Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практические занятия 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

347.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

+ sin

;

(1 ( 1)n)2n + 1

;

n 1

cos

;

2n + 3

n + 1

n+1

n(n 1)

7) 1 +

cos

;

8) 1 + n sin

; 9) 1 + 2( 1)

+ 3( 1) 2 :

n + 1

4.Для последовательности (xn) найти limn!1xn; limn!1xn; åñëè xn равно:

	n2		2n		n		n		2n
1)		cos		; 2)		sin2		; 3) cosn		;
			3				4		3
1 + n					n + 1

4)1 + n1 n ( 1)n + sin n4 :

5.Построить пример последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числа

a1; a2; : : : ; ap:

6.Построить пример последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов все члены последователности

a1; a2; : : : ; an; : : : :

Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

3.3 Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

7.Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:

1) xn = a0 + a1q + : : : + anqn; ãäå jakj < M (k = 0; 1; 2; : : :) è jqj < 1;

sin 1

sin 2

sin n

2) xn =

+ : : : +

;

cos 1!

cos 2!

cos n!

3) xn =

+ : : : +

;

1 2

2 3

n(n + 1)

4) xn = 1 +

+ : : : +

8.Сформулировать (в положительном смысле) условие нефундаментальности последовательности.

9.Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последователь-

ности		1			1			1

1) xn = 1 +				+			+ : : : +				;
		2			3				n
1					1						1
2) xn = 1 + p			+ p					+ : : : +		p			:
	2					3						n

3.4 Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что у всякой последовательности есть монотонная подпоследовательность.

2. Доказать, что для сходимости монотонной последовательности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности.

3. Доказать, что если у последовательности (an) есть две подпоследо-

вательности (ank ) è (amk ), причем объединение индексов nk è mk åñòü âñå N è ank ! a; amk ! a; òî è an ! a:

4. У последовательности (xn) подпоследовательности (x2k); (x2k 1) è (x3k) сходятся. Доказать, что сходится и сама последовательность.

5. Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;

б) имеющей единственный конечный частичый предел, но не являющейся сходящейся;

в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;

г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

6.Доказать, что

a) limn!1xn + limn!1yn limn!1(xn + yn) limn!1xn +limn!1yn; b) limn!1xn + limn!1yn limn!1(xn + yn) limn!1xn + limn!1yn:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

7. Пусть xn 0; yn 0; (n = 1; 2; : : :): Доказать, что

a) limn!1xn limn!1yn limn!1(xnyn) limn!1xnlimn!1yn; b) limn!1xn limn!1yn limn!1(xnyn) limn!1xnlimn!1yn:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

3.5Вычисление пределов последовательностей.

1.Доказать следующие равенства:

lim

= 0;

lim

= 0;

3) lim

= 0 (a > 1);

n!1

n!1 n!

n!1 an

nlim

n! = 0; 5)

nlim nqn = 0 (jqj < 1);

nlim pa = 1 (a > 0);

loga n

7) lim

pn = 1;

8) lim

= 0;

9) lim

= 0 (a > 1):

2. Вычислить предел:

1) lim

(n + 5)3 n(n + 7)2

;

2) lim

n2 + 1

3n2 + 1

;

2n + 1

n!1

6n + 1

3) lim

(n + 1)4 (n 1)4

;

(n2 + 3n + 4)3 (n2 + 3n 4)3

;

(n2 + 5n + 6)3 (n2 + 5n 6)3

n!1 (n2 + 1)2 (n2 1)2

5) lim

;

lim

(2 + n)100

n100 200n99

;

n + 1 n2 + 1

n!1

n98 10n2 + 1

3=n 3=n2

+ 1=n3 ; 8) n!1

n!1

n + 2

lim

1 + 2 + : : : + n

lim

n arctg n

n!1

n2 2

3. Вычислить предел:

		n + 1
1)	nlim	p		;	2)	nlim
			2
	!1		n + 1			!1

pn2 + 1 + pn
p3 n3 + n + n	;

