17. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных

17.1. Декартовы координаты. Однородное уравнение Гельмгольца будет встречаться в дальнейшем при постановке разных граничных задач. Случай декартовых координат является простейшим, и поэтому именно с него начинается изложение. Уравнение Гельмгольца

(17.1)

при использовании декартовой системы координат (х, у, z) принимает вид:

(17.2)

Рассмотрим получение его решений методом разделения переменных (п.11.1).

Ожидаемое решение и = и(х, у, z) представляется в виде произведения

и(х, у, z) = X(x)Y(y)Z(z), (17.3)

где Х(х), Y(y) и Z(z) - функции координат х, у, и z соответственно. Подставим представление (17.3) в уравнение (17.2) и разделим все члены на u = XYZ. Это дает:

.(17.4)

Как видно, первые три члена - функции разных аргументов, а третий постоянен. Это дает основание (§11 п. 1) положить каждую из указанных функций константе; назвав введённые константы _, получаем три обыкновенныхдифференциальных уравнения:

, причём (17.5)

Это уже много раз встречавшиеся уравнения типа (7.7) с решениями (7.8). Таким образом, сразу можно выразить решение (17.3) уравнения (17.2):

(17.6)

Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X, Y и Z) можно брать как в форме верхней строчки, так и в форме нижней. Очевидно, что записанная функция (17.6) выражает решение уравнения (17.2) при любых постоянных коэффициентах А, В, ..., Т, W и любых «постоянных разделения» , подчинённых равенству в нижней строке.

В случае двумерного уравнения Гельмгольца

(17.7)

записываемого в декартовых координатах как

(17.8)

имеем:

(17.9)

17.2. Цилиндрические координаты. В цилиндрической системе координат (r, φ, z) согласно (6.17) уравнение (17.1) примет вид:

(17.10)

Полагая

и(r, φ, z) = U(r) W(φ)Z(z)(17.11)

где U (r), W(φ) и Z(z) - функции координат r, φ и z соответственно. В результате подстановки (17.11) в (17.10) и деления на и = UWZ получаем:

(17.12)

Третий член есть функция только координаты z и, таким образом, независим от предыдущих. Это дает основание (§ 11 п. 1) положить его равным некоторой постоянной; последнюю обозначим - χ²_z. Оставшиеся слева члены в сумме также равны постоянной величине, а именно . Поэтому имеем следующие уравнения:

(17.13)

эквивалентные вместе первоначальному уравнению (17.12).

Далее произведём операцию разделения переменных в первом из уравнений (17.13), которое после умножения всех членов на r² принимает форму:

.

Второй член (функция φ) не зависит от первого и третьего (функций r). Поскольку сумма всех членов - нуль, введём,как делалось в п. 11, постоянные п² и - п², которые в сумме равны нулю, и получим:

(17.14)

Легко убедиться, что в первой строчке (17.14) мы имеем не что иное, как уравнение Бесселя относительно U как функции аргумента χr. Действительно, после дифференцирования по r и умножения всех слагаемых на U/χ² имеем:

(17.15)

Оно совпадает с уравнением (16.1) при замене х на χr.

Итак, объединяя результаты (17.13) и (17.14) с учётом (17.15), получаем совокупность следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца (17.10):

(17.16)

Общие решения их известны, причём каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения согласно (16.6а, б) и с использованием функций тригонометрических или экспоненциальных - для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение и = UWZ:

u(r, φ_,z) =

17.17

Форма записи имеет тот же смысл, что и в (17.6); аналогично также значение входящих в выражение постоянных.

Обычно область, в которой ищется решение, не ограничена по углу φ. В этом случае М(r, φ, z) и М(r, φ + 2π, z) - это одна и та же точка наблюдения, а следовательно, u (r, φ, z) и и (r, φ + 2π, z) выражают решение в одной и той же точке, т. е. должно быть:

, (17.18)

что возможно только при целом п (или равном нулю): п = 0, ±1, ±2, ....

При отсутствии зависимости по z уравнение Гельмгольца (17.1) записывается в форме (17.7), т. е. в цилиндрических координатах:

. (17.19)

Его решение имеет вид:

(17.20)

Выбор того или иного варианта решения определяется граничными условиями конкретной электродинамической задачи.