Практические занятия 2

t = g(x): Следовательно, пара функций x = '(t) и y = (t) определяет функцию y = f(x) = (g(x)): Использую правила дифференцирования композиции и обратной функции, вычислим

Это равенство можно переписать в виде

fx0 ('(t)) = '00((tt)):

Чтобы вычислить производную второго порядка функции y = f(x); нуж-

но применить предыдущие рассуждения к паре функций x = '(t) и y = fx0 ('(t)): Поскольку

Аналогично вычисляются производные следующих порядков.

1.Найти производные первого и второго порядков yx0 è yx002 äëÿ ôóíê- ции y = y(x); заданной параметрически:

1)x = sin2 t; y = cos2 t; 0 < t < =2;

2)x = e t; y = t3; 1 < t < +1;

3)x = a cos t; y = b sin t; 0 < t < ;

4)x = a(t sin t); y = a(1 cos t); 1 < t < +1:

5)x = t2 + 6t + 5; y = (t3 54)=t; 0 < t < +1:

Производная функции, заданной неявно.

Пусть дифференцируемая на некотором интервале функция y = y(x) задана неявно уравнением F (x; y) = 0 (условия существования и дифференцируемости заданной таким образом функции y = y(x) будет рассматриваться в теории функций многих переменных). При

31

формальном дифференцировании соотношения F (x; y(x)) = 0 по

переменной x получим линейное относительно yx0 уравнение, из

которого находим выражение этой производной. Для нахождения производной второго порядка выражение, определяющее y0; äèô-

ференцируем по x: В получаемое выражение для y00 входит y0; êî-

торое уже найдено. Подставляя его, получаем окончательный результат. И так далее.

2.Найти производные yx0 è yx002 ; следующих функций, заданных неявно, если:

1)x + y = ex y;

2)x2 1 + cos xy = 0;

3)x3 + 4y3 3x2y = 2;

4)x2 + 2xy + y2 4x + 2y = 2; x = 1;

5)x(x2 + y2) = a(x2 y2); x = a=2:

7.4Дифференциал

1.Найти дифференциал:

3.В указанных точках найти дифференциал функции y = y(x); заданной неявно или параметрически:

1)y3 y = 6x2; (1; 2);

32

Для дифференцируемой в точке x0 функции f имеем равенство

f(x0 + h) f(x0) = f0(x0)h + (h)h;

где (h) ! 0 при h ! 0: Это равенство является источником приближенного равенства для вычисления значений функций:

4.Используя формулу (1), вычислить приближенное значение функции y = y(x) в указанных точках:

4)y = tg x; x = 44 500;

5)y = arcsin x; x = 0; 51;

6)y = arctg x; x = 1; 05:

7.5Касательные и нормали к кривым

Пусть функция f дифференцируема в точке x0: Прямая, задаваемая

уравнением

y = f(x0) + f0(x0)(x x0);

является касательной к графику этой функции в точке (x0; f(x0)): Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к каса-

тельной, называется к графику функции f в точке (x0; f(x0)) имеет вид

x x0 + f0(x0)(y f(x0)) = 0:

33

Если функция f непрерывна в точке x0 è

то в точке (x0; f(x0)) график функции имеет вертикальную касательную с уравнением x = x0:

Если функция f непрерывна в точке x0 и не дифференцируема, од- нако существуют односторонние производные

то в точке (x0; f(x0)) график функции имеет односторонние полукаса-

тельные: левую - полупрямую y = f(x0) + f0 (x0)(x x0); x x0; и правую - полупрямую y = f(x0) + f+0 (x0)(x x0); x x0: Точка x0 íàçû-

вается в этом случае точкой излома èëè угловой точкой кривой.