3)lim ( n2 + n n2 n);

n!1

lim (p3

n3 + 2n2

n);

lim (

(n + 1)(n + 2)

n(n

1));

n!1

n!1 p

lim

;

7) lim

pn + 1 n

;

8) lim

pn pn + 1

p 2

+ 1

npn

!1 n( n

!1 n

n + 1 pn

n sin n!

nlim

n +

!1 n

n + 1

4. Вычислить предел:

lim

2n+2 + 3n+3

;

2) lim

5 2n 3 5n+1

;

lim

2n + 3 n

;

2n + 3n

2 n 3n

n!1

n!1 100 2n + 2 5n

n!1

5. Вычислить предел:

lim

+: : :+

n 1

;

lim

+: : :+

(n 1)2

;

n!1 n2

n!1 n3

lim

+ : : : +

(2n 1)2

;

n!1

lim

: : :

2 3 + 2 3 4 +

+ n(n + 1)(n + 2)

4) n!1

lim

p2p4 2p8

2 : : :

2p2 :

n!1

3.6Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить предел:

n!1 1 p8 1 p32

n!1 p16 1

(p2 1)2

lim

8 1

;

4 8 + 1

;

lim

;

n!1 r

n!1 1 + p2n

n!1

n5 + 1

1 + p2

2n2

5n + 3

4) lim

;

lim

pn3 + 3n;

lim

;

2. Вычислить предел:

lim

n 3n + 1

;

lim

4n + n2 2n 1

;

lim

2n=2 + (n + 1)!

;

n(3n + n!)

n!1

n! + 1

n!1

n4 + (n!)2

n!1

(n 1)=(n+1)

n + 1

(1 p

)=(1 n)

n!1

4) n!1 n2

+ 1

n + 2

lim

; 5) lim

4Занятие 4.

4.1Предел функции

1. Доказать, что функция sin x не имеет предела при x ! +1 и при x ! 1:

2.Доказать, что функция sin(1=x) не имеет предела при x ! 0:

3.Доказать, что

lim(x sin(1=x)) = 0:

x!0

4. Доказать, что функция Дирихле

(

1; если x рациональное;

D(x) =

0; если x иррациональное;

не имеет предела ни в одной точке.

5. Пользуясь определением предела функции по Коши, доказать ра-

венства:	3x2 4x + 1			x3 3x2
lim	3x2 4x + 1	= 2;	lim	x3 3x2	= 9:
x!1	x 1		x!3 x 3

6.Доказать, что:

(a)åñëè lim f(x) = 1; lim g(x) = A 2 R; òî lim(f(x) + g(x)) = 1;

x!a x!a x!a

(b) åñëè lim f x

) = +1

; lim g(x) = +

; òî lim(f(x)+g(x)) = + ;

x a

(

x a

) = +1

;

lim g(x) = A > 0; òî lim(f(x)

g(x)) =

x a

(

x a

+1;

) = +1

(d) åñëè lim f x

;

lim g(x) = A < 0; òî lim(f x

)

g x

x a

(

x a

(

( )) =

Непосредственное применение теорем о свойствах пределов и бесконечно больших функций не дает возможности вычислить следующие пределы (в этом случае говорят, что имеется неопределенность):

0	;	1	; 0	1	;	1 1	(разность бесконечностей одного знака) :
0
	1

В этих случаях для вычисления предела - раскрытия неопреде-

ленности - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

7. Пусть

R(x) =	a0xn + a1xn 1 + : : : + an				; a0 6= 0; b0 6= 0:
R(x) =	b0xm + b1xm1 + : : : + bm				; a0 6= 0; b0 6= 0:
Докажите, что
			1	ïðè	n > m;
lim R(x) =		8a0=b0		ïðè	n = m;
x!1		>		ïðè	n < m:
		<0			n < m:
		>
		:

8. Вычислить пределы:

1) lim	x2 + 4x 5	;	2) lim	x2 + 4x 5	;	3) lim	x2 + 4x 5	:
	x2 1			x2 1			x2 1
x!2			x!1			x!1

9. Вычислить пределы:

