РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении 3:1, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

JJJG

G

JG

и

JJG

2 :1. Пусть AB

=a ,

BC = b . Найдите векторы FC

AF.

8.

G

G

G

G

G

G

a

=3,

b

= 2

и

G

= 2

13 . Найдите

Пусть p

= 2a

−b,

q = a

−2b,

p

G

модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам

aG(2; 0; −3)

и b(3; −1; 1),

образует с

вектором

cG(−2; 1; 1) тупой угол, а модуль вектора x равен

134 .

JJJJG

10. В тетраэдре MNLK

JJJG

JJG

−3; 7),

(−6; 4; 0).

MN(−1; 0; 8), ML(0;

MK

l :

x +2

=

y −5

=

z

,

l

:

x +1

=

y +3

=

z −1

.

2

1

1

1

−1

2

0

−1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(1; 3; 1), B(2; 4; 1),

В а р и а н т

6

1.

Вычислите определитель

−3

−2

2

4

2

−1

3

1

.

1

2

−1

0

3

1

4

−1

2.

Найдите матрицу C:

−1 2 4

1 −1 4 0

C = (8B −(A

T

)

2

)

T

;

A =

0

1

−1

2

0 −4

−1 ;

B =

.

5 6 3

3

−6 3 −1

3.

Решите систему методом Крамера:

x +2y +2z =90,

=9,

2x + y −2z

= 63.

2x −2y +z

4.

Решите матричное уравнение

−5 3 4

36 −18

0 1 0

−54 72

X

=

.

−2 0 2

−36 54

5.

Решите систему методом Гаусса:

3x1 +2x2 −x

3 =1,

3 =5,

x1 +3x2 +2x

+8x2

+3x3 =11,

5x1

x1 + x2 =1.

a (2; −3; 1),

bG(1; 5; −4),

6. Проверьте, что векторы образуют базис:

cG

(4; 1; −3). Вектор dG

составляет с осью OX острый угол, с осью OY

угол

2π

, с осью OZ угол π;

d

= 2

. Какой угол вектор dG

образует с

3

4

G G

осью OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .

Точка E делит отрезок BC в отношении

2 : 3, а точка F делит отрезок

JJG

G

JJG

G

JJJG

CD в отношении 1: 2. Пусть AB

=a

, AD = b . Найдите вектор CG.

G G

G

G

G

G

a

=1,

b

=3

G

8.

Пусть p = a −2b,

q = 2a +b ,

, (a; b)= 600 . Найдите

косинус угла между векторами p и q .

9.

Найдите координаты вектора x (x; −1; x), если проекция вектора

xG ×aG

(4; 1; 1) на вектор bG

(2; 1; 2)

равна 5.

JJG

JJJG

10. В тетраэдре

SABC

JJG

2; 0; −5),

AB(−5; 1; 0),

AS(

AS(2; 0; −5).

x −4

y +1

z −3

x = −2,

,

l1

:

=

=

l2

: y =3t +1,

2

1

3

z = −t −4.

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(2; 3; −1), B(3; 1; 4),

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y = −1+

2

6x −x2

, изобразите ее на координатной плоскости, найдите

3

7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении

2 : 3, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

JJJG

G

JJG

JG

3: 2 . Пусть AB

=a ,

AC = b . Найдите векторы DF и FE .

G

G

G

G

G

G

a

=1,

b

G

8. Пусть p = 2a −b,

q = 2a

−b,

= 4, (a; b)=1200 . Найдите

проекцию вектора 3p

G

G

на вектор p .

+q

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(1; −2; 0) и b(3; 1; 1), а его проекция на вектор

cG(−1; 2; 2) равна 7.

JJJG

JJJG

JJJG

10.

В

тетраэдре OMNP

MO(−2; 8; 9), MN(4; 5; 0), MP(0; 2; −1).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины M

на грань NOP.

11.

В

равнобедренной

трапеции

ABCD

известны уравнение

B(3; 5). Найдите координаты точки D.

12.

Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A(3; 2; −2) и две скрещивающие прямые:

l :

x −3

=

y

=

z +4

,

l

:

x +1

=

y −3

=

z

.

2

1

0

−1

−4

2

−2

5

13.

В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(1; 2; 2),

B(2; 3; 2),

C(3; 3; 1), A1 (4; 2; 4). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14.

Составьте

уравнение

кривой,

отношение расстояний

точек

которой до данной точки A(10; 0) и данной прямой x = 6,4

равно

5

.

4

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x = −1+

2

y2 +4y +13 , изобразите ее

на координатной

плоскости,

3

В а р и а н т

8

1.

Вычислите определитель

−1

2

3

0

−1

1

2

3

.

0

4

−1

−5

0

2

1

8

2.

Найдите матрицу C:

−5 0

0

4

C = −BTB −9AT ; A

1

−1 2 0

;

15 0 −1 1

=

1

−2 1 3

B =

−2 7 −6 4

.