1.Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в

указанной точке: p

1)y = 5 x2; x = 1;

2)y = ln x22 2x+1 ; x = 0;

x +x+1

3)y = 4 ctg x cos x ; x = 2 ;sin2 x

p

4)y = 3 x 1; x = 1;

5)y = (x3 + 2x2)=(x 1)2; x = 2:

6)x2 + y2 2x + 6y = 0; y > 0; x = 0;

7)x = a(t sin t); y = a(1 cos t); t = t0 6= 2 k; k 2 Z:

2.Написать уравнение нормали к графику функции y = f(x) в указанной точке:

1)y = cos 2x 2 sin x; x = ;

2)y = arcctg(1=x); x = 1;

3)y = x3=(2 x)2; x = 6;

34

p

4)y = x= 3 x + 1; x = 3;

5)y2 = 2px; y 0; x = x0;

6)x = e2t cos2 t; y = e2t sin2 t; jtj < =4; t = =6:

3.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке M :

1)x3 + y2 + 2x 6 = 0; M( 1; 3);

2)y4 4x4 6xy = 0; M(1; 2);

3)3x2 + 2xy + 2y2 + 3x 4y = 0; M( 2; 1);

4)x = t2; y = t3; M(4; 8);

8Занятие 8.

8.1Формула Тейлора-Пеано

Если функция f n-дифференцируема в точке x0; то справедливо равенство

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n + o((x x0)n) 1! n!

ïðè x ! x0; называемое формулой Тейлора-Пеано или локальной формулой Тейлора.

Запишем короче

Åñëè x0 = 0; то формулу Тейлора называют еще формулой Маклоре-

íà.

Важно понимать, что функция f; имеющая в точке x0 производные до порядка n включительтно, единственным образом представляется в

âèäå

n

X

f(x) = ak(x x0)k + o((x x0)k); x ! x0;

k=0

35

причем коэффициенты разложения определяются формулами

f(k)

ak = k! ; k = 0; 1; : : : ; n:

Этот факт лежит в основе приемов, применяемых при разложении функций.

1) Åñëè

X

f(x) + g(x) = (ak + bk)(x x0)k + o((x x0)n);

k=0

n

X

f(x)g(x) = ck(x x0)k + o((x x0)n);

k=0

k

P

ãäå ck = apbk p:

p=0

2)Если функция h(x) = f(x)=g(x); то для нахождения разложения функции h можно применить метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем.

Пусть

n

X

h(x) = ck(x x0)k + o((x x0)n):

k=0

Приравнивая коэффициенты при (x x0)k; k = 0; 1; 2; : : : ; n; в левой и правой частях равенства:

36

получаем систему уравнений, из которой находим коэффициенты c0; c1; : : : ; cn:

3) Пусть F (x) = f(g(x)) и

ãäå t0 = g(x0): Тогда для нахождения коэффициентов ck (k = 0; 1; : : : ; n) функции

n

X

F (x) = f(g(x)) = ck(x x0)k + o((x x0)n)

k=0

нужно в формулу (2) подставить t = g(x); заменить g(x) правой ча-

стью формулы (3) и произвести соответствующие арифметические действия, сохраняя при этом только члены вида ck(x x0)k; k =

0; 1; : : : ; n:

4) Пусть известно представление формулой Тейлора производной

n

X

f0(x) = bk(x x0)k + o((x x0)n);

k=0

Тогда существует f(n+1)(x0); и поэтому функцию f(x) можно представить в виде

n+1

X

f(x) = ak(x x0)k + o((x x0)n+1) =

k=0

n

X

= f(x0) + ak+1(x x0)k+1 + o((x x0)n+1);

k=0

37

ãäå bk - коэффициенты формулы Тейлора функции f0(x):

1.Доказать, что:

a)если f - четная функция, то

б) если f - нечетная функция, то

2.Вывести формулы Тейлора в окрестности точки x0 = 0 (формулы Маклорена) для основных элементарных функций:

1)показательная функция

38

3. Представить формулой Маклорена с o(xn) функцию f(x); если:

4. Представить формулой Маклорена с o(xn) функцию f(x); если:

1) f(x) = (x + 5)e2x; 2) f(x) = ln 3+2 xx ; 3) f(x) = (x 1)ex=2;

5. Представить формулой Маклорена с o(xn) функцию f(x); если:

39