Практические занятия 2

1.Åñëè f(x) g(x); òî g(x) f(x):

2.Åñëè f(x) g(x) è g(x) h(x); òî f(x) h(x):

3.Åñëè f(x) g(x); òî f(x) = O(g(x)):

4.Åñëè f(x) = o(g(x)); òî f(x) = O(g(x)):

5.Åñëè f(x) g(x); òî o(f(x)) = o(g(x)):

6.Åñëè C 6= 0; òî C O(f(x)) = O(f(x)); Co(f(x)) = o(f(x)):

7.O(O(f(x))) = O(f(x)); O(o(f(x))) = o(O(f(x))) = o(f(x)); o(o(f(x))) = o(f(x))):

8.g(x) O(f(x)) = O(g(x) f(x)); g(x) o(f(x)) = o(g(x) f(x)):

9.O(f(x)) O(f(x)) = O(f2(x)); O(f(x)) o(f(x)) = o(f2(x)); o(f(x)) o(f(x)) = o(f2(x)):

10.O(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x)); O(f(x)) + o(f(x)) = O(f(x)); o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x)):

11.Åñëè f(x) g(x) è h(x) s(x); òî f(x) h(x) g(x) s(x):

12.Åñëè lim f(x) = k 6= 0; òî f(x) k:

x!a

5.3Непрерывные функции

1.Доказать, что функция Дирихле

(

1; если x рациональное;

D(x) =

0; если x иррациональное;

разрывна в каждой точке. 2. Доказать, что функция

непрерывна в точке x = 0 и разрывна в остальных точках.

3.Функция определена в окрестности точки x0; кроме самой точки x0: Доопределить функцию f; задав значение f(x0) так, чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке x0; åñëè:

21

4. Доказать, что функция f не является непрерывной в точке x0; åñëè:

1)

5. Найти точки разрыва функции и установить их род, если:

1)

6.Установить, существует или не существует значение a; при котором функция f непрерывна в точке x0; åñëè:

1)

22

2)

7.Установить, существуют или не существуют значения a и b; при которых функция f непрерывна на своей области определения, если:

1)

:

5.4Задачи для самостоятельного решения

1.Функция f непрерывна в точке x0; а функция g разрывна в точке x0: Доказать, что функция f + g разрывна в этой точке.

2.Привести пример разрывных в точке x0 функций f и g; сумма которых: а) разрывна в точке x0; б) непрерывна в точке x0:

23

3.Привести пример непрерывной в точке x0 функции f и разрывной в точке x0 функции g; произведение которых:

а) разрывно в точке x0; б) непрерывно в точке x0:

4.Привести пример разрывных в точке x0 функций f и g; произведение которых:

а) разрывно в точке x0; б) непрерывно в точке x0:

5.Доказать, что если функция f непрерывна, то функция jfj тоже непрерывна.

6.Существует ли непрерывное отображение:

а) отрезка на интервал; б) интервала на отрезок.

7.Привести пример функции, непрерывной на интервале, множеством значений которой является:

1) отрезок; 2) интервал; 3) полуинтервал.

8.Привести пример непрерывной функции, которая принимает зна- чения, равные 1 и 3, но не принимает значения 2.

6Занятие 6.

6.1Вычисление производных

Согласно определению

Основные правила дифференцирования.

Если функции f и g дифференцируемы в точке x0 и ; 2 R; то в этой точке:

1.( f + g)0 = f0 + g0;

2.(fg)0 = f0g + fg0;

24

Производная сложной функции.

Если функция g дифференцируема в точке x0; а функция f дифференцируема в точке y0 = g(x0); то композиция f g дифференцируема в

точке x0 è

(f g)0(x0) = f0(y0) g0(x0):

Для дифференцирования степенно-показательной функции

(u(x))v(x) (u(x) > 0); где u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0; пользуются тождеством

(u(x))v(x) = ev(x) ln u(x):

Формулы дифференирования основных элементарных функций:

1.Вычислить производную функции f в точке x0 :

1)f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4); x0 = 3;

2)f(x) = (x a)(x b)(x c); x0 = a;

3)f(x) = x(x 1)(x 2) : : : (x 2014)(x 2015); x0 = 0; x0 = 2015:

2.Исследовать на дифференцируемость функцию

25

3. Исследовать на дифференцируемость функцию

26

27

7Занятие 7.

7.1Производные высших порядков.

Для производной второго порядка приняты обозначения:

Производную n го порядка чаще обосначают символами:

f(n)(x); dnf(x): dxn

Нетрудно вывести две основные формулы:

1. ( f + g)(n) = f(n) + g(n);

n

2. (fg)(n) = P Cnkf(n k)g(k) (формула Лейбница ).

k=0

При вычислении производных высших порядков удобно использовать следующие формулы:

1. (sin x)(n) = n sin( x + ( n)=2);

2. (cos x)(n) = n cos( x + ( n)=2);

3. ((ax + b) )(n) = an ( 1) : : : ( n + 1)(ax + b) n;

4. (ax)(n) = ax lnn a;

5. (ex)(n) = ex;

6. (loga x)(n) = ( 1)n 1(n 1)! ; xn ln a

7. (ln x)(n) = ( 1)n 1(n 1)! : xn

1.Найти производную второго порядка:

1)y = x2 + 13x + 11;

2)y = cos2 x;

p

3) y = ln(x + x2 + 1);

28

p

4) y = arctg(x + x2 + 1);

5)y = arcsin xx22+11 :

2.Найти производную y(n)(x) для заданной функции:

1)y = 1+1 xx ;

2)y = ln(ax + b);

3)y = sin ax sin bx;

4)y = x log2(1 3x);

5)y = x cos x;

6)y = arctg x:

7.2Задачи для самостоятельного решения

1.Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

1)если функция f имеет, а функция g не имеет производной в некоторой точке, то функция f + g не имеет производной в этой точке;

2)если функции f и g не имеют производной в некоторой точке, то функция f + g не имеет производной в этой точке;

3)если функция f имеет, а функция g не имеет производной в некоторой точке, то функция fg не имеет производной в этой точке;

4)если функции f и g не имеют производной в некоторой точке, то функция fg не имеет производной в этой точке;

2.Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных точках:a1; a2; : : : ; an:

3.Привести пример функции, не имеющей производной ни в одной точке x 2 R; квадрат которой имеет производную в каждой точке x 2 R:

4.Пусть функция f(x) - нечетная, дифференцируемая на ( 1; +1): Доказать, что f0(x) - четная функция.

29

5.Пусть функция f(x) - четная, дифференцируемая на ( 1; +1): Доказать, что f0(x) - нечетная функция.

6.Доказать, что производная периодической функции является периодической функцией.

7.При каком условии функция

а) непрерывна в точке x = 0; б) дифференцируема при x = 0; с) имеет производную непрерывную в точке x = 0:

8. Найти f0(a); åñëè

f(x) = (x a)'(x);

где функция '(x) непрерывна в точке a:

9. Показать, что функция

f(x) = jx aj'(x);

где '(x)-непрерывная функция и '(a) 6= 0; не имеет производной в точке a:

имеет производную лишь при x = 0:

7.3Вычисление производных функций, заданных параметрически и неявно

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть функции x = '(t) и y = (t) определены и дифференциру-

емы на некотором интервале, причем всюду имеет место неравенство '0(t) > 0 (èëè '0(t) < 0). Тогда функция x = '(t) имеет обратную

30