3

0

0

5

3. Решите систему методом Крамера:

x +2y −z =10,

+3y −2z =15,

x

+5y +z = 20.

x

4.

Решите матричное уравнение

−8 1 3 0 21 −42

X

=

.

5 2 −1 2 −21 0

5.

Решите систему методом Гаусса:

3x1 +2x2 −3x3 +4x4

=1,

+3x2

−2x3 +3x4

= 2,

2x1

+2x2

−3x3 +2x4

=3.

4x1

6. Проверьте, что векторы образуют базис:

a (2; 3; 1), bG(−1; 2; −2),

cG(1; 2; 1). Вектор d составляет с осью OX угол

2π

, с осью OY угол

π,

3

dG

4

с осью OZ тупой угол;

= 6. Какой угол вектор d образует с осью OZ?

G

G

G

Разложите вектор d по базису a, b, c .

7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка

F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF.

Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит отрезок CD

JJJG

G

JJG

G

JJJG

JJG

в отношении 1:1. Пусть AB =a

, AD = b . Найдите векторы GE и GF.

G G

G

G

G

G

a

=1,

b

G

8. Пусть p = a

−2b,

q =

2a +b ,

=3, (a; b)= 600 . Найдите

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален

векторам aG(3; 1; 1) и b(−1; 1; 0),

образует

с

вектором

cG(1; 1; 1)

острый угол, а модуль вектора x равен

72 .

JJJG

10. В

тетраэдре

TNQR

JJG

JJG

TN(−3; 4; 2),

TQ(1; 0; −4),

TR (2; 5; 0).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины T на

грань NQR.

11. В

прямоугольнике

ABCD отношение

сторон AB: BC = 2 :1.

Уравнение

прямой

AB

3x +2y +4 =0,

точка Q(1; 3)

– точка

l :

x +2

=

y

=

z +3

,

l

:

x −1

=

y +2

=

z

.

1

−3

−1

0

2

−2

1

−1

13. В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(2; −1; 2),

B(2; 1; 3),

C(3; 3; 2), A1 (2; 3; 3). Найдите расстояние между прямыми BD и AB1.

14. Составьте

уравнение

кривой,

отношение расстояний точек

которой

до данной

точки

A(4; 0) и

данной

прямой

x =1

равно 2.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y =3 +

4

8x −x2 −7 ,

изобразите ее

на координатной

плоскости,

3

В а р и а н т

9

1.

Вычислите определитель

2

1

1

0

7

1

3

1

.

3

−1

1

2

1

3

2

1

2.

Найдите матрицу C:

−4 2 1

−7 14 −2

C =(3A

T

)

2

+B

T

;

;

0 −1 5

A = −5 0 4

B =

.

2

−2 8

−1 3 −9

3. Решите систему методом Крамера:

6x +5y +2z =5,

−2y

+5z =1,

3x

−3y

+7z = 2.

4x

4.

Решите матричное уравнение

−1 0 0

−46 0 23

3

−5 7

69

−23 0

X

=

.

0

−9 8

−82 0 46

5. Решите систему методом Гаусса:

3x1 −2x2 + x3 −x4 = 0,

3x1 −2x2 −x3 + x4 =1,

+2x3 +5x4 =3.

x1 −x2

6.

Проверьте,

что векторы образуют базис: a (1; 2; 1), bG(2; −1; 3),

cG

(3; −1; 4). Вектор dG составляет с осью OX тупой угол, с осью OY угол

π

3π

G

G

, с осью OZ угол

;

d

=8. Какой угол вектор d образует с осью

3

4 G

G

G

OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении

3:1, а точка E делит отрезок BC в отношении

1:3. Пусть

JJJG

G

,

JJJG

G

JG

AB =a

BC

= b. Найдите вектор BF.

8.

G

G

G

G

G

G

a

=1,

b

= 2

и

векторы p

и q

Пусть p

= 2a

−b,

q = a

+b,

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x (2; x; x),

если проекция вектора

xG×aG

(1; 2; −1) на вектор bG

(2; −1; 2)

равна −1.

JJG

JJJJG

10. В

тетраэдре

PSQM

JJG

−2; −1),

(2; 0; −4).

QP(4;

QS(0; 2; 5),

QM

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины Q на

грань PSM.

∆ABC

B(−1; 2) ,

сторона

11. В

известны:

вершина

AC : 2x −3y −6 =0,

высота CH : x −4y −3 =0.

Найдите

уравнение

средней линии ∆ABC , параллельной стороне AB.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A(0; 2; −1)

и две скрещивающие прямые:

x = 0,

x +3

y

z +2

.

l1

: y = 4t

+2,

l2 :

=

=

2

−1

1

−1.

z = −t

A(1; 2; 4), B(2; −1; 0),

13. В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

C(2; 3; 4), A1 (1; 2; 5). Найдите расстояние между прямыми AC и A1B.

14. Составьте

уравнение

кривой,

отношение

расстояний

точек

которой до данной точки A(8; 0)

и данной прямой x = 4,5

равно

4

.

3

В а р и а н т

10