4. Ротор. Теорема Стокса

4.1. Ротор. В 1.2 было показано, что для полей потенциальных циркуляция при однозначности потенциала равна нулю (п. 4). Однако в общем случае циркуляция вектора по некоторому контуруL не должна обязательно быть равной нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция также может быть использована для локальной характеристики поля. При этом возникает понятие ротора вектора, обозначаемого символомrot. По определению,rotесть вектор, проекция которого на произвольное направлениевыражается следующим образом:

(4.1)

где ΔS- площадка, выбранная так, чтоесть нормаль к ней,aL - контур этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (если смотреть вдоль нормали, то обход производится по часовой стрелке).

4.2. Ротор в декартовых координатах. Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Обратимся к рис. 4.1, на котором через произвольную точкуМ(х, у, z) проведены три координатные линии и построены элементарные площадки, лежащие в координатных плоскостях. Желая сначала найти проекцию векторана осьх, мы должны вычислить циркуляцию вектораF по контуру первой площадки и перейти к пределу согласно(4.1).Действия при этом похожи на производившиеся в преыдущем разделе. Итак, на основании (4.1)

Таким образом,

(4.2a)

Совершенно аналогично получаем:

, (4.2б)

и

.(4.2в)

Эти три равенства удобно объединяются в форме определителя:

(4.3)

Нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно «безвихревыми», т. е. для всякого вектора будет. Чтобы проверить тождество

,(4.4)

достаточно рассмотреть какую-либо одну его проекцию. Так, составляя по формулам (4.2а) и (2.4а) проекцию этого вектора на осьх, имеем:

.

Другой важный факт заключается в том, что дивергенция вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле соленоидально (3.2):

.(4.5)

Действительно,

Из определения ротора, его можно трактовать в физическом смысле как вихрь.

4.3. Теорема Стокса.Перейдем, наконец, к теореме Стокса,содержание которой выражается равенством:

, (4.6)

где S - некоторая поверхность, a L - её контур, направление обхода которого при интегрировании согласовано с направлением положительной нормали к S, как и ранее. Согласно теореме Стокса, поток ротора некоторого вектора F через поверхность S равен циркуляции самого вектора по соответствующему контуруL.

Чтобы убедиться в справедливости теоремы Стокса, разобьем произвольную поверхность S на достаточно малые элементарные площадки Δs_i (рис. 4.3) и для определения ротора внутриΔs_i воспользуемся приближённым соотношением

есть внутриΔs_i) вместо(4.1).Поскольку точность этого равенства может быть как угодно велика (достаточнолишь взять соответственно малые размеры элемента Δs_i), то

где ε – наперёд заданная сколь угодно малая положительная величина.

Рис. 4.3

Выбрав все элементы достаточно малыми, произведём суммирование поi и получим:

где фигурирует циркуляция по граничному контуру L всей поверхности S, поскольку при суммировании части циркуляции по общим границам смежных элементов взаимно уничтожались; действительно, как видно из рис. 4.3, направления обходов общих участков границ смежных элементов противоположны.

Неограниченно измельчая все элементы и переходя соответственно этому от суммы к интегралу (N→∞), а также учитывая произвольную малостьε, приходим от предыдущего равенства к формулировке теоремы Стокса (4.6).