Руководство к выполнению лабораторной работы
Составитель: Кречетов А.Д.
ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВ СИГНАЛОВ
И ФЛЮКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ
Сведения из теории.
Одномерная плотность вероятностей случайного процесса характеризует статистически этот случайный процесс в один фиксированный момент времени и не содержит сведений о поведении случайного процесса в какой – либо другой момент времени. Более полные сведения о случайном процессе даёт двумерная плотность вероятностей p[x(t1) ,x(t2) ] , которая позволяет вычислить совместную вероятность того , что значение случайного процесса приt1находится в пределах отx(t1) доx(t1) +dx(t1) , а приt2- в пределах отx(t2) доx(t2) +dx(t2). Фиксируяx(t) в момент времениt1 по функцииp[x(t1) ,x(t2) ] , можно найти плотность вероятности любого значенияx(t) в момент времениt2, т.е. с помощью двумерной плотности вероятностей можно установить наличие и величину статистической связи между значениями случайного процесса в два момента времени.
Часто интересуются лишь линейной статистической связью между значениями процесса. Мерой линейной статистической связи между значениями одного и того же случайного процесса в два различных момента времени служит функция автокорреляции [ 1 , 2 ] , определяемая путём усреднения по ансамблю
(1)
где m(t1) ,m(t2) - средние по ансамблю значения процесса в моменты времениt1 и t2 соответственно.
Аналогично линейная статистическая связь между двумя процессами x(t) иy(t) в два момента времени характеризуется функцией взаимной корреляции
(2)
Если рассматриваемые процессы стационарные или стационарно – связанные, то средние значения m(t1) ,m(t2) (аналогичноmx(t1) ,my(t2) ) не зависят от времени, а корреляционные функции (1 ) и (2) будут зависеть лишь от величины=t2 -t1 .
(3)
(4)
Для стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством, среднее по ансамблю равно среднему по времени, и вычисление корреляционных функций таких процессов можно производить путём усреднения по времени
(5)
Свойства корреляционных функций.
1. Значения автокорреляционной функции большинства случайных процессов убывают с ростом аргумента . Максимального значения автокорреляционная функция достигает при= 0, и оно равно дисперсииKx ( 0 ) =2 по определению. Часто используются понятия времени или интервала корреляции0 , определяемые из условия, что при0 [k() /k(0) ] становится меньше заданной величины, например, меньше 0,05. При0 процессы обычно считают некоррелированными (рис. 1 ).
Рис. 1
Корреляционная функция Ky () суммы стационарных случайных процессовxi(t), гдеi= 1 , 2 , . . . ,n, определяется формулой
(6)
где - автокорреляционная функция процессаxi(t) ;
- взаимно корреляционная функция процессов xi(t) иxj(t).
Если процессы xi(t) иxj(t) ,ijне коррелированны, то формула (6) упрощается
(7)
Автокорреляционная функция периодического процесса периодична и имеет такой же период, как и исходный процесс. Например, имеется случайный процесс
x ( t ) = cos(0t + ), (8)
где 0 - несущая частота ( известна ) ;
- начальная фаза ( является случайной величиной, равномерно распределённой на интервале 2,p() = 1 / 2при -).
Для этого процесса, обладающего свойством эргодичности,
(9)
Мы видим, что в данном случае автокорреляционная функция с ростом не стремится к нулю, а её значения меняются с частотой0 - частотой изменения исходного сигнала. Этот факт можно использовать для обнаружения слабого периодического сигнала на фоне флюктуационной помехи, автокорреляционная функция которой спадает практически до нуля с ростомпри0. Действительно, если имеется сумма независимых между собой периодического сигналаx(t) и шумаn(t) :y(t) =x(t)+n(t) , то автокорреляционная функция суммы согласно (7)
причём Kn() при0n, где0n - интервал корреляции шума, приближённо равна нулю. Следовательно,
Ответ на вопрос о наличии или отсутствии в колебании y(t) периодического сигналаx(t) можно получить из анализа корреляционной функцииKy() . Если при0n корреляционная функция периодична, то вy(t) присутствует сигнал и можно даже определить частоту сигнала, сравнивая (8) и (9).
Понятие корреляционной функции распространяется и на детерминированные (неслучайные) сигналы.
Значения корреляционных функций зависят не только от величины статистической связи между случайными процессами, но и от величины дисперсий этих процессов. Поэтому для количественной характеристики линейной статистической связи случайных функций вводятся нормированные авто – и взаимнокорреляционные функции
(10)
(11)
называемые также коэффициентами авто- и взаимной корреляции соответственно.
Свойства коэффициента автокорреляции :
свойство чётности : R ( ) = R ( - ) ;
абсолютное значение R() при любомне может превышать значения
R(0) = 1;
3) для большинства практически интересных стационарных случайных процессов
Коэффициент взаимной корреляции не обладает этими свойствами. Заметим, что Rxy() =Ryx( -).
Стационарные случайные функции x(t) иy(t), для которых коэффициент взаимной корреляцииKxy() равен нулю при любом значении, называются некоррелированными, т.е. линейно независимыми. Для коэффициента корреляции также применимо понятие интервала корреляции0.
