4. Металлический зеркальный шар как радиолокационная цель.Метод геометрической оптики

Металлический шар по проводимости настолько сильно от­личается от окружающей среды (воздуха или вакуума), что отражает практически всю падающую на него энергию радио­волн. Коэффициент отражения с высокой точностью можно счи­тать равным единице

К_отр = 1 или Р_отр = Р_пад. (9)

Из условий зеркальности (1) r >> λ и h << λ (r - радиус шара) вытекает, что отражательные свойства шара в данном случае можно исследовать методами геометрической оптики, простыми и наглядными.

Докажем, что зеркальный шар отражает падающие на него лучи равномерно во всех направлениях. Пусть параллельный пучок лучей равномерной плотности падает на шар слева (рис. 10).

Из условий симметрии следует, что в верхнюю и нижнюю полусферы шар отражает одинаково. Менее очевидно, что шар отражает одинаково в левую и правую полусферы. Од­нако это легко доказывается. Разделим поверхность шара на области, отражающие влево и вправо. Для этого найдем на поверхности линию раздела, т. е. геометрическое место точек, от которых лучи отражаются в плоскости, перпендикулярной направлению падающих лучей (лучи АА и ВВ). Луч АА, иду­щий вверх, при отражении отклонился на угол  = + = 90° ( - угол падения;  - угол отражения,  = ). Следовательно, точку D можно найти как точку пересечения поверхности шара и радиуса OD, идущего под углом 45° к направлению падаю­щего пучка СО, а нормаль ED к поверхности шара - как про­должение радиуса OD. В силу симметрии аналогично отыскива­ется точка F, от которой луч отражается точно вниз. Плоскость, содержащая точки D и F и перпендикулярная падающему потоку, делит шар на две части, одна из которых (левая) отра­жает падающие лучи влево, а вторая — вправо.

Всего на шар падает лучей столько, сколько их проходит через круг площадью S₀ = r² (r - радиус шара). Разрежем этот круг на две части: малый круг S₁=r₁² с радиусом и кольцоS₂ = S₀ - S₁. Влево отразятся лучи, прошедшие через круг S₁, вправо - через кольцо S₂. Если S₁ = S₂, то наше исходное утверждение будет доказано.

Из очевидных выкладок

S₁ = r₁² = r² sin² 45° = r² / 2 ; S₂ = S₀ - S₁

следует, что S₁ = S₂.

Таким образом, на часть шара, отражающую влево, падает столько же энергии, сколько и на отражающую вправо. А по­скольку коэффициент отражения равен единице [см. (9)], то шар в левую и правую полусферы отражает одинаково.

Докажем теперь, что и в пределах каждой полусферы энер­гия отражённой волны распределена равномерно по всем на­правлениям. Лучи, падающие на поверхность шара на расстоя­нии у от оси OO₁ (рис. 11), совпадающей с направлением па­дения лучей, отразятся под углом  к этой оси, причём  =  +  = 2; лучи, падающие на расстоянии y + dy - под углом  + d.

Поток мощности, падающий на шар в пределах кольца dS₁ радиуса у и шириной dy, отражается в пределах телесного угла d, образованного двумя конусами с осью симметрии OO₁ и углами при вершине  и  + d.

Площадь кольца dS₁ = 2ydy.

Падающая в пределах dS₁ мощность

dP₁ = П₁·2·ydy,

где П₁ = const — плотность потока мощности падающей волны. Отражённая в пределах телесного угла d мощность

dP₂ = dP₁.

Найдём плотность потока мощности отражённой волны П₂ и покажем, что она является постоянной в любых направлениях, т. е. не зависит от .

Обозначим R - радиус сферы, на поверхности которой мы будем исследовать П₂. Будем полагать, что R >>r (R  ). Это позволит пренебречь эффектом сферической аберрации и счи­тать, что все отражённые лучи исходят из одной точки.

Обозначим dS₂ — площадь кольца, вырезанного на поверх­ности сферы радиуса R конусами, образующими телесный угол d. Из рис. 11 найдём

dS₂ = 2R·sinR d ;

Учтём, что y = r·sin (рис. 11); dy = r·cosd;  = 2; sin = 2 sin·cos; d = 2d. Тогда получим

(10)

Из соотношения (10) видно, что П₂ одинаково для всех  (не зависит от ), следовательно, зеркально отражающий шар рассеивает отражённую энергию равномерно во всех направле­ниях.

?	14. Не противоречит ли изложенному наличие цилинд­рической тени за шаром (см. например, лучи LL и ММ на рис. 10)? Чему равны угловые размеры проекции этой тени на сферу радиуса R при R  ?