1) lim

(1 + x)3 (1 + 3x + 3x2)

;

lim

x2 4

;

x!0

x4 + x3

x!2

x3 2x2 + x

x!3

5x + 6

x!1

3x + 2

8x + 15

4x + 3

x!1 1 x2

+x 1

3) lim

;

4) lim

;

lim

;

xm 1

lim

2 N

);

lim

(m; k

2 N

xk 1

x!1 x 1

x!1

10. Вычислить пределы:

+ 2x 3

x 3

1) lim

;

lim

; 3)

lim

x!4

px 2

x! 8

2 + p3 x

x!16

px 4

1 + x + x

4) lim

7 + 2x x

;

5) lim

1 px

2x x2

x!2

x!1

1 p5 x

11. Вычислить пределы:

lim

x2 4

;

lim

(x 3)40(5x + 1)10

;

lim

x3 + 3x2

;

x2 + 1

x!1 (x 2)(x + 2)

x!1

(3x2 2)25

x!1

;

xlim

x +

p+ 1

2x + 1

+ 4

! 1

!1 p

+ px

lim

x +

lim

px + px + px

+ x

12. Вычислить пределы:

+ 1);

+ 2x

1);

xlim (

xlim ( x

xlim (r

xlim (p3

+ p

x3 + 3x2 + 4x

x3 3x2 + 4);

x2 +

13. Опираясь на первый замечательный предел, доказать, что при x ! 0 :

1) 1 cos x

2) tg x x;

3) arcsin x x;

4) arctg x x:

;

14. Вычислить пределы:

lim

sin 3x

;

lim

tg 4x

;

lim x ctg 5x;

lim

sin x

;

x!0

sin x

x!0

sin 6x sin 7x

lim

cos 3x3 1

;

lim

sin 7 x

;

lim

sin x

;

sin 2 x

2 x2

x!0

sin6 2x

x!1

cos x cos x

x! =2

cos x

lim x2

;

lim

2x tg x

15. Вычислить пределы:

lim

1 + tg x

1 + sin x

;

lim

cos 4x

cos 5x

;

x!0

1 cos 3x

lim

1 cos xp

;

lim

sin x

;

cos 2x

x! =2

cos2 x

x!0

tg x2

x!1	sin	x2	+ 1 sin	x2	1
lim		x2		x2	:

16. Опираясь на второй замечательный предел, доказать равенства:

lim

ax 1

= ln a; lim

loga(1 + x)

;

x!0

ln a

lim

(1 + x) 1

(

2 R

);

x!0

lim

sh x

= 1;

lim

th x

= 1;

lim

ch x 1

x!0 x

x!0

17. Вычислить пределы:

lim

lg x 1

; lim

ln(1 + 3x + x2) + ln(1 3x + x2)

;

x 10

x!10

x!0

lim

1 sin x

1 + x

;

lim

ln tg( =4 + 4x)

;

lim

ln(1 + x)

x!0

10 + x lim x log2 5 + x ;

x!1

ln cos 5x; ln cos 4x

lim	1 ctg x	;	lim x2 ln cos		:
	ln tg x			x
x!1=4			x!1

18. Вычислить пределы:

lim

10x 1

;

lim x(31=x

1);

lim x2(41=x

41=(x+1));

x!0

2x 1

x!1

sin 5x

sin x

lim

; lim

;

x!0

tg x

x!0

ln(1 + 2x)

x!0 p1

+ sin x2 1

ex2 cos x

; lim

lim

1 + 3x

1 + 2x

x!0

sin2 x

x!0 p1 + 5x p4 1

+ 2x

5Занятие 5.

5.1Предел функции

Рассмотрим, как находится предел степенно-показательной функции [u(x)]v(x) (u(x) > 0):

Поскольку [u(x)]v(x) = ev(x) ln u(x); то нахождение предела

lim u(x)v(x)

x!a

в силу непрерывности показательной функции сводится к нахождению

lim[v(x) ln u(x)]:

x!a

Рассмотрим подробно отдельные случаи.