Экспериментальное определение функции корреляции эргодического случайного процесса основывается на формуле (5) , причём интегрирование производится по конечному промежутку времени T-.
(12)
Обычно T, и формула (12) упрощается
(13)
Функциональная схема коррелометра - устройства для измерения корреляционной функции - в соответствии с (13) приведена на рис. (2).
Рис. 2.Функциональная схема коррелометра.
Среднеквадратичная погрешность измерения функции корреляции нормальных случайных процессов, возникающая из-за конечности времени усреднения Т, определяется [ 3 ] соотношением
(14)
где 0 - интервал корреляции.
Это соотношение позволяет оценить точность, с какой выполняется тот или иной эксперимент. За 0берётся такое значение, при котором К (0) можно пренебречь по сравнению с К(0).
В тех случаях, когда интервал корреляции 0 представляет очень малую величину, возникает трудность непосредственного определения К(). Тогда используют взаимосвязь между спектральной плотностью мощностиG(f) (энергетическим спектром) стационарного случайного процесса и корреляционной функцией для определения последней. Эта связь даётся преобразованиями Фурье
(15)
(16)
В соответствии с (15) и (16) , чем шире энергетический спектр случайного процесса, тем быстрее с ростом спадает К().
Так, например, корреляционная функция белого шума, спектральная плотность которого равномерна на всех частотах, представляет собой - функцию.
Если же взять два узкополосных случайных процесса с различной шириной энергетического спектра, то получим корреляционные функции с различным интервалом корреляции (рис. 3).
Рис. 3. Корреляционная функция двух узкополосных случайных процессов с различной шириной энергетического спектра.
Интервал корреляции внутриприёмного шума приблизительно равен величине, обратной полосе пропускания приёмника,
f01. (17)
Корреляционные функции широко используются для описания сигналов и помех.
При выборе вида сигнала, используемого в радиосистеме, с помощью автокорреляционной функции сигнала оцениваются точность и разрешающая способность системы по дальности и скорости (т.е. по временному положению и частотеF). Обычно анализируют модуль нормированной совместной (поиF) автокорреляционной функции модуляции используемого сигнала
(18)
называемой функцией неопределённости, где
- энергия сигнала ; u(t) - комплексная амплитуда сигнала.
Функция (18) показывает относительную величину отклика оптимального фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на и по частоте наF. Функция
R(,F)позволяет оценить все характеристики сигнала, определяющие его выбор. Совместная разрешающая способность по задержкеи сдвигуFнесущейf0определяется формой поверхностиR(,F)(в основном формой главного максимума), величиной и расположением побочных максимумов (боковых лепестков). Точность измерения скорости и дальности в радиолокации зависит от крутизны спадания поверхности главного лепестка по осямиF.
Рис. 4. Функция неопределённости прямоугольного радиоимпульса
длительностью .
На рис. 4 представлена функция неопределённости прямоугольного радиоимпульса длительностью u .
Понятие функции неопределённости распространяется как на одиночные сигналы, так и на их последовательности. В импульсной радиолокации обычно принимается от цели не одиночный сигнал, а пачка отражённых сигналов, состоящая из нескольких импульсов. В зависимости от свойств цели и характеристик РЛС амплитуды импульсов в пачке могут флюктуировать.
Различают :
сигналы с некоррелированными флюктуациями амплитуд, если амплитуды от импульса к импульсу меняются независимо (рис. 5, а ) и коэффициент
корреляции между амплитудами двух соседних импульсов равен нулю
(Ri j= 0);
частично коррелированные по амплитуде флюктуирующие сигналы, если коэффициент корреляции для двух соседних импульсов не равен нулю
( 0 R i j 1)(рис. 5, б) ;
полностью коррелированные флюктуирующие пачечные сигналы, если внутри пачки амплитуды импульсов равны, т. е. Ri j= 1 , а от пачки к пачке амплитуды флюктуируют (рис. 5, в).
Рис. 5
При обнаружении сигналов цели на фоне ряда помех предпочтителен приём сигнала с некоррелированными флюктуациями амплитуд, поэтому применяются методы разрушения корреляции, например, изменения частоты передатчика от импульса к импульсу. Пассивная помеха характеризуется кратковременным и череспериодным коэффициентом корреляции.
Кратковременный коэффициент корреляции вычисляется по одной зафиксированной реализации пассивной помехи, имеет интервал корреляции 0, приблизительно равный длительности зондирующего сигналаu. Действительно, при распространении энергии зондирующего сигнала вдоль отражающей поверхности в течение времени, равногоu, происходит полная смена всех элементарных отражателей, и сигналы, отражённые от участков, отстоящих по дальности на, а по времени наu, оказываются статистически независимыми, т.е.R(u ) = 0.
Череспериодный коэффициент корреляции характеризует статистическую связь огибающих пассивной помехи, взятых для одной и той же точки дальности в соседние периоды повторения. Значения череспериодного коэффициента корреляции пассивной помехи изменяются значительно медленнее, чем кратковременного. Интервал корреляции 0в этом случае составляет несколько десятков миллисекунд и, конечно, зависит от свойств отражающей поверхности и вида применяемого сигнала.