

12.

Напишите

уравнение

прямой, симметричной данной прямой

l :

x −2

=

y +1

=

z −3

относительно плоскости 3x −2y +z +31 =0.

−1

1

2

ABCDA1B1C1D1: A(1; 1; 3),

B(2; 1; 4),

13.

В параллелепипеде

C(−1; 3; 1), A1 (2; 5; 3). Найдите расстояние между прямыми BD и B1C.

14.

Составьте

уравнение

кривой, отношение расстояний точек

которой до данной точки A(−3; 0) и данной прямой x = −

25

равно

3

.

3

5

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y = −3 −

3

8x −x2

, изобразите ее на координатной плоскости, найдите

4

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении

3:1, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

,

JJJG

G

JG

1: 2. Пусть AB

=a

AC = b . Найдите вектор BF.

G G

8.

Пусть

G

G

G

G

G

a

= 4 ,

b

p = a

−2b,

q = −a −b,

=1, (a; b)=1200 .

G

на вектор p .

Найдите проекцию вектора 3p +q

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG

(−1; 2; 3)

и

b(1; 2; −1),

образует

с вектором

cG(3; 4; 5) тупой угол, а модуль вектора x равен

21.

10. В тетраэдре

PMQR M(0; 1; −2), Q(−5; 5; −2),

R (1; −1; 6),

уравнение стороны AC.

12.

Напишите

уравнение

прямой,

симметричной данной

прямой

x = −2t −4,

l : y =5t +3, относительно плоскости 3x −5y +4z −257 =0.

z = t +1

ABCDA1B1C1D1: A(2; −1; 3), B(3; 4; 1),

13.

В параллелепипеде

C(1; 3; 2), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1 и A1C1.

14.

Составьте

уравнение

кривой,

отношение расстояний

точек

В а р и а н т

18

1.

Вычислите определитель

0

5

2

0

8

3

5

4

.

7

2

4

1

0

4

1

0

2.

Найдите матрицу C:

2 −1 0

5 1 −1

C =((3BT )2 −4ATB);

A = 1 −1 2 ;

B = 0 1 −2 .

3 0 −3

3 −1 2

3.

Решите систему методом Крамера:

2x + y +3z =19,

3y +z =1,

4x +2y +5z = 31.

4.

Решите матричное уравнение

1 −1 3 −3 −15 −45

X

=

30

.

0 5

−6 5

0

5.

Решите систему методом Гаусса:

x1 +2x2 −3x3 +4x4 = 7,

2x1 +4x2 +5x3 −x4 = 2,

5x1 +10x2 +7x3 +2x4 =11.

G

6.

Проверьте, что векторы образуют базис:

a (−1; 6; 0), bG(−2; 4; 5),

G

c(1; 0; 3). Вектор d составляет с осью OX тупой угол, с осью OY угол

π

G

G

1350, с осью OZ угол 3 ;

d

= 2. Какой угол вектор d образует с осью

G

G

G

F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF.

Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит отрезок CD

JJJG

G JJG

G

JJJG

JJG

в отношении 2:1. Пусть AB =a , AD

= b . Найдите векторы EG

и FG .

G G

G

G G

G

a

=3,

b

G

8. Пусть p = a

+2b

, q = −a

+b ,

=1, (a; b)= 600 . Найдите

9.

Найдите координаты вектора x (3; − x; 2x), если проекция

вектора xG×aG(−2; 1; −1) на вектор b(6; −3; 2) равна 1.

10.

В тетраэдре SMOP S(2; 0; 3), M(2; 2; −1), O(7; 0; 6), вершина

P(−1; 0; z), высота тетраэдра, опущенная из вершины P , равна

24

.

134

12.

Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через две

x −1

y

z +2

x = t −1,

скрещивающие

прямые

l1

:

=

=

и

l2 : y = −3t +2,

1

0

−2

z = t

x +5

y −2

z −3

параллельно прямой l3

:

=

=

.

4

1

−2

A(1; 2; 2),

B(2; 2; 3),

13.

В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

C(3; 1; 3), A1 (4; 4; 2). Найдите расстояние между прямыми BC1 и B1D1.

14.

Составьте

уравнение

кривой, отношение расстояний точек

которой до данной точки A(0; 4) и до данной прямой

y =1 равно 2.

Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15.

Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y =1+

3

4x −x2

+12 ,

изобразите

ее

на

координатной

плоскости,

2

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении 2:1, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG G

,

JJJG

G

JJG

JJG

3:1. Пусть AB =a

BC = b. Найдите векторы DF и AF.

G

G

G

G G

G

a

= 2 ,

b

=3

и векторы p и q

8. Пусть p =3a

−b,

q = a

+b,

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(0; 2; 3) и b(1; 1; 3), а его проекция на вектор

cG

(2; 2; 1) равна 5.

10.

В тетраэдре TMLF T(1; −1; 0), M(−2; −1; −2), L(4; 0; −4),

D(3; 3)

лежит

на боковой

стороне.

Запишите

уравнение третьей

стороны.

12. Составьте

уравнение

прямой, проходящей

через

две

x +2

y −1

z

x = t +2,

скрещивающие

прямые

l1

:

=

=

и

l2 : y = −t −4,

3

−3

0

z = −2t +1

x −3

y +4

z −5

параллельно прямой l3 :

=

=

.

1

2

3

A(2; 2; −1), B(2; 3; 1),

13. В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

C(3; 2; 3), A1 (2; 3; 3). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14. Составьте

уравнение

кривой, отношение расстояний точек

которой до данной точки A(0; 8) и до данной прямой y = 4,5 равно

4

.

3

В а р и а н т

20

1.

Вычислите определитель

−3

1

0

2

5

2

10

−15

.

−2

7

−1

−6

3

1

5

13

2.

Найдите матрицу C:

4

−1 0

2

C =(−BTB +3A2 )

T

−3 0 2 1

;

−1 1 3 4

; A =

B =

0 −4 2 7

.

2 5 −7 −1

0

0

1

5

4. Решите матричное уравнение

0

−3

4

−22

0

44

X

−2 2 4

=

0

22

0

.

2

−3

1

5.

Решите систему методом Гаусса:

x1 +2x2 −4x3 =1,

2x1 + x2 −5x3 = −1,

x1 −x2 −x3 = −2,

4x1 +5x2 −13x3 =1.

a (−4; 1; −4),

bG(3; 2; 3),

6. Проверьте, что векторы образуют базис:

G

G

π, с осью OY угол π, с

c(1; 0; 2). Вектор d составляет с осью OX угол

dG

3

4

осью OZ тупой угол;

= 6. Какой угол вектор d образует с осью OZ?

G

G G

Разложите вектор d по базису a, b, c .