I. Åñëè lim u(x) = A > 0;	lim v(x) = B; òî
x!a	x!a

lim u(x)v(x) = lim ev(x) ln u(x) = e lim [v(x) ln u(x)] = eB ln A x!a

x!a x!a

II. Åñëè lim[v(x) ln u(x)] = +1; òî

x!a

lim u(x)v(x) = e lim [v(x) ln u(x)] = +1: x!a

x!a

Åñëè lim[v(x) ln u(x)] = 1; òî

x!a

lim u(x)v(x) = e lim [v(x) ln u(x)] = 0: x!a

x!a

Если lim[v(x) ln u(x)] = 1 и произведение v(x) ln u(x)

x!a

= AB:

не сохраня-

ет знак ни в какой проколотой окрестности точки a; то функция [u(x)]v(x) = ev(x) ln u(x) не имеет предела при x ! a:

III. Пусть в произведении v(x) ln u(x) предел одного из сомножите-

лей равен нулю, а второй сомножитель является бесконечно большой функцией. Такое положение возможно в трех случаях:

à) lim v x			) = 0	; lim u(x) = +		1	(1	0	;
x	!	a (		x a				)
				!		(00);
á) lim v(x) = 0; lim u(x) = 0
x!a				x!a			(11):
â) lim v(x) ==				1	; lim u(x) = 1
x!a					x!a

В этих случаях необходимо раскрыть неопределенность при вы- числении предела lim[v(x) ln u(x)]:

x!a

19. Вычислить пределы:

x!1	2x + 1			x2
lim		x		;
lim				;
	1		x=(2x+1)
x!1 x2				;
lim

x!1		2x + 1		x
lim			x	;
lim	x + 1			;
x!1	x + 1			x
lim			x	:
lim				:

20. Вычислить пределы:

x2 + 4

1=x

1= sin2 x

x!1

;

x!0

;

lim

lim( 1 + x

; lim(1 + 3x )

lim (1+ctg x)tg x;

lim(cos x) 1=x2 ;

lim (sin x)tg2 x;

lim(cos 6x)ctg2 x;

x! =2

x!0

x! =2

x!0

ctg x

;

x!0

xex + 1

1=x2

;

1= arctg x2

x!0

x x + 1

x!0

lim(ln(e+x))

lim

lim(cos x+arctg

Приведем основные асимптотические равенства при x ! 0 :

1)sin x = x + o(x);

2)tg x = x + o(x);

3)arcsin x = x + o(x);

4)arctg x = x + o(x);

5)sh x = x + o(x);

6)1 cos x = x2=2 + o(x2);

7)ch x 1 = x2=2 + o(x2);

8)ex = 1 + x + o(x);

9)ax = 1 + x ln a + o(x); a > 0; a 6= 1;

10)ln(1 + x) = x + o(x);

11)(1 + x) = 1 + x + o(x):

5.2Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить пределы:

lim

aax axa

; a > 0;

lim

(ax bx)2

; a > 0; b > 0; a = b;

ax2 bx2

x!a ax xa

x!0

ax + bx

1=x

ax+1 + bx+1

1=x

x!0

a + b

lim

; a > 0; b > 0;

lim

; a > 0; b >

2.Доказать следующие свойства асимптотических равенств. (Везде подразумевается, что x ! a:)

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2018114.69 Кб4Практическая работа 6.doc
#
11.04.201562.46 Кб355Практическая работа Access.doc
#
15.03.201611.6 Кб25Практическая работа № 6.docx
#
11.04.201533.36 Кб30Практическая работа2.docx
#
11.04.2015219.5 Кб58Практическая работа№1 Проектирование PON.docx
#
15.03.2016347.27 Кб18Практические занятия 2.pdf
#
11.04.20158.3 Mб39Практическое задание по информатике.pdf
#
12.07.2019119.81 Кб3Приложение.doc
#
11.04.2015223.74 Кб13Пример 1 раздела курсовой без теории.doc
#
11.04.2015239.1 Кб16Программа_КГЭ_ДВАГС_1.doc
#
11.04.2015296.96 Кб47Программирование.doc