Практические занятия 2

Практические занятия по математическому анализу для студентов ф-та КНиИТ, 1-ый семестр

Л.В. Сахно

12 сентября 2015 г.

Содержание

1.1Математическая индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2Суммирование. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 7

2.4Ограниченные, бесконечно малые, бесконечно большие и

3.1Монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса. 10

3.2Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. . . . . . 10

3.3Фундаментальные последовательности и критерий Коши. . 11

3.4Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 12

3.5Вычисление пределов последовательностей. . . . . . . . . . 13

3.6Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 14

1

2

1Занятие 1.

1.1Математическая индукция

1.Доказать, что при каждом n 2 N верны равенства:

1)1 2 + 2 5 + : : : + n(3n 1) = n2(n + 1);

2)13 + 23 + : : : + n3 = 14 n2(n + 1)2;

3)12 + 22 + 32 + : : : + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1);

2.Доказать, что при каждом n 2 N:

1)число 5 23n 2 + 33n 1 кратно 19;

2)число n(2n2 3n + 1) кратно 6.

3.Доказать, что при каждом n 2 N верно неравенство:

1.2Суммирование. Бином Ньютона

Пусть a1; a2; : : : ; an -числа. Тогда

n

X

ak := a1 + a2 + : : : + an:

k=1

Свойства:

3

5. Вычислить суммы:

1)

2)

7. Написать формулу бинома Ньютона:

1) (1 + x)5; 2) (a + d)6; 3) (x + y)7; 4) (a b)8:

1.3 Задачи для самостоятельного решения

4

( 1)60; 2)625; 7000; 7000; 1120; 16:)

9.Доказать, что для любого натурального n 2 справедливо неравенство: 2 < (1 + n1 )n < 3:

5

2Занятие 2.

2.1Вещественные числа. Грани числового множества

1.В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, предсталяющих рациональные и иррационаьные числа?

2.Представьте дробь 31; 2(88) в виде обыкновенной дроби.

периодична и любое ненулевое рациональное число - ее период, никакое же иррациональное число периодом не является.

5.Пусть A - множество чисел, противоположных по знаку числам из ограниченного множества B: Доказать, что: а) inf A = sup B; б) sup A = inf B:

6.Пусть X; Y - непустые ограниченные множества чисел, а Z - мно-

жество всевозможных сумм x + y; где x 2 X; y 2 Y: Доказать, что множество Z ограничено и что: а) sup Z = sup X + sup Y ; б) inf Z = inf X + inf Y:

2.2 Счетные и несчетные множества

7.Докажите, что множество целых чисел счетно.

8.Постройте взаимно однозначное соответствие между

1)точками двух интервалов;

2)точками двух отрезков;

3)точками отрезка и полуинтервала;

4)точками отрезка и интервала;

5)точками интерала и множеством R;

5) точками отрезка [0; 1] и множеством R:

6

2.3Задачи для самостоятельного решения

p

1. Докажите, что 8 есть иррациональное число.

2.Найти нижнюю и верхнюю грани множества всех правильных рациональных дробей m=n (m; n 2 N; m < n) и показать что это множество не имеет наименьшего и наибольшего элементов.

3.Пусть X; Y - непустые ограниченные множества неотрицательных чисел, а Z - множество всевозможных произведений xy; где x 2 X; y 2 Y: Доказать, что множество Z ограничено и что: а) sup Z = sup X sup Y ; б) inf Z = inf X inf Y:

4.Покажите, что

a)любое бесконечное множество содержит счетное подмножество;

b)объединение бесконечного множества и не более чем счетного множества имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество;

c)множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

5.Доказать равномощность отрезка [0; 1] и квадрата с вершинами

O(0; 0); A(0; 1); B(1; 0); C(1; 1):

6.Докажите равномощность круга и отрезка.

7.Доказать, что всякое несчетное множество содержит несчетное ограниченное подмножество.

8.Привести пример счетного множества, каждое ограниченное подмножество которого конечно.

2.4Ограниченные, бесконечно малые, бесконечно большие и сходящиеся последовательности.

1.Доказать, пользуясь определением, что заданные последовательности бесконечно малые:

7

2.Доказать, что последовательность xn = qn является бесконечно большой при jqj > 1 и бесконечно малой при jqj < 1:

3.Докажите, пользуясь определенем, что заданные последовательности бесконечно большие:

4.Пользуясь теоремой об арифметических действиях над бесконеч- но малыми, доказать, что заданные последовательности являются бесконечно малыми:

5. Подтвердить примерами, что частное двух бесконечно малых последовательностей может быть: а) бесконечно большой; б) бесконечно малой; с) сходящейся к числу a 6= 0:

6. Подтвердить примерами, что частное двух бесконечно больших может быть: а) бесконечно большой; б) бесконечно малой; в) сходящейся к числу a 6= 0:

7. Доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой.

8. Какой может быть разность бесконечно больших последовательностей одного знака?

9. Пусть последовательность (xn) сходится, а (yn) расходится. Что можно сказать о последовательности (xn + yn)?

10. Пусть lim xn = x0 6= 0; а последовательность (yn) расходится. До-

n!1

казать, что последовательность (xnyn) расходится.

11.Привести пример последовательностей (xn) è (yn) таких, что (xn) сходится, (yn) расходится, а (xnyn) сходится.

8

12. Пусть lim xn = a: Доказать, что последовательность (jxnj) сходит-

n!1

ñÿ è lim jxnj = jaj: Привести пример расходящейся последователь-

n!1

ности (xn); для которой (jxnj) сходится.

2.5Задачи для самостоятельного решения

3. Сформулировать (в положительном смысле) условие неограниченности последовательности.

4. Является ли бесконечно большая последовательность неограниченной? Является ли неограниченная последовательность бесконечно большой?

5. Пусть (xn +yn) - бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что (xn) è (yn) - бесконечно малые? Ответ обоснуйте.

6. Пусть (xnyn) - бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что хотя бы одна из последовательностей (xn) è (yn) бесконечно малая? Ответ обоснуйте.

7. Пусть последовательность (xn) сходится, а (yn) бесконечно большая. Может ли последовательность (xnyn): а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой? Ответ обоснуйте.

8. Докажите, что если lim xn = +1( 1); то последовательность

n!1

(xn) достигает своей нижней (верхней) грани.

9.Пусть последовательность (xn + yn) сходится. Следует ли из этого, что (xn) è (yn) сходятся?

9

10.Доказать, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих граней - верхней или нижней.

3Занятие 3.

3.1Монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса.

1.Доказать, что данная последовательность монотонна, начиная с некоторого номера:

p p p p

5) xn = n + 2 n + 1; 6) xn = n2 + n n; 7) xn = 3 n3 1 n; 8) xn = 2n 100n; 9) xn = 3n 2n; 10) xn = ln (n2 + 9n) 2 ln n:

2.Пользуясь теоремой Вейерштрасса о монотонных последовательностях, доказать сходимость следующих последовательностей:

ãäå pi(i = 0; 1; : : :) - целые неотрицательные числа, не превышающие 9, начиная с p1;

r

p q p q p

4) x1 = 2; x2 = 2 + 2; : : : ; xn = 2 + 2 + : : : + 2; : : : :

3.2 Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

3.Для последовательности (xn) найти множество частичных пределов, limn!1xn; limn!1xn; sup xn; inf xn; åñëè xn равно:

1) (cos( n=2))n+1; 2) (1 + ( 1)nn)=n; 3) ( n)sin( n=2